中考数学培优满分专题突破专题4 函数方案与决策.docx
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中考数学培优满分专题突破专题4函数方案与决策
专题4 函数方案与决策
常考类型分析
专题类型突破
类型1利用一次函数进行方案设计与决策
【例1】某景区内的环形路是边长为800米的正方形ABCD,如图1和图2.现有1号、2号两游览车分别从出口A和景点C同时出发,1号车顺时针、2号车逆时针沿环形路连续循环行驶,供游客随时免费乘车(上、下车的时间忽略不计),两车的速度均为200米/分.
探究 设行驶时间为t分.
(1)当0≤t≤8时,分别写出1号车、2号车在左半环线离出口A的路程y1,y2(米)与t(分)的函数关系式,并求出当两车相距的路程是400米时t的值;
(2)t为何值时,1号车第三次恰好经过景点C?
并直接写出这一段时间内它与2号车相遇过的次数.
发现 如图2,游客甲在BC上一点K(不与点B,C重合)处候车,准备乘车到出口A,设CK=x米.
情况一:
若他刚好错过2号车,便搭乘即将到来的1号车;
情况二:
若他刚好错过1号车,便搭乘即将到来的2号车.
比较哪种情况用时较多?
(含候车时间)
决策 已知游客乙在DA上从D向出口A走去,步行的速度是50米/分.当行进到DA上一点P(不与点D,A重合)时,刚好与2号车迎面相遇.
(1)他发现,乘1号车会比乘2号车到出口A用时少,请你简要说明理由;
(2)设PA=s(0<s<800)米.若他想尽快到达出口A,根据s的大小,在等候乘1号车还是步行这两种方式中,他该如何选择?
【思路分析】
探究:
(1)由“路程=速度×时间”可以得出y1,y2(米)与t(分)的函数关系式,再利用关系式列方程就可以求出两车相距的路程是400米时t的值;
(2)求出1号车第3次经过景点C的路程,进一步求出行驶的时间,由两车第一次相遇后每相遇一次需要的时间就可以求出相遇次数;
发现:
计算出情况一的用时和情况二的用时,再进行大小比较就可以得出结论;
决策:
(1)根据题意可以得出游客乙在AD上等待乘1号车到A出口的路程小于2个边长,而乘2号车到A出口的路程大于3个边长,进而得出结论;
(2)分类讨论,若步行比乘1号车的用时少,就有就可以分情况得出结论.
解:
探究:
(1)由题意,得y1=200t,y2=-200t+1600.
相遇前相距400米时,
y2-y1=400,即-200t+1600-200t=400.
解得t=3.
相遇后相距400米时,y1-y2=400,
即200t-(-200t+1600)=400.
解得t=5.
综上所述,当两车相距的路程是400米时,t的值为3或5.
(2)当1号车第三次恰好经过景点C时,由题意,得200t=800×2+800×4×2.
解得t=40.
这一段时间内它与2号车相遇过5次.
决策:
(1)由题意知,此时1号车正行驶在CD边上,乘1号车到A出口的路程小于2个边长,而乘2号车到A出口的路程大于3个边长,所以乘1号车用时比2号车少(两车速相同).
(2)若步行比乘1号车用时少,则
解得s<320.
∴当0<s<320时,选择步行.
同理可得,
当320<s<800时,选择乘1号车.
当s=320时,选择步行或乘1号车.
满分技法►一次函数决策型应用题通常是从函数图象或图表中得出需要的信息,然后利用待定系数法求出一次函数解式.通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围,进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值.
满分变式必练►
1.某校为了在九月份迎接高一年级的新生,决定将学生公寓楼重新装修,现学校招用了甲、乙两个工程队.若两队合作,8天就可以完成该项工程;若由甲队先单独做3天后,剩余部分由乙队单独做需要18天才能完成.
(1)求甲、乙两队工作效率分别是多少?
(2)甲队每天工资3000元,乙队每天工资1400元,学校要求在12天内将学生公寓楼装修完成,若完成该工程甲队工作m天,乙队工作n天,求学校需支付的总工资w(元)与甲队工作天数m(天)的函数关系式,并求出m的取值范围及w的最小值.
