完整word版微型机继电保护基础2数字滤波器doc.docx
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数字滤波器
2.1﹑概述
电力系统信号﹑X(t)S(t)N(t)
S(t)有效信号
N(t)干扰信号
滤波:
从X(t)中提取出S(t),消除N(t)
X(t)
F
Y(t)S(t)
F:
滤波器物理器件,R﹑C﹑L﹑运放等,模拟滤波
程序﹑算法—数字滤波
数字滤波一般框图
X(t)S/HA/D数字处理D/AY(t)
微机保护中,数字处理的结果无须在变成模拟量,所以不需要D/A
转换器。
数字滤波的优点:
(1)特性一致性好
(2)不受温度影响
(3)不存在阻抗匹配问题
微机保护一般都采用数字滤波器。
问题:
前置低通滤波器的作用?
2-2连续时间系统的频率特性和冲击响应
一、基本知识和定义
1.系统:
x(t)
T[.]
y(t)
y(t)=T[x(t)]
2.线形系统:
Tax1
t
bx2
t
ay1
t
by2
t
3.时不变系统:
Txt
t1
yt
t1
4.因果系统:
输出变化不会发生在输入变化之前
5.稳定系统:
1.冲激函数t
二、连续时间系统的频率响应
连续系统:
YfXfHf
Xf,Yf为输入﹑输出信号x(t)﹑y(t)的付氏变换成频谱。
H(f)系统的频率特性,为复数
j(f)
H(f)A(f)e
A(f)——幅频特性
(f)——相频特性
H(f)物理意义:
输入中任一频率f1经系统后,幅值乘了A(f1),相位移了(f)1
H(f)是对滤波器的充分描述。
三﹑连续系统的冲激响应﹑
输入(t)输出h(t)称为冲激响应h(t)T[(t)]
由于(t)具有筛分性质所以x(t)可以表示为
x(t)
x(
)
(t
)d
y(t)
T[x(t)]
x()T[(t
)]d
x()h(t)d
可见,只要知道h(t),利用该式就可以计算出对任意输入x(t)
的输出y(t)所以h(t)也是对系统的充分描述。
等式右端的积分称为卷积,记为
y(t)x(t)*h(t)h(t)*x(t)h()x(t)d
四﹑冲激响应和频率特性之间的关系。
H(f)与h(t)互为付氏变换对。
五﹑卷积的图解法和滤波的响应时间
(略)P30图2-8,图2-9
六﹑周期性时间函数的付氏变换和付氏级数。
周期函数付氏级数离散频谱
绝对可积
非周期付氏变换连续频谱
周期函数付氏变换是否存在?
答案是肯定的,但含有冲激函数
例2-2
f(t)=1付氏变换F[1]
(F)
F[(T)]1
j2
f
t
例2-3
f(t)
e
0
复指数信号j2
t
(ff0)
F[e
f0]
例2-4正弦和余弦信号
-f0f0
F[cos(2
f0
t)]
1[
(f
f0
)
(f
f0
)]
2
F[sin(2
f0
t)]
1[
(f
f0
)
(f
f0
)]
2j
-f0f0
例2-5﹑周期为T的任意周期函数fT(t)
F[fT(t)]
?
