小学奥数几何五大模型蝴蝶模型.docx
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小学奥数几何五大模型蝴蝶模型
任意四边形、梯形与相似模型
模塑三期礫模型(任意模型)
任sriasi形中的比例关系(“期燥定理”):
(3)5,:
52=S4:
S3(者SjxS3=S2xS4
②AO:
OC=(S|+S2):
(Sj+SJ
妁噪定理为我<]提供了解决不的面稅何题的一个^go通it构殖模型,一方面可以使不規覓四也形的面秋关系与0J1®的三角形相联系;另一方面.也可以得對与面釈对应的对角箜的比傍关系。
【例1】(小数报竞赛活动贰题)如图,某公园的外乾縻是四迪形ABCD.被对角»AC.加分成四个部分,△力防面稅为1平方千米,面稅为2平方千米,的面稅为3平方千米,公园由隋地面枳是6.92平方干米和人工湖组成,求人工湖的面枳是多少平方干米?
【分析】根据掛蝶定理求得S“o°=3xl*2=l・5平方千米,公同呱边形ABCD的面枳是1+2+3+1.5=7.5平方千米,所以人工湖的面枳是7.5-6.92=0.58平方千米
【贝固】如图,四边形被两条对角城分廉4个三角形.其中三个三角形的面稅巳知.求:
(1)三角形BGC的面枳;
(2)AG:
GC=?
AD
【解析】
(1)根据州喋定理,SBCCxl=2x3,那么5^c=6;
(2)根据捌礫定理,AG:
GC=(l+2):
(3+6)=l:
3.(?
?
?
)
【例2】四边形A3CD的对角SAC与3Q交于点0(如图所示)。
如果三角HABD的面稅等于三角形3CD的面积的且AO=29DO=3t那么CO的长度是DOff}长度的倍。
【解析】在本题中,WH^ABCD为任恿呱边形,对干迪FT不良呱边形”,无外乎两种业理方法:
(1)利用已知条件,向已有模型靠拢,)!
而快速解决;
(2)通过画来孜造不良四边形。
看到题目中给岀条件S“0bCd=\:
3,逹可以向模里一脚蝶定理靠拢,干是得岀一种解法。
Q观察選目中给岀的已卅条件是面枳的关系,转化力边的关系,可以得到第二种解法,但是第二种解法需要一彳、中介来改造迪个”不良皿边形”,干是可以作AH垂直3D于H,CG^tBD于G,面枳比錢化为高之比。
再应用结论:
三角形高柑同,呱面枳之比等TKffl之比,得出结果。
请老IfliO比较两种解法,便学生体会到脚掾定理的优势,八而王规上愿意拿振并使用州蝶定理解决问題。
解法一:
AO:
OC=Sxbq:
Sz*=1:
3,
/.OC=2x3=6,
・•・OC:
OD=6:
3=2:
\・
解法二:
作佔丄BD干H,CG丄BD干G・
S、abd=—^(7?
,
・••AH=^CG9
3
OC=2x3=6,
・•・OC:
OD=6:
3=2:
1・
【例3】如图,平ffl®ABCD的对角裁交于O点,MEF、0EF、NJDF、心0£的面稅依次是2、4.4和6。
求:
(1)来△OCF的面稅;
(2)^AGCE的面秋。
【解析】
(1)根据题意可知,ABCDW0枳为2+4+4+6=16,那么aCO和ACDO的面枳胡是16-2=8,所以△(%,的面枳为8-4=4;
(2)由于心8的面枳为8,△BOE的面枳为6,所以的面fR)18-6=2,
根据脚蝶定卑,EG:
FG=5ACO£:
5ACOF=2:
4=1:
2,两以S”;*:
S乂纽二EG:
FG=1:
2,
那么Sa*
【例4】图中的Bill®土堆的总面稅是52两条对角践把它分质了4个小三角形,其中2个小三角形的面积分是6公项利7公填。
那么最大的一个三角形的面稅是多少公U?
