北京市人大附中届高三2月内部特供卷理科数学(二)Word版含答案.docx
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届高三2月份内部特供卷
高三理科数学
(二)
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:
每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:
用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。
p1pp1p1B.+1C.+D.++6312123436.世界数学名题“3x+1问题”:
任取一个自然数,如果它是偶数,我们就把它除以2,如果它是奇数,我们就把它乘3再加上1,在这样一个变换下,我们就得到了一个新的自然数,如果反复使用这个变换,我们就会得到一串自然数,猜想:
反复进行上述运算后,最后结果为1,现根据此问题设计一个程序框图如下图,执行该程序框图,若输入的N=5,则输出i=()
封
座位号
A.
第Ⅰ卷
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.如图,在矩形区域ABCD的A,C两点处各有一个通信基站,假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源,基站工作正常),若在该矩形区域内随机地选一地点,则该地点无信号的概率是()考场号准考证号
装
订
不
密
A.1-
p4
B.
p-12
C.2-)
p2
D.
p4
A.3
B.5
C.6
D.7
132.已知复数z=--i,则z+|z|=(2213A.--i2213B.-+i22
只
7.已知函数f(x)=Asin(wx+j)(A>0,w>0,|f|
g(x)=Acos(wx+j)图象的一个对称中心可能为()
卷
13C.+i22
13D.-i22
姓名
p1p3.若cos(a+)=,aÎ(0,),则sina的值为(432)D.
23
此
A.
4-26
B.
4+26
C.
718
A.(-2,0))
B.(1,0)
C.(10,0))
D.(14,0)
4.集合A={x|x2-1>0},B={y|y=3x,xÎR},则AIB=(班级A.(-¥,-1)B.(-¥,-1]C.(1,+¥)
D.[1,+¥))
8.函数y=esinx(-p≤x≤p)的大致图象为((x-2)2+y2=16的实线部分上运动,且AB总是平行于x轴,则△FAB的周长的取值范
围是A.B.
.
C.
D.
三、解答题:
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设Sn为数列{an}的前n项和,且a1=1,nan+1=(n+2)Sn+n(n+1),nÎN*.
(1)证明:
数列{Sn+1}为等比数列;
n
9.已知点A,B,若四面体ABCDC,D在同一个球的球面上,AB=BC=2,AC=2,的体积为A.
25p4
23,球心O恰好在棱DA上,则这个球的表面积为(3)
B.4p
C.8p
D.16p
(2)求Tn=S1+S2+L+Sn.
10.F为双曲线
x2y2四边形OFMN-=1(a>0,b>0)右焦点,M,N为双曲线上的点,a2b2)18.如图所示的几何体ABCDEF中,底面ABCD为菱形,AB=2a,ÐABC=120°,AC与BD相交于O点,四边形BDEF为直角梯形,DE//BF,BD^DE,DE=2BF=22a,平面BDEF^底面ABCD.
为平行四边形,且四边形OFMN的面积为bc,则双曲线的离心率为(A.2B.22C.2D.3
ìx-y+k≥0ï11.已知不等式组í3x-y-6≤0表示的平面区域恰好被圆C:
(x-3)2+(y-3)2=r2所覆ïx+y+6≥0î
盖,则实数k的值是()A.3B.4C.5D.6)
12.已知x0是方程2x2e2x+lnx=0的实根,则关于实数x0的判断正确的是(A.x0≥ln2B.x0<
1e
C.2x0+lnx0=0
D.2ex0+lnx0=0
(1)证明:
平面AEF^平面AFC;
(2)求二面角E-AC-F的余弦值.
第Ⅱ卷
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分.13.(x+1)
(x-1)5展开式中含x3项的系数为.(用数字表示)19.为了让贫困地区的孩子们过一个温暖的冬天,某校阳光志愿者社团组织“这个冬天不再冷”冬衣募捐活动,共有50名志愿者参与,志愿者的工作内容有两项:
①到各班做宣传,倡议同学们积极捐献冬衣;②整理、打包募捐上来的衣物,每位志愿者根据自身实际情况,只参与其中的某一项工作,相关统计数据如下表所示:
14.已知a=(1,l),b=(2,1),若向量2a+b与c=(8,6)共线,则a在b方向上的投影为.15.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,btanB+btanA=-2ctanB,且a=8,△ABC的面积为43,则b+c的值为.