F(n)(fnf0
)
例2-6一串等间隔的冲激的付氏变换
先求付氏级数变换
2-3离散时间信号的频谱
xt
采样、模数转换
XnTS
XnTS=xtt
nTS
XnTS不连续,严格意义上的付氏变换不存在,它的付氏变换定
义为:
XejTS
xnTsej2fnTS
xnTsejnTS或
n
n
此处,付氏变换变量写成ejTS,而不写成
或f,是因为f总是以
ejTS=ej2
fTS的形式出现。
现推导Xej
TS与Xt的频谱X
f的关系
定义:
x*t
Xt
tnTs
XnTs
t
nTs
n
n
F[x*t]=X*f
XnTs
e
j2fnTS
n
可见X*f
XejTS再考虑X*
f与X
f
的关系
x*t=
tnTs
n
X*f=Xf*F[tnTs]
n
=Xf*[fs
fnfs]
n
=fs[Xf*fnfs]
n
fnfsX*f
-fsfs/2fs0fs2fs-ffs/2fs
即X*f为Xf的同期延拓
若f>fs/2时,Xf=0,则在-fs/2到fs/2范围内,X*f与Xf
完全相同,也就是说,XnTS可以唯一的确定出xt。
已知XnTS,可求出X*f,对X*f在[-fs/2,fs/2]范围内
积分,就可求出xt
若f
>fs/2时,Xf
0,,则X*
f在[-fs/2,fs/2]范围内的
值与Xf
的值不同,这样就无法根据
X*f求出xt,即XnTS无
法复原出xt,这就是采样定理。
2-4
Z变换
连续时间函数、拉氏变换
Fs
fte
stdt
0
s=
j
与付氏变换相比,拉氏变换相当于将
ft先乘上
e
t后再做付氏
变换,称为收敛因子,
=0的拉氏变换就是付氏变换,
在S复平面
上,=0相当于虚轴,所以虚轴上的拉氏变换就是付氏变换。
对离散信号,也有拉氏变换,定义为:
s
sn
X(eTs)
n
x(nTs)eTs
ST
ST
由于变换后S总以e
的形式出现,令
Z=e
,进行变量置换
n
X(z)
n
x(nTs)z
称为Z变换,也就是离散信号的付氏变换。
S平面和Z平面的影射关系如下图,S平面上的虚轴影射到Z平
面上是一个单位圆。
jwIm[z]
Re[z]
S
(
jw)
jw
zeTs
e
Ts
0e
Ts
S沿着虚轴在-到+变化时,Z沿着单位圆变化多圈。
所
以单位圆上的Z变换既离散信号的付氏变换。
2-5离散时间系统的单位冲激响应和频率特性
一﹑离散时间系统﹑
输入和输出都定义在离散域的系统称为离散系统。
x(n)T[?
]y(n)
二﹑单位冲激序列和单位冲激响应﹑
单位冲激序列的定义:
(nTs)
1
n=0
0
n0
一个离散系统对
(nTs)的响应记作hnTs,称为该系统的单位冲
激响应,即:
hnTs
TnTs
xnTs
xkTs
nTs
kTs
k
x(-2)x(-1)x(0)x
(1)x
(2)x(3)x(4)
对应的输出为:
ynTsTXnTs
=T
xkTs
nTs
kTs
k
=xkTs
T
nTs
kTs
k
=xkTs
.
h(nTs
kTs)
k
=hkTs
x(nTs
kTs)
k
=hnTs
XnTs
=XnTs
hnTs
三、离散时间系统的频率特性
ynTs
=
xkTs
.h(nTs
kTs)
k
取付氏变化
Ye
jTS
=
xkTshnTskTs
e
jnT
S
n
n
=
xkTs[
hnTs
kTs
ejnTskTs]ejkTs
k
n
=[
xkTsejkTs][
hnTs
kTsejnTskTs]
k
n
j
TS
jTS
=Xe
He
HejTS就是离散系统的频率特性,它与单位冲激响应
hnTs构成
付氏变换对,Hej
TS是以fs为周期的周期函数。
它在-fs/2
到fs/2内
的形状描述了它的滤波特性。
hnTs
的
Z
变换是:
HZ
hnTs
Z
n
称为系统的传递函数