【解析】在"BE,aCW中有ZAEB=ZCED,^ABE,“CDE的面枳比刘(AExEB):
(CExDE)。
同
理有△ADE,aBCE的面枳比为G4£xDE):
(BEx£C)。
所以有弘皿:
xS乂=$跟“:
也就是说在所有flKffl形中,连接硕点得到2条对甬裁,有图形分成上、下、左、右4个部分,有:
上、下部分的面枳之枳等于左右跚分的面枳之枳。
即Sd低x6=Ssqe><7,所以有MBE与△/"疋的面枳比力7:
6,Saabe=t£x39=21公顶,Sa.xde=^7x39=18
显然,最大的三角形的面枳为21公顶。
【例5】(2008年渭华附中入学濃试题)如图相邻两个格点同的距离是1,剧图中阴就三角形的面秋为。
【解析】连接AD、CD、BC0则可根据格点面枳饮氏,可以得到WC的而枳为:
1+*—1=2,AACD的面枳为:
3+|-1=3.5,
△ABD的面枳为:
2+--1=3・
2所以BO:
OD=S^BC:
S*d=2:
3.5=4:
7,所以S^BO=xS*)=春x3=斤•
[Ag]如图,每个小方格的21KS是1,求三角形abc的面稅。
【解析】因为BD:
CE=2:
5,且BD〃CE,所以D4:
AC=2:
5,S^c=—^,$如=号x2=£.
【例6】(2007年人大附中考题)如图,21长为1的正方^ABCD中,BE=2EC,CF=FD,求三角AEG的面臥
IOBH2EC,CF=FD,心$遊厂(昱><孰昨詁S”因为,根删採定理,AG:
GF=i:
l=6:
l,
_3$
Zs
yuqahcd7
所"、S^GD=&S、gdf=—SgF=—X—S“BCD
所HS"GE=Sw:
D-S“gD=^qABCD~飞^uABCD即三角形A£G的面枳是彳.
【例7】
如图,长方形ABCD中,BE:
EC=2:
3.DF.FC=\.2f三角形DFG的面稅为2平方屋米,求长方KABCD的面积.
【解析】连按庖,FE.
3111
因为BE:
EC=2:
3,DF:
FC=1:
2,所以$°砂=(^x-x)S长方曲心=帀S长方嗣门〉•
因为"詁S长方T,AG:
GF=1:
1=5:
1,BiUSACD=5SCDr=10¥方厘米,所以"=12平
方If米.因力侦小两以长方形ABCD的面枳是72平方陋米.
6
【例8】如图.已知正方形ABCD的边妖为10厘米,E为AD中点.F为CE中点,G为中点.求三角形BDG由面税.
【解析】设BD与CE的交目为O,连接BE、DF.
由列蝶疋理可知EO:
OC=S‘bed:
SaBCD'而S/M)=所nEO:
OC=S_BED:
5gc/,=l:
2,也EO=^EC.
由干F为CE屮点,^[[EF=^EC9故EO.EF=2:
3,FO:
EO=1:
2・
2
由删定理可ills时:
s冲=FO・EO=1:
2,旳=|G=1Sg,
那么工妙=—^^0=—S^ascd=汞x10x10=6.25(平方厘米)•
2loIo
【例9】如图,在MBC中,已JIM.N分别在BC上.BM与AN相交于O,若MOM.4430和^BON®0«分别是3、2、1,WMNC的面稅是.
【解析】这道题给出的条件较少,需要运用共jJtS和州蝶定理来求解.
8s沁*根fiftffl定理我f]可以得
解(0x=22.5.
3+2
1+-+X
2
【例10】(2009年址春杯初赛兀年S)EAffl形人人的面稅是2009平方屋米,分别是正穴边形各边的中点;那么图中ffiBAffl形的面积是平方)1米.
【解析】如图,设以仏与44的交点力O,團图中空白部分由6f与工0&一样大小的三角形组应,只耍求出了工0£的而枳,就可以求出空白部分而枳,进而求出阴影部分面枳.
连接人心、B苫、BA
设的面枳为”1“,iAB,A2B6面枳为”1“,面枳为”2“,那么面枳为
的2倍,为”4“,梯形A^^A,的而枳为2x2+4x2=12,M,B6A5的面枳为”6“,的而枳为2.
根摇则蝶定理,BQ=A3O=S冲民:
心=1:
6,MS^OA3=――,S申人内=—»
101
两以:
S梯怜曲沁=y:
12:
l:
7,即工。
4的面枳为様形人4£人面枳的〒,故为穴边形
/VW—%人面枳的占,那么空白部分的面枳为正兀迪形面枳的占x6=弓,所以明黔部分面枳为2009xH-2j=H48(平方厘米).
块二梯形模型的应用
梯形中比协关聚(“梯形列蝶定理”):
1S,:
S3=a2:
h2
2S]:
S?
:
S2:
S4=a2:
h2:
ab:
ab;
3S的对fitftfi为@+方『・梯形対媒定理给我IJ提供了解决梯形面秋与上、下£2B关系互相转換的渠道,通过构殖模型.直接应用结ft,往往在題目中有事半功倍的效果.(具体的推理过程我fJ可以用II在第九»»8»的相包模型进行说明)
【解析】设5为“2价,S*为戸价,根据梯形捣蝶定理,s产4",两以b=2;2因为S2=2=“x/儿所以"=1;那么St=(/2=1,S4=
=2,所以梯形而枳S=S]+S?