2.我省某苹果基地销售优质苹果,该基地对需要送货且购买量在2000kg-5000kg(含2000kg和5000kg)的客户有两种销售方案(客户只能选择其中一种方案):
方案A:
每千克5.8元,由基地免费送货.
方案B:
每千克5元,客户需支付运费2000元.
(1)请分别写出按方案A,方案B购买这种苹果的应付款y(元)与购买量x(kg)之间的函数表达式;
(2)求购买量x在什么范围时,选用方案A比方案B付款少;
(3)某水果批发商计划用20000元,选用这两种方案中的一种,购买尽可能多的这种苹果,请直接写出他应选择哪种方案.
解:
(1)方案A:
函数表达式为y=5.8x;
方案B:
函数表达式为y=5x+2000.
(2)由题意,得5.8x<5x+2000.解得x<2500.
则当购买量x的范围是2000≤x<2500时,选用方案A比方案B付款少.
(3)他应选择方案B,理由如下:
方案A:
苹果数量为20000÷5.8≈3448(kg);
方案B:
苹果数量为(20000-2000)÷5=3600(kg),
∵3600>3448,∴方案B买的苹果多.
3.“低碳环保,绿色出行”的理念得到广大群众的接受,越来越多的人再次选择自行车作为出行工具,小军和爸爸同时从家骑自行车去图书馆,爸爸先以150米/分的速度骑行一段时间,休息了5分钟,再以m米/分的速度到达图书馆,小军始终以同一速度骑行,两人行驶的路程y(米)与时间x(分钟)的关系如图,请结合图象,解答下列问题:
(1)a= ,b= ,m= ;
(2)若小军的速度是120米/分,求小军在途中与爸爸第二次相遇时,距图书馆的距离;
(3)在
(2)的条件下,爸爸自第二次出发至到达图书馆前,何时与小军相距100米?
(4)若小军的行驶速度是v米/分,且在途中与爸爸恰好相遇两次(不包括家、图书馆两地),请直接写出v的取值范围.
类型2反比例函数的应用
【例2】某公司从2014年开始投入技术改进资金,经技术改进后,其产品的成本不断降低,具体数据如下表:
(1)请你认真分析表中数据,从一次函数和反比例函数中确定哪一个函数能表示其变化规律,给出理由,并求出其解析式;
(2)按照这种变化规律,若2017年已投入资金5万元.
①预计生产成本每件比2016年降低多少万元?
②若打算在2017年把每件产品成本降低到3.2万元,则还需要投入技改资金多少万元?
(结果精确到0.01万元)
【思路分析】
(1)根据实际题意和数据特点分情况求解,根据排除法可知其为反比例函数,利用待定系数法求解即可;
(2)直接把x=5万元代入函数解析式求解;②直接把y=3.2万元代入函数解析式求解.
满分技法►函数应用的解题关键是根据实际意义列出函数关系式,从实际意义中找到对应的变量的值,利用待定系数法求出函数解析式,要注意用排除法确定函数的类型.再根据自变量的值求出对应的函数值.同时结合图象确定增减性,确定自变量或函数的值或取值范围.
满分变式必练►
1.丽水某公司将“丽水山耕”农副产品运往杭州市场进行销售,记汽车行驶时间为t小时,平均速度为v千米/时(汽车行驶速度不超过100千米/时).根据经验,v,t的一组对应值如下表:
(1)根据表中的数据,求出平均速度v(千米/时)关于行驶时间t(小时)的函数表达式;
(2)汽车上午7:
30从丽水出发,能否在上午10:
00之前到达杭州市场?
请说明理由;
(3)若汽车到达杭州市场的行驶时间t满足3.5≤t≤4,求平均速度v的取值范围.
2.嘉淇同学家的饮水机中原有水的温度为20℃,其工作过程如图所示,在一个由20℃加热到100℃再降温到20℃的过程中,水温记作y(℃),从开始加热起时间变化了x(分钟),加热过程中,y与x满足一次函数关系,水温下降过程中,y与x成反比例,当x=20时,y=40.