n
2-6简单滤波单元及其级联滤波
一.简单滤波单元
1.概念:
用加减法构成的线性滤波单元。
2.基本假设:
输入信号是由稳恒直流,稳恒基波加上稳恒整次谐
波构成。
3.适用范围:
中低压网络的慢速保护。
4.作用原理
(1).加法滤波:
设需要滤除的谐波周期是TN,则可以用当前采样值与半个
周期前的采样值相加将其滤除。
由上图fn(t)fn
(tTn)
0
2
例:
设谐波次数为
5,则
Tn
T
1
4ms
若采样周期为Ts1ms
则
5
五次谐波一个周期采样四点,半个周期采样两点,离散化的滤
波公式为f5(kTs)f5(kTs2Ts)f5(kTs)f5[(k2)Ts]0
既只要将当前采样值与两点前的采样值相加,即可滤除五次谐
波。
(2).减法滤波
用当前采样值与某次谐波一个周期前的采样值相减,就可以
滤除某次谐波。
二.基本形式及其特性
(一).相减(差分)滤波单元
差分方程为:
y(n)x(n)x(nk)
对其做Z变换,得到转换函数(传递函数)
Y(Z)
Z
K
H(Z)
X(Z)
1
jw
令Z
ets代入上式,可得
|H(e
jW
TS)|1
e
jkwtc
1[coskwts
jsinkwts]
所以幅频特性为:
jw
(1
coskwts)
2
2
|H(ets)|
sinkwts
22coskwts
2
1
coskwts
2
2|sinkwts|
2
sinkwts
(12fkts)
(wts)arctg
1coskwts
2
对微机保护来说,最为关心的是幅频特性。
式中,W=2f
为输入信号的角频率,
Ts为采样周期,fs
1
ts
通带要求,fs为f1
的整数倍,
既fsNf1.N=1,2,
由上述公式,可以绘出
|H(e
jwts
)|
的波形
设可以滤除的谐波的次数为m,相位的角频率为w,则
wmw1m2f1
将该频率代入幅频特性表达式,结果应为零,既
JM
W1TS)|2|sin
km
f
|H(e
f
1
|0
s
kmf
1
I
(I=0,1,,
既
fs
mI
fs
Im0
kf1
可见,m的取值为0,m0,2m0,.........
既直流分量,m次及m的整数倍次谐波均可以滤除
00
例如:
N=12,K=4,则m0=3这时直流,三次,六次,九次,十二
次谐波均可有差分滤波y(n)=x(n)-x(n-4)滤除。
若KN,则可滤去基波、直流及所有整数次谐波,稳态无输出,
故障是输出一个周波的故障分量。
可以用来启动保护、选相及构成反应故障分量的继电保护。
(二)相加滤波单元
差分方程为:
y(n)
x(n)
x(n
k)
k
H(z)
1z
kw
t
曲线如下
jw
t
s
s
|H(e
)|
2|cos
|
2
为滤除m次谐波,令w
jw
mw1,代入上式使|H(ets)|0
可得
m(1
I)
fs
(12I)m0
2
kf1
n
m
I0m0
所以无论N﹑K取何值均不能滤除直流,能滤除的最低次谐波为
m0
N
,还能滤除次m0,3m0,5m0谐波
2k
例如:
N=12﹑K=2则
可滤除三次,九次,十五次谐波
若取kN,也可算出突变量。
2
(三)积分滤波单元
差分方程:
y(n)x(n)x(n1)x(n2)x(nk)
转移函数:
k1
z
(k1)
H(z)1
1
2
z
1
z
z
1
z
幅频特性(zejwts)
jwts
sin
(k1)wts
|H(e
|
2
|
)|
sinwts
2
欲使M次谐波wmmw1
(k
1)2
mf1ts
为零,要求
2
I1
且
2
mf1
ts
I2
2
既
N
且mI2N
mI1k1
N
就是说,这种滤波器能够滤除除
N的整数倍次之外,
的整数倍
k
1
次谐波。
例如:
若N=12,K=5则N
2
k1
则积分滤波器能够滤除除二次,四次,六次,八次,十次,十四次等谐波。
