答案是B随机过程B卷及答案.docx
- 文档编号:18191444
- 上传时间:2023-08-13
- 格式:DOCX
- 页数:20
- 大小:21.02KB
答案是B随机过程B卷及答案.docx
《答案是B随机过程B卷及答案.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《答案是B随机过程B卷及答案.docx(20页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
答案是B随机过程B卷及答案
答案是B随机过程2012B卷及答案
答案是B随机过程2012B卷及答案
河北大学2012——2013学年第一学期
《应用随机过程》试卷(B)
学院理学院班级姓名学号
一.概念简答题(每题5分,共40分)
1.设随机变量X1,X2,L,Xn相互独立且服从同一正态分布N(m,s2),试求
X=
1n
n
å
k=1
Xk
的分布。
2.设更新过程{N(t),t³0}的更新时间距Tk的概率密度函数为f(t)=l2te-lt,t³0求证:
均值函数mN(t)=
12
lt-
14
(1-e
-2
lt
),并求其更新强度l(t)。
3.简述Poisson过程的随机分流定理
4.简述Markov链与Markov性质的概念
5.简述Markov状态分解定理
6.简述HMM要解决的三个主要问题
7.已知随机过程{X(t)=Xsinwt,tÎ(-¥,+¥)},其中X为随机变量,服从正态分布
N(m,s)
2
。
(1)按物理结构分,X(t)属哪一类随机过程;
(2)按概率结构分,X(t)又属哪一类随机过程。
8.什么是时齐的独立增量过程?
二.综合题(每题10分,共60分)
1.设随机过程{X(t)=cosFt,tÎT},其中F是服从区间(0,2p)上均匀分布随机变量,试证:
(1)当T={n|n=0,±1,±2,L}时,{X(t),tÎT}为平稳序列。
(2)当T={t|tÎ(-¥,+¥)}时,{X(t),tÎT}不是平稳过程。
ì7y4,0 2.已知随机变量Y的密度函数为fY(y)=í,而且,在给定Y=y条件 î0,其他ì3x2,0 试求随机变量X下,随机变量X的条件密度函数为fX|Y(x|y)=í î0,其他 和Y的联合分布密度函数f(x,y). 3.二阶矩过程{X(t),0£t s 2 1-t1t2 0£t1,t2 此过程是否均方连续、均方可微,若可微,则求RX¢(t1,t2)和RXX¢(t1,t2)。 4.如果X(0),X (1),L,X(n),L是取整数值且相互独立的随机序列。 (1)试证{X(n),n³0}是马尔可夫链,在什么条件下是其次的? n (2)设P{Xn()=i}=pn,i=0,1,2,,L(Y)n =X(å)k k=0 ,试证{Y(n),n³0}是齐次马 尔可夫链,指出其状态空间,并求其一步转移概率。 5.一生产线生产的产品成箱包装,每箱的重量是随机的。 假设每箱平均重50kg,标准差为5kg,若用最大载重量为5000kg的汽车承运,试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱,才能保障部超载的概率大于0.9772. é1ê2êê1P=ê ê0êê1êë2 ***** 002312 ù0úú0úú0úúú0úû 6.设I={1,2,3,4},其一步转移概率矩阵,试画出状态传递图, 对其状态进行分类,确定哪些状态是常返态,并确定其周期。 河北科技大学2012——2013学年第一学期 《应用随机过程》试卷(B)答案 一.概念简答题(每题5分,共40分) 1.设随机变量X1,X2,L,Xn相互独立且服从同一正态分布N(m,s2),试求 X= 1 n ån Xk 的分布。 k=1 答: 由Xi~N(m,s2)可知 jX(t)=e i imt- st 2 22 i=1,2,L,n n 由于X1,X2,L,Xn相互独立,根据特征函数的性质可得,X=å( k=1 Xkn )的特征函数 为 jX(t)=(jX( i tn ))=(e n imt- st 2 22 )=e n imt- st 22 2n 上式即为正态分布N(m, 1 n s 2 n )的特征函数,所以有唯一性可知 X= ån Xk~N(m, m 2 k=1 n ) 2.设更新过程{N(t),t³0}的更新时间距Tk的概率密度函数为f(t)=l2te-lt,t³0求证: 均值函数mN(t)= 12 lt- 14 (1-e -2lt ),并求其更新强度l(t)。 