(1)写出饮水机水温的下降过程中y与x的函数关系式,并求出x为何值时,y=100;
(2)求加热过程中y与x之间的函数关系式;
(3)求当x为何值时,y=80.
问题解决
若嘉淇同学上午八点将饮水机通电开机后即外出散步,预计九点前回到家中,若嘉淇想喝到不低于50℃的水,直接写出外出时间m(分钟)的取值范围.
问题解决:
外出时间m(分钟)的取值范围为3≤m≤16或43≤m≤56.
3.月电科技有限公司用160万元,作为新产品的研发费用,成功研制出了一种市场急需的电子产品,已于当年投入生产并进行销售.已知生产这种电子产品的成本为4元/件,在销售过程中发现:
每年的年销售量y(万件)与销售价格x(元/件)的关系如图所示,其中AB为反比例函数图象的一部分,BC为一次函数图象的一部分.设公司销售这种电子产品的年利润为s(万元).(注:
若上一年盈利,则盈利不计入下一年的年利润;若上一年亏损,则亏损计作下一年的成本)
(1)请求出y(万件)与x(元/件)之间的函数关系式;
(2)求出第一年这种电子产品的年利润s(万元)与x(元/件)之间的函数关系式,并求出第一年年利润的最大值;
(3)假设公司的这种电子产品第一年恰好按年利润s(万元)取得最大值时进行销售,现根据第一年的盈亏情况,决定第二年将这种电子产品每件的销售价格x(元)定在8元以上(x>8),当第二年的年利润不低于103万元时,请结合年利润s(万元)与销售价格x(元/件)的函数示意图,求销售价格x(元/件)的取值范围.
类型3利用二次函数进行方案设计与决策
【例3】某公司销售一种新型节能产品,现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售.
若只在国内销售,销售价格y(元/件)与月销量x(件)的函数关系式为成本为20元/件,无论销售多少,每月还需支出广告费62500元,设月利润为w内(元).(利润=销售额-成本-广告费)
若只在国外销售,销售价格为150元/件,受各种不确定因素影响,成本为a元/件(a为常数,10≤a≤40),当月销量为x(件)时,每月还需缴纳元的附加费,设月利润为w外(元).(利润=销售额-成本-附加费)
(1)当x=1000时,y= 元/件,w内= 元;
(2)分别求出w内,w外与x间的函数关系式;(不必写x的取值范围)
(3)当x为何值时,在国内销售的月利润最大?
若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同,求a的值;
(4)如果某月要将5000件产品全部销售完,请你通过分析帮公司决策,选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大?
【思路分析】解题时可充分利用已经提供的函数关系式、国内销售和国外销售的利润计算公式以及抛物线的顶点公式,理清数量关系,降低解题难度.
(4)当x=5000时,
w内=337500,w外=-5000a+500000.
若w内<w外,则a<32.5;
若w内=w外,则a=32.5;
若w内>w外,则a>32.5.
所以,当10≤a<32.5时,选择在国外销售;
当a=32.5时,在国外和国内销售都一样;
当32.5<a≤40时,选择在国内销售.
易错提示►解题时需注意不要忽视成本a(元/件)的取值范围10≤a≤40,否则会影响对第(3)小题的结果进行合理取舍,以及第(4)小题不同情况下成本范围的确定.
满分技法►应用二次函数解决决策性问题时,首先建立二次函数的关系模型,结合实际具体情况得到方程或不等式的自变量的取值范围,利用二次函数的图象特征或二次函数增减性,从而确定在自变量取值范围内的函数最大值(最小值),进而确定最佳方案(或进行合理性决策).