但不能滤除零次,十二次,二十四次及各种奇次谐波。
实际上,为满足采样定理,在每周采样12点的情况下,输入信号中最高谐波频率为既最高为六次谐波,上述滤波单元能滤去2,4,6次。
保留直流﹑基波,3,5次谐波。
(四)加减滤波单元
差分方程为
k
y(n)x(n)x(n1)x(n2)
(1)x(nk)
转移函数为:
1
2
k
k
H(z)
1z
z
(1)
z
k
(k1)
1(
1)z
1
1z
1﹑K为奇数
代入,得幅频特性。
欲滤去M次谐波,则
(k1)2
mf1
I1
m
I1
N
(I1
0,1)
2fs
且
k
1
mf1
(I2
1
m
1
0,1
)
fs
)
(I2
)N(I2
2
2
既能够滤除(I2
1)N次谐波之外,
N
的整数倍谐波
2
k
1
例如:
N=12,K=3则
I1
N
I1
12
3I1可能的取值有,0,3,6,9,12
1
4
k
(I2
1)N
(I2
1)12
12I1
6可能的取值有,6,18
2
2
所以上述滤波器可以滤除6,18次之外,3的整数倍的谐波:
0,
3,9,12
再如:
N=12,K=5
N
2I1可能的取值有,0,2,4,6,
I1
k
1
(I2
1)N12I1
6可能的取值有,6,18,
2
所以上述滤波器可以滤除
6,18次之外,2的整数倍的谐波:
0,
2,4,8,
2,K为偶数:
1
(k1)
H(z)
z
1
k
z
(k
1)wts
jw
cos
2
|
|H(ets)||
cos
mts
2
为滤去m次谐波,要求
(k
1)mf1
(I1
1
1
N
fs
)
m(I1
)
且
2
2
k1
1)N
m
(I2
2
可见,m的取值范围不包括零,所以无法滤除直溜分量,
设N=12,K=5则
m(I1
1)12
可能的取值为1,3,5,7
2
6
(I2
1)N可能的取值为6,18
2
不会发生冲突,可滤除基波,3次,5次等谐波简单滤波器的特点
(1)运算简单
(2)梳妆特性,频谱上有较大旁瓣。
仅能滤除某些整数次谐波,频
率变化时误差大。
(3)时延
c反比于m0
,m0
1
k故有结论
c
k
(4)运算结构为非递归结构,冲击响应有限(书上的第四条仅对一,
二两种滤波器适用,积分。
加减交替却有极点,都存在稳定问
题。
)
三简单滤波单元的组合
优点:
运算简单。
简单滤波
缺点:
特性旁瓣大,误差大。
并联:
应用不多
组合
级联:
上级的输出作为下级的输入。
M个简单滤波单元组成的级联滤波器。
转移函数:
H(z)
M
Hi(z)
i1
幅频特性:
M
i(z)|
|H(jwts)|
|
H
e
i1
相频特性:
M
(wts)
i1
i(wts)
时延特性:
M
c
ci
i1
M
运算量(指最少加减法数)为:
A
Ai
i
1
级联后,仍具有简单梳妆的几个主要特点,但性能会有较大改善
(旁瓣下降)以例说明。
例一:
设采样频率为fs600Hz,要求完全滤除直流及2,3,4,
6次谐波分量。
解:
fs600Hz所以N
f
f
s12点
1
欲滤除直流及2,4,6,次谐波,可用K=6的差分滤波,
m0
N
12
2
K
6
m
Im0
可能取值0,2,4,6
H2(z)(1
z
6)
欲滤除三次谐波,可选取K=3的积分滤波。
m0
N
12
3
K
1
3
1
H4(z)
1
2
3
1
z
z
z
m
Im0可能取值3,6,
可见,只要两极级联就能够完成上述要求,但此时仍会有较大旁
瓣,为减小旁瓣,可分别增加一个对高频部分衰减较大的差分和积分
滤波。
H1(z)
1
z
2
K=2。
m0
N
6
可滤除直流分量和
6次
K
H3(z)
1
z
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