n 答: 因为更新间距Tk~G(2,l),故更新时刻tn=数与分布函数分别为 åT k=1 k ~G(2n,l) ,其概率密度函 ìl2n-1-lt (lt)e,t>0ï ftn(t)=íG(2n) ï0,t£0îìtl2n-1-ls (ls)eds,t>0ïò0 Ftn(t)=íG(2n) ï0,t£0î ¥ mN(t)= t0 åFt n=1 n (t)= ò t0 lG(2n) -ls (ls) t0 2n-1 e -ls ds= ò t0 ¥ le -ls (å n=1 (ls) 2n-1 (2n-1)! -2lt )ds = ò l 2 (e ls -e -ls )eds=( ò l 2 (1-e -2ls )ds= lt 2 - 14 (1-e ) l(t)= ¥ ddt mN(t)= 2n-1 ddt lt 2 lt - 14 (1-e -2lt )) 注: å k=1 (lt) (2n-1)! = 12 (e-e -lt ) 3简述Poisson过程的随机分流定理 答: 设Nt为强度为l的poisson过程,如果把其相应的指数流看成顾客流,用与此指数流相互独立的概率p,把每个到达的顾客,归入第一类,而以概率1-p把他归入第二类。 对i=1,2,记Nt(i)为t前到达的第i类顾客数,那么 {Nt (1) : t³0},{Nt (2) : t³0}分别为强度为pl与(1-p)l的poisson过程,而且这 两个过程相互独立。 4简述Markov链与Markov性质的概念 答: 如果随机变量是离散的,而且对于"n³0及任意状态 i,j,i0,L,in-1,都有p(xn+1=j|xn=i,xn-1=in-1,L,x0=i0)=p(xn+1=j|xn=i) ,该随 机序列为Markov链,该对应的性质为Markov性质。 5.简述Markov状态分解定理 答: (1)Markov链的状态空间S可惟一分解为S=TÈH1ÈH2ÈL,其中T为暂态的全体,而Hi为等价常返类。 (2)若Markov链的初分布集中在某个常返类Hk上,则此Markov链概率为1地永远在此常返类中,也就是说,它也可以看成状态空间为Hk的不可约Markov链。 6.简述HMM要解决的三个主要问题 答: (1)从一段观测序列{Yk,k£m}及已知的模型l=(m,A,B)出发,估计Xn的最佳值,称为解码问题。 这是状态估计的问题。 (2)从一段观测序列{Yk,k£m}出发,估计模型参数组l=(m,A,B),称为问 题。 这是参数估计问题。 (3)对于一个特定的观测链{Yk,k£m},已知它可能是由已经学习好的若干模型之一所得的观测,要决定此观测究竟是得自于哪一个模型,这称为识别问题,就是分类问题。 7.已知随机过程{X(t)=Xsinwt,tÎ(-¥,+¥)},其中X为随机变量,服从正态分布 N(m,s) 2 。 (1)按物理结构分,X(t)属哪一类随机过程; (2)按概率结构分,X(t)又属哪一类随机过程。 答: (1)因为随机过程X(t)的参数空间T=(-¥,+¥)为连续集合,而X服从正态分布,亦在(-¥,+¥)上取值,即X(t)的状态空间E=(-¥,+¥)为连续集合,故此随机过程X(t)属于参数空间为连续集,状态空间为连续集的随机过程。 2222 ù (2)因为Eé,所以X(t)为二阶矩过程。 ëX(t)û=E(Xsinwti)£s 由于X服从正态分布,X(t)中任意多个随机变量X(ti)=Xsinwti,i=1,2,L,n n n 的线性组合åaiX(ti)=(åaiwti)X服从正态分布,故(X(t1),L,X(tn))服从n维正 i=1 i=1 态分布,所以{X(t)=Xsinwt,tÎT=(-¥,+¥)}还是正态随机过程。 8.什么是时齐的独立增量过程? 答: 称随机过程{xt: t³0}为独立增量过程,如果对于"n,"0£t0 二.综合题(每题10分,共60分) 1.设随机过程{X(t)=cosFt,tÎT},其中F是服从区间(0,2p)上均匀分布随机变量,试证: (1)当T={n|n=0,±1,±2,L}时,{X(t),tÎT}为平稳序列。 (2)当T={t|tÎ(-¥,+¥)}时,{X(t),tÎT}不是平稳过程。 证: (1)当参数空间为T={n|n=0,±1,±2,L}时①E[X(t)]=E[cos(Ft)]= ò 2p0 ì1,t=0 cos(xt)dx=í2pî0,t¹01 12 (1分) ②RX(t1,t2)=E[cos(Ft1)cos(Ft2)]=当t1=t2=0时,RX(t1,t2)=1当t1与t2不全为零时,有 12 2p0 E[cos(F(t1+t2))+cos(F(t2-t1))] RX(t1,t2)= ò ì1 ï,t-t=0 [cos(x(t1+t2))+cos(x(t2-t1))]×dx=í221 2pï0,t-t¹0 î21 1 即RX(t1,t2)只与t2-t1有关。 (2分) ì1,t=0ï22 ù=RX(t,t)=í1|X(t)|ù<+¥③Eé,即Eé|X(t)|ëûëû,t¹0ï î2 故当T={n|n=0,±1,±2,L}时,{X(t),tÎT}为平稳序列。 (2分) (2)当参数空间为T={t|tÎ(-¥,+¥)}时,由于 2p0 E[X(t)]=E[cos(Ft)]= ò t=0ì1, ï cos(xt)dx=í1(5分)2psin(2pt),t¹0ï î21 为t的函数,不是常数,故当T={t|tÎ(-¥,+¥)}时,{X(t),tÎT}不是平稳过程。 ì7y4,0 而且,在给定Y=y条件2.