+S3+S4=1+2+4+2=9,或者根据梯形捣蝶定理,S=(d+br=([+2)'=9・
[JIS1(2006年智力数学冬令营)如下图,梆形ABCD的加平行于仞■对角»AC9BD交于O,已BAAOT与△BOC的面稅分别为25平方厘米与35平方屋米,那么梯形A3CD的面稅是平方JS米.
【解析】根据梯形d蝶定理,:
心遇迓=/:
"=25:
35,可得©“5:
7,再根据梯形列媒定理,丄阿:
£咖=u2:
h2=52:
72=25:
49,所WS»=49(平方憚米).那么梯%ABCD的面枳为25+35+35+49=144(平方伸米).
【例12】梯形ABCD的对角Sac与血交于点O,形上底为2,且三角形ABOth面稅等于三角
7
形BOC面秧的才.求三角形AOD与三角形BOC的面稅之比.
AD
【解析】根据梯形列媒$H,S,pb:
S沛理=":
戻=2:
3,可以求岀“"=2:
3,再根据梯形脚蝶定理,S®:
S如":
^=22:
32=4:
9.
通过利用已有几何模塑,我们轻松解决了迪个问趣,而没有像以前一样,为了杲个条件的缺之而千辛JJ苦逍行构造假设,所以,请同学『一定要牢记几何模里的结论.
【例13】(第十届华杯赛)如下图,四担形ABCD中,对角»AC和3D交于O点,已知AO=\9并且
【例14】下庭是上麻的1・5倍,三角1&OBC的面稅是%肿,网三角JffAOD的面枳是多少?
【解析】根据U形SI喋定理,a:
b=l:
1.5=2:
3f^AOO:
S^oc=a2:
b2=22:
32=4:
9,两以S“a=4(cmJ・
[AB】如图,9®ABCD中,SAOB^ACOD的面职分别为1.2和2.7,ABCD的面秋.
【解析】根据梯形卿喋定理,^:
54COD=u2:
^=4:
9f所以“"=2:
3,
=1.2x2=1.8,
2
S'AOD:
S、aob=":
=b:
"=3:
2,
^»»}abcd=1-2+1.8+1.8+2.7=7.5.
【例15】如下图,一个长方形枚一些直箜分成了若干个小块•已知三角J^ADG的面税是11•三角形
的面秋是23.求呱辺形EGFH的面稅.
【解析】咖图,连给FF,显然^MADEFW^BCEF^是梯形,于是找们可以得到三角EFG的面枳等干三角形的面枳;三角形BCH執面枳等干三角形旳/的ffiR,ffiHffljfiJPEGFH的面枳是11+23=34・
【巩固】(人大附中入学濃试题)如图,长方形中,若三角®1«面秋与三角形3的面稅比为4比5,的面稅为36.则三角形1的面稅为.
【解析】做備助我如下:
利用梯形模型,逹样发观四边形2分戒左右两边,瑕面枳正好等干三角形1和三角形3,加的0036x^6,300136x^=20.
【解析】
因为M是上的中点,所以AM:
BC=1:
2,根据梯形掛探定理可以知道
A.WCD
S厶AMG:
S^ABG:
S5MCG:
.\BCG=1~:
(1X2):
(1X2):
2-=1:
2:
2:
4,设S“gm=1份,则SZCD=1+2=3悅,所以正方形的面枳为1+2+2+4+3=12份,s阴影=2+2=4份,所以S阴犠沾正方,形=1:
3,所以S阴形=1平方障米.
【JI固】在下图的正方形ABCD中.E是BCfflft中点,肚与BD相交于F点,三角形BEF的面稅为1平方屋米.那么正方形AB8面秋是平方厘米.
【解析】连UDE,根据題意可知BE:
A£>=1:
2,根据掛喋定理得S梯形=(1+2)2=9(平方怦米),S“s=3(平方If米),那么SuABCD=\2(平方If米).
【例17】如图面积为12平方厘米的正方形ABCD中,是DCifi上的三等分点,求阴翻部分的面积.
【解析】因为EF是DCjJ上的三等分点,两以£F:
AB=1:
3,设SA^=l«h根据梯形捣喋定理可以知道S"=s△旳=3w,S“=9ffi,SzE=Sg=(1+3)份,因此正方形的面枳为4+4+(1+3)2=24fft>S阴严6,I#以s阴形:
S正方形=6:
24=1:
4,所以S阴彬=3平方理米.