16.如图所示,点F是抛物线y2=8x的焦点,点A,B分别在抛物线y2=8x及圆
(1)如果用分层抽样的方法从参与两项工作的志愿者中抽取5人,再从这5人中选2人,那么“至少有1人是参与班级宣传的志愿者”的概率是多少?
(2)若参与班级宣传的志愿者中有12名男生,8名女生,从中选出2名志愿者,用X表示所选志愿者中的女生人数,写出随机变量X的分布列及其数学期望.1418+2≥.a+1b+17
2
x2y24020.已知椭圆C:
2+2=1(a>b>0)的长轴长为6,且椭圆C与圆M:
(x-2)2+y2=ab9
的公共弦长为
410.3
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点P(0,2)作斜率为k(k>0)的直线l与椭圆C交于两点A,B,试判断在x轴上是否存在点D,使得△ADB为以AB为底边的等腰三角形,若存在,求出点D的横坐标的取值范围;若不存在,请说明理由.
21.已知函数f(x)=
ex-a(x-lnx).x
(1)当a≤0时,试求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)在(0,1)内有极值,试求a的取值范围.
请考生在
22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.选修4-4:
坐标系与参数方程已知曲线C:
r=
ìx=tcosa2,直线l:
í(t为参数,0≤a
(1)求曲线C的直角坐标方程;
(2)设直线l与曲线C交于A,B两点(A在第一象限),当OA+3OB=0时,求a的值.
23.选修4-5:
不等式选讲已知函数f(x)=|2x-1|+|x+1|.
(1)求不等式f(x)≤3的解集;
(2)若函数y=f(x)的最小值记为m,设a,bÎR,且有a2+b2=m,试证明:
2018届高三2月份内部特供卷
高三文科数学
(二)答案
一、选择题1.
【答案】A
【解析】几何概型2.
【答案】C1313
【解析】z=-+i,z=1,\z+z=+i.故选C.22223.
【答案】A
pö22éæpöpù4-2ææpö
【解析】aÎç0,÷,\sinça+÷=,\sina=sinêça+÷-ú=,4ø34ø4û6èè2øëè故选A.4.
【答案】C
【解析】A={xx>1或x<-1},B={yy>0},\AB={xx>1},选C..
5.
【答案】C
【解析】由三视图可知:
该几何体是由一个三棱锥和一个圆锥的C.6.
【答案】C7.
【答案】C
【解析】由题知A=23,2p1组成的,故选4
j=-
3p,4
w
=2(6+2),w=
p,再把点2,-23代入可得8
(
)
3pöæp\g(x)=23cosçx-÷,故选C.4øè88.
【答案】D
【解析】由函数y=e
ppù,时,ë22úûsinxxy=sinx为单调递增函数,而外层函数y=e也是增函数,所以y=e(-p≤x≤p)
sinx
(-p≤x≤p)不是偶函数,排除
A、C,当xÎéê-
éppù在xÎê-,ú上为增函数.故选D.ë22û9.
【答案】D
【解析】根据条件可知球心O在侧棱DA中点,从而有AC垂直CD,AD=4,所以球的半径为2,故球的表面积为16p.10.
【答案】Bc
【解析】设M(x0,y0),∵四边形OFMN为平行四边形,∴x0=,∵四边形2æcöOFMN的面积为bc,∴y0c=bc,即y0=b,∴Mç,b÷,代入双曲线方程得è2øe2-1=1,∵e>1,∴e=22.选B.411.
【答案】D
【解析】由于圆心(3,3)在直线3x-y-6=0上,又由于直线x-y+k=0与直线
k+6ìx=-ïï2x+y+6=0互相垂直其交点为í,直线3x-y-6=0与x+y+6=0的交ïy=k-6ïî2
点为(0,-6).由于可行域恰好被圆所覆盖,及三角形为圆的内接三角形圆的半径为r=(3-0)2+(3+6)2=310,解得k=6或k=-6(舍去).故选D.
12.