已知随机变量Y的密度函数为fY(y)=í î0,其他ì3x2,0 试求随机变量X下,随机变量X的条件密度函数为fX|Y(x|y)=í î0,其他 和Y的联合分布密度函数f(x,y). ì7y4´3x2,0 答: f(x,y)=fY(y)´fX|Y(x|y)=í(5分) î0,其他 ì21y4x2,0 =í(5分) î0,其他 3.二阶矩过程{X(t),0£t s 2 1-t1t2 0£t1,t2 此过程是否均方连续、均方可微,若可微,则求RX¢(t1,t2)和RXX¢(t1,t2)。 答: ¶¶t1 RX(t1,t2)= st2 (1-t1t2)¶ 2 2 2 ¶¶t2 RX(t1,t2)= 2 st1 (1-t1t2) 2 2 ¶t1t2 RX(t1,t2)= s(1+t1t2) (1-t1t2)¶ 2 3 0£t1,t2 2 由对称性知, ¶ 2 2 ¶t1t2 RX(t1,t2)存在且等于 ¶ ¶t2t1 RX(t1,t2),显然 在任意点 ¶t1t2 RX(t1,t2)= s(1+t1t2) (1-t1t2) 3 0£t1,t2 1 t2, 1连续,故} RX¢(t1,t2)广义二阶可微,即{X(t),0£t 连续。 RX¢(t1,t2)=E[X¢(t1)X¢(t2)]= ¶ 2 ¶t1t2¶¶t2 RX(t1,t2)= s(1+t1t2) (1-t1t2) 3 2 (5分) RXX¢(t1,t2)=E[X(t1)X¢(t2)]= RX(t1,t2)= st1 (1-t1t2) 2 2 (5分) 4.如果X(0),X (1),L,X(n),L是取整数值且相互独立的随机序列。 (1)试证{X(n),n³0}是马尔可夫链,在什么条件下是其次的? n (2)设P{Xn()=i}=pn,i=0,1,2,,L(Y)n =X(å)k k=0 ,试证{Y(n),n³0}是齐次马 尔可夫链,指出其状态空间,并求其一步转移概率。 答: (1)X(0),X (1),L,X(n),L是独立随机变量序列,故为马尔可夫过程,其状态集 E={0,±1,±2,L},所以X(n)是马尔可夫链。 其一步转移转移概率 所以X(n)一般情况pij(k)=P{X(k+1)=j|X(k)=i}=P{X(k+1)=j}与k有关, 下是非齐次马尔科夫链,仅当P{X(k+1)=j与绝对时刻k无关,即X(k)同分布时,X(n)为齐次马尔可夫链。 (5分) (2)Y(n)= n å k=0 X(k)为独立增量的随机过程,状态集E={0,±1,±2,L},故为马 尔科夫链,一步转移概率 pij(k)=P{Y(k+1)=j|Y(k)=i}=P{X(k+1)=j-i}=pj-i i,jÎE 与绝对时间k无关,故{Y(n),n³0}是齐次马尔科夫链。 (5分)5.一生产线生产的成箱包装,每箱的重量是随机的。 假设每箱平均重50kg, 标准差为5kg,若用最大载重量为5000kg的汽车承运,试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱,才能保障部超载的概率大于0.9772. 2L,答: 记Xi表示第i箱的重量,i=1,,则X1,X2,L,Xn,L独立同分布,且 E(Xi ìmü 设汽车可装m箱符合要求,即PíåXk£5000ý³0.9772 îk=1þ m m m m 而E(åXk)=åE(Xk)=50m,D(åXk)=åD(Xk)=25m k=1 k=1 k=1 k=1 根据列维中心极限定理可知 ìm Píåîk=1 ìmü X-50måkïïüXk£5000ý=P£»F(5分)þïïîþ 于是 F( ³0.9772,而F (2)=0.9772,故 5000-50m ³2Þ10m+£0 所以 10 10 解得 æ0 ç10è (5=98.0199ø 2 分) 即每辆车最多可装98箱。 é1 ê2êê1P=ê ê0êê1êë2 ***** 002312 ù0úú0úú0úúú0úû 6.设I={1,2,3,4},其一步转移概率矩阵,试画出状态传递图, 对其状态进行分类,确定哪些状态是常返态,并确定其周期。 答: 因为对一切n³1,f44(n)=0,所以f44=0<1,从而知道状态4是非常返态。 (1分) 23 23 23 n³2时,f33 (1) = f33 (n) = 所以f33= <1,从而知道状态3也是非常返态。 (1分) 而f11=f11 (1)+f11 (2)= 12 + 12 =1,(2分) f22=f22 (1) +f22 (2) +...=0+1/2+1/2+...=1,(2 2分) 所以状态1和状态2都是常返态。 又由于 ¥ m1= å n=1 nf11 (n) =1´ 12 +2´ 12 = 32 <+¥,(2分) ¥ m2= å n=1 nf22=1´0+2´ (n) 12 +3´ 12 2 故状态+...=3<+¥,而其周期均为1,1与状态2 是正常返态,且为遍历态。 (2分)
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 答案 随机 过程
![提示](https://static.bingdoc.com/images/bang_tan.gif)