3
厶EFO
&DEO
由于£F:
DC=1:
3,根据梯形脚援定理,Sso:
S“=3:
l,和、.切=訐如,而S加=S“=2平方If米,所£1S加*=扌><2=1.5平方障米,阴影部分的面枳为2+1.5=3.5平方禅米.
方法二:
如因,连接QE,FC,由干EF:
DC=1:
3,设SAO£f=1fft,根稠梯形刿蝶定理,S沁=3卅»S林衫Eg=(1+3广=16价,S△皿=S"CF=1+3=4份,H1ftS长方衫.4©=4+16+4=24卅,
=4+3=7fft,而S长方血mq=6x2=12平方怦米,®11SIW=3.5平方惮米
【例19】(2008年”異数网杯”兀年级试g)EfflABCD是平0ffl形,BC.CE=3:
2.三角形ODE的面
积为6平方厘米.则阴影部分的面积是平方厘米.
【解析】连按AC・
由fABCD是平行四边形,BC:
CE=3:
2,所以CE:
AP=2:
3,
・可修編•
ffl据梯形Ji蝶定叭Sq/S’qSw/S*严2X2x3:
2x3:
32=4:
6:
6:
9,«ll\xoc=6(平方If米),S®=9(平方厘米),Q丄心.=S/m=6+9=15(平方屋米),ffiR为6+15=21(平方厘米).
ABS是平fiEffl形.已知三角形面稅如图所示(单位:
平方屋米).阴影部
【分析】连按AE・
由干AQ与BC是平行的,®HAECD也是梯形,那么比如=5卫仏.根据列喋疋,*^2OCDXSgAE=S'gEXS'oad=4X9=36,故^AOCP*=36,
所以Sag=6(平方厘米).
[Kg1(2008年三Hl中学考直)右图中ABCD是梯形.MS是平eaz角形面秋如图所示(单位:
平方厘米),阴翻部分的面稅是平方厘米.
【解析】连按AE・
由于AD与BC是平行的,®HAECD也是梯形,那么比如=$—
根据脚援定理,xS^.=xSA 另解: 在平fifflillJPABED中,^W£=1sdXW? =1x(16+8)=12(平方障米), ^11^=^-^=12-8=4(平方厘米), 根SMK定理,18幣部分的面枳为8x2-4=4(平方厘米). 【例20】如图所示.BD.CF将长方J&ABCD分成4块,3EF的面稅是5平方屋米.ACED的面积是10平方厘米.冋: 呱边形创沪的面积是多少平方屋米? 【分析】连接BF,根据梯形模璽,可知三角形也产的面枳机三角形DEC的面枳松等,即貝而枳也是10平方If米,再定理,三角形BCE的面枳为10x10-5=20(平方厘米),所£1长方形的面枳为(20+10)x2=60(平方靜米).01JABEF的面枳为60-5-10-20=25(平方If米). [Agin图所示,BD、CF稱长方形ABCD分成4块,2EF樹面积是4平方厘米.ACED的面稅是6平方)! 米.问: nWABEF的面稅是多少平方厘米? 【解析】(法1)连接3厂,根据而枳比网模型或梯形掛蝶定理,可知三角形B£F的面枳和三何形DEC的面枳«! 等,即貝面枳也是6平方即米,再根齬團蝶定理,三角形BCE的面枳为6x6^4=9(平方惮米),所以长方形的面枳为(9+6)x2=30(平方怦米).四迪形磁尸的而枳为30-4-6-9=11(平方If米). (沫2)由趣意可知,-=-=根稠松仪三角形性质,-=—=fflJl三角形BCE的面枳为: EC63EBEC3 7 6-二=9(平方惮米)・哪三角CBD®R为15平方惮米,长方形面枳为15x2=30(平方If米).0ffl 3 形ABEF的面枳为30-4-6-9=11(平方囲米). [JIHK989春杯初赛)如图.ABCD^方形中,明册部分是直角三角形且面稅为54,OD的长是16,05的长是9•那么四血形OECD的面枳是多少? 【解析】因为连接ED知道△ABO相△EDO的面枳松等W为54,Q因为OD: OB二16: 9砌以△AOD的面枳力54*9x16=96,根襦四1S形的对角技11质知道: /\BEOtfl®枳为: 54x54-96=30.375,所£1四ffl形OECD的而枳为: 54+96-30.375=119.625(平方Jf米). 【例21】(2007年〃迎春杯”高年级初赛)如图.长方形ABCD椒CE、”分成四块.巳知其中3块的面积分别为沢5.8平方厘米,那么余下的EiS®OFBC®0«Jl平方厘米. 