【答案】C
【解析】方程即为2x02e2x0=-lnx0,即2x0e2x0=e-lnx0(-lnx0),令f(x)=xex,\f(2x0)=f(-lnx0),则f¢(x)=ex(x+1)>0,函数f(x)在定义域内单调递增,结合函数的单调性有:
2x0=-lnx0,故选C.
二、填空题13.
【答案】033
【解析】(x-1)5展开式中含x3项的系数为C5=10,含x2项的系数为-C5=-10,所以(x+1)(x-1)展开式中含x3项的系数为10-10=0.
5
14.
【答案】
355
【解析】由题知l=1,所以投影为15.
【答案】45
【解析】
35.5
12pbtanB+btanA=-2ctanB,\由正弦定理cosA=-,A=,23
2
a=8,由余弦定理可得:
64=b2+c2+bc=(b+c)-bc,又因为△ABC面积
131bc,bc=16,b+c=45.43=bcsinA=´222(8,12)16.
【答案】
【解析】易知圆(x-2)+y2=16的圆心为(2,0),正好是抛物线y2=8x的焦点,2
4),过点A作抛物线准圆(x-2)+y2=16与抛物线y2=8x在第一象限交于点C(2,2
线的垂线,垂足为点D,则AF=AD,则AF+AB=AD+AB=BD,当点B位于圆(x-2)+y2=16与x轴的交点(6,0)时,BD取最大值8,由于点B在实线上
2
运动,因此当点B与点C重合时,BD取最小值4,此时A与B重合,由于
F、A、B构成三角形,因此4 三、解答题17. 【答案】 (1)因为an+1=Sn+1-Sn,所以n(Sn+1-Sn)=(n+2)Sn+n(n+1),即nSn+1=2(n+1)Sn+n(n+1),则所以 Sn+1S=2´n+1,n+1n Sn+1SS+1=2(n+1),又1+1=2,n+1n1S故数列{n+1}是首项为2,公比为2的等比数列.nSS (2)由 (1)知n+1=(1+1)×2n-1=2n,n1 所以Sn=n×2n-n,故Tn=(1´2+2´22+设M=1´2+2´22+则2M=1´22+2´23+所以-M=2+22+ +n×2n)-(1+2+ +n×2n,+n×2n+1,+n). +2n-n×2n+1=2n+1-2-n×2n+1,所以M=(n-1)×2n+1+2,n(n+1).218. 【答案】 (1)因为底面ABCD为菱形,所以AC^BD,所以Tn=(n-1)×2n+1+2- 又平面BDEF^底面ABCD,平面BDEF因此AC^平面BDEF,从而AC^EF.又BD^DE,所以DE^平面ABCD,平面ABCD=BD,由AB=2a,DE=2BF=22a,ÐABC=120°,可知AF=4a2+2a2=6a,BD=2a,EF=4a2+2a2=6a,AE=4a2+8a2=23a,从而AF2+FE2=AE2,故EF^AF.又AF AC=A,所以EF^平面AFC. 又EFÌ平面AEF,所以平面AEF^平面AFC. (2)取EF中点G,由题可知OG∥DE,所以OG^平面ABCD,又在菱形ABCD中,OA^OB,所以分别以OA,OB,OG的方向为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系O-xyz(如图所示),则O(0,0,0),A(3a,0,0),C(-3a,0,0),E(0,-a,22a),F(0,a,2a),所以 AE=(0,-a,22a)-(3a,0,0)=(-3a,-a,22a),,AC=(-3a,0,0)-(3a,0,0)= EF=(0,a,2a)-(0,-a,22a)=(0,2a,-2a). (-23a,0,0) 由 (1)可知EF^平面AFC,所以平面AFC的法向量可取为EF=(0,2a,-2a).设平面AEC的法向量为n=(x,y,z),ìì-3x-y+22z=0,ìy=22z,ïn×AE=0,ïï则í,即í,即í,令z=2,得y=4,x=0,ïïïîîx=0,în×AC=0,所以n=(0,4,2).从而cos n×EF6a3.==3|n|×|EF|63a 3.3 故所求的二面角E-AC-F的余弦值为19. 