【解析】连按加、CF.H]JjyEDCF为梯形,所以S乂⑷二Q根据掛蝶定理. S^e=4+8=12(平方靜米).那么长方^ABCD的面枳为12x2=24平方靜米,0fflOFBC而枳为24—5—2-8=9(平方厘米). 【例22](98fi春杯初赛)如图.长方形ABCD中,AOB是直角三角形且面枳为54,OD的长是16,OB检长是9.那么皿边形OMQ的面稅是. 【解析】解法一: 连接处,依题直丄仙=丄x9xAO=54,所以AO=12, 22 2.AO1) MSgD=lxDOxAO=1x16x12=96・ 22 i3 Q因为S^=S^: =54=-x\6xOE9HfUOE=6-, 乙I 1133 得=-xBOx£O=1x9x6-=30-, 如2248 35 所以Soecd=S如.-Sme=Sm-S如=(54+96)-30-=119-. 解法二: 由于S®: S“=OD: OBT6: 9,XS=54x罟=96,而S^.=SAOfl=54,时州喋定理,S®eXS*严S,®xS小e,所以S纫圧=54x54一96=30§, 35 两USoecd=S如.一S肿E=s现-S肿卜: =(54+96)-30-=119-. 【例23】如图,WC是等腰直角三角形,D£FG是正方形,»&AB与CD相交于K点.巳知正方形 DEFG的面稅48,AK: KB=\: 39^BKD的面稅是多少? 【解析】由干DEFG是正方形,所以D4与3C平行,那么皿ill形AZMC是梯形.在«ADBC中,MDK和 △ACK的面枳是相等的.而AK: KB=1: 3,所以AACK的面枳是WC面枳的丄那么MQK1+34 的面枳也是WC面枳的丄. 4 由TMBC是等腰頁角三角形,如果iiA作BC的垂S,M为垂足,那么M是BC的中点,而目AM=DE.可见4WM和AAGW的面枳都等于正方DEFG面枳的一半,JIA4BC的面枳与正方形DEFG的面枳相等,力4& 那么MDK的0^)148x1=12・ 【例24】如图所示,ABCD是梆形,WE面枳是1.8,4WF的面稅是9,45CF的面稅是27.那么阴»AAEC面稅是多少? -_—J) 而S/b=S»c(等枳变换),所以可得 【解析】根据梯形刪喋定[务可以得^S^BxS^c=S^.DxS^c 并目S*=SgF一s注D=3-1.8=1.2,而Swb-Sabfc=AF: FC=9: 21=\: 3,所以阴影AAEC的面枳是: ^c=5^rx4=1.2x4=4.8. 【例25】如图,正穴辺形面稅为6.那么阴影部分面稅为多少? 【解析】连按明影图形的长对角线,此时穴边形被平分为两半,根据穴边形的轩殊性丿贯,相梯形州喋定理把穴^分为十丿5,阴卵分占了其中八此戕阴卵分的面喘X6岭 【例26】如图,已知D是BC中点,£是仞的中点■F是AC的中点.三角ABC由①~⑥这6協分组成,其中②比⑤多6平方厘米・那么三角形ABC的面秋是多少平方厘米? 【解析】因为£: 是。 7中目,F为AC中点,有AP=2FE^平行于AD,则皿边形ADEF为梯形.在梯形ADEF中有③匕④,②x⑤三③x④,2: AD2: FE~=4.? 已知②-⑤=6,所以⑤=6*(4—1)=2,②£§)x4=8,两以②*⑤三④x④T6,而③=®「,所以③=®4,WADEF的面枳力②、③、④、⑤四块图形的面枳和,力8+4+4+2=18.有aCEF与aADC的面枳比力C£平方与8平方的比,即力1: 4.所以aADC而枳力悌形ADEF而枳的字二扌,即为18x: =24.因为D是BC中点,所以 4-133 △AZ辺与△ADCtfy面枳柑等,而aABC的面枳为△ABD、△ADC的面枳和,即为24+24=48平方靜米.三角形ABC的面枳为48平方用米. 【例27】 如图,在一个边长为6的正方形中,故入一个边长为2的正方形,保持与原正方形的边平行,现在分别连接大正方形的一个顶虑与小正方形的两个顶贞,形成了图中的阴JB图形,那么阴働部分的面 【解析】本题中小正方形的位置不彌定,所以可以通过取特殊值的方法来快速求解,也可£1采用梯形州喋定卑来解决一段情况・ 解法一: 取時姝值,便得两个正方形的中lbIBS合,如右
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