【答案】 (1)用分层抽样的方法,每个人被抽中的概率是所以,参与到班级宣传的志愿者被抽中的有20×参与整理、打包衣物的志愿者被抽中的有30× 1=2人,10 51=,5010 1=3人,10 C327故“至少有1人是参与班级宣传的志愿者”的概率是P=1-2=.C510 (2)女生志愿者人数X=0,1,2,则P(X=0)= 112C12C8C123348,,=P(X=1)==22C2095C2095 P(X=2)= C8214=.2C2095 X ∴X的分布列为012334814P95959533481476∴X的数学期望为E(X)=0×+1×+2×=.9595959520. 【答案】 (1)由题意可得2a=6,所以a=3.由椭圆C与圆M: (x-2)2+y2= 41040的公共弦长为,恰为圆M的直径,39 可得椭圆C经过点(2,± 210440),所以+2=1,解得b2=8.399b 所以椭圆C的方程为 x2y2+=1.98 (2)直线l的解析式为y=kx+2,设A(x1,y1),假B(x2,y2),AB的中点为E(x0,y0).设存在点D(m,0),使得△ADB为以AB为底边的等腰三角形,则DE^AB.由 ìy=kx+236k-18kï2得(8+9k2)x2+36kx-36=0,故x1+x2=-2,所以x0=2,íxy29k+89k+8=1ï+8î9 y0=kx0+2=16.9k2+8因为DE^AB,所以kDE 16-021-2k-21.=-,所以m=2==-,即9k+8-18k8kk9k+8-m9k+9k2+8k 28当k>0时,9k+≥29´8=122,所以-≤m<0.12k 综上所述,在x轴上存在满足题目条件的点D,且点D的横坐标的取值范围为 -2≤m<0.12 ex(x-1)1ex(x-1)-ax(x-1)(ex-ax) (x-1)21. 【答案】 (1)f¢(x)=.-a(1-)==x2xx2x2当a≤0时,对于"xÎ(0,+¥),ex-ax>0恒成立,所以f¢(x)>0,x>1; f¢(x)<0,0 所以单调增区间为(1,+¥),单调减区间为(0,1). (2)若f(x)在(0,1)内有极值,则f¢(x)在xÎ(0,1)内有解.令f¢(x)=设g(x)= (ex-ax) (x-1)exx,,.=0e-ax=0a=xx2 exxÎ(0,1),xex(x-1)所以g¢(x)=,当xÎ(0,1)时,g¢(x)<0恒成立,x所以g(x)单调递减.又因为g (1)=e,又当x®0时,g(x)®+¥,即g(x)在xÎ(0,1)上的值域为(e,+¥),(ex-ax) (x-1)=0有解.x2设H(x)=ex-ax,则H¢(x)=ex-a<0xÎ(0,1),所以H(x)在xÎ(0,1)单调递减.因为H (0)=1>0,H (1)=e-a<0,所以H(x)=ex-ax在xÎ(0,1)有唯一解x0.所以有: (0,x0)x0(x0,1)xH(x)0+-¢f(x)0+-f(x)Z]极小值所以当a>e时,f(x)在(0,1)内有极值且唯一.当a≤e时,当xÎ(0,1)时,f¢(x)≥0恒成立,f(x)单调递增,不成立. 所以当a>e时,f¢(x)=综上,a的取值范围为(e,+¥).请考生在 22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.选修4—4: 坐标系与参数方程2 【答案】 (1)由r=,得r=rsinq+2,1-sinq所以曲线C的直角坐标方程为x2=4y+4; æpö (2)设A(r1,a),则B(r2,p+a),aÎç0,÷,OA+3OB=0Ûr1=3r2,è2ø Û 1p22æö=3ç÷Ûsina=,∴a=.261-sinaè1+sinaø 23.选修4-5: 不等式选讲. ìï-3x,x<-1,ï1ï 【答案】 (1)因为f(x)=|2x-1|+|x+1|=í-x+2,-1≤x≤,2ï1ï3x,x>.ïî2 从图可知满足不等式f(x)≤3的解集为[-1,1]. (2)证明: 由图可知函数y=f(x)的最小值为所以a2+b2= 33,即m=.22 37,从而a2+1+b2+1=,2214214从而2+2=[(a2+1)+(b2+1)] (2+2)=a+1b+17a+1b+1 2b2+14(a2+1)182b2+14(a2+1)×]=.[5+(2+2)]≥[5+227a+1b2+177a+1b+1 b
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