满分变式必练►
1.随着地铁和共享单车的发展,“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择,李华从文化宫站出发,先乘坐地铁,准备在离家较近的A,B,C,D,E中的某一站出地铁,再骑共享单车回家,设他出地铁的站点与文化宫距离为x(单位:
千米),乘坐地铁的时间y1(单位:
分钟)是关于x的一次函数,其关系如下表:
(1)求y1关于x的函数表达式;
(2)李华骑单车的时间(单位:
分钟)也受x的影响,其关系可以用来描述,请问:
李华应选择在哪一站出地铁,才能使他从文化宫回到家所需的时间最短?
并求出最短时间.
2.为衡量某种车辆的性能,研究制定了行驶指数P,P=K+1000,而K的大小与平均速度v(km/h)和行驶路程s(km)有关(不考虑其他因素),K由两部分的和组成,一部分与v2成正比,另一部分与sv成正比.在实验中得到了表中的数据:
(1)用含v和s的式子表示P;
(2)当P=500,而v=50时,求s的值;
(3)当s=180时,若P值最大,求v的值.
3.宏兴企业接到一批产品的生产任务,按要求必须在14天内完成.已知每件产品的出厂价为60元.工人甲第x天生产的产品数量为y件,y与x满足如下关系:
(1)工人甲第几天生产的产品数量为70件?
(2)设第x天生产的产品成本为P元/件,P与x的函数图象如图.工人甲第x天创造的利润为W元,求W与x的函数关系式,并求出第几天时,利润最大,最大利润是多少?
第一部分物理复习方法与策略
高三物理复习应当从一个全新的角度重新认识和提升原有知识,实现对知识的重新整合与类化。
而不只是简单的重复和回顾。
在复习的过程中更是要讲究科学性、规范性,不能将复习等同于大量做题,否则就会淹没在茫茫题海中。
一、要善于归纳总结,掌握物理方法,形成物理思维
在复习中,除了认真复习基础知识之外,建议同学们务必重视对各种物理方法和物理思维的进一步掌握和深化。
这才是一种更高层次、更有效率的复习方法。
1.善于运用联系的观点。
运用联系的观点,对物理方法进行对比归纳,形成处理物理问题独有的思想和方法是物理复习的关键。
例如,利用类比的方法复习机械振动与电磁振荡、机械波与电磁波、电源与用电器、万有引力与库仑力、电场与重力场等,在比较中寻找共性与特性;而密度、电阻、场强、电势差、磁感应强度等物理概念都应用了比值定义法,并要注意定义式与决定式的区别;质点、自由落体运动、理想气体、点电荷、理想变压器等都应用了忽略次要因素的理想化方法;平均速度、交流电有效值,合成与分解用等效替代的方法等等。
这些处理方法也同样运用在我们解决物理问题的过程中,使物理问题简化并顺利解决。
再如实验中通过多次测量求平均值来减小偶然误差,几乎在每个实验测量中都会用到;累积测量再求平均值的思想方法,其实从我们用刻度尺测量金属丝直径(紧密缠绕在圆柱形铅笔上)和一页纸厚度(测100张纸的厚度)一直就用这种思想和方法。
2.把握建立物理模型的思想。
建立物理模型,忽略次要因素、突出主要因素,是解决和研究物理问题的重要方法。
纵观近几年的高考试题,无不体现对物理模型应用的考查。
力学常见物理模型有:
质点、单摆、轻绳、轻杆、轻弹簧、弹簧振子等;过程模型有:
匀速直线运动、匀变速直线运动、平抛运动、匀速圆周运动、简谐运动等;物理实验模型有:
伽利略的理想实验模型等。
这种将实物或过程抽象为模型的研究方法,更容易抓住物理问题的实质,突破物理的难点。
3.掌握解决物理问题的方法。
掌握解决物理问题的方法是学好物理的重要途径。
例如选取研究对象时常用隔离法和整体法;处理抛体运动时常用的运动合成与分解法;实验数据的处理采用形象直观的图像法;力的合成与分解、等效电路、半偏法测电阻等都是用以易代难的等效替代法等,均为中学物理学习中基本的思维方法。
在平时练习中增强对这些方法的体会与掌握,在听课中,要格外注意老师怎样随着审题而描绘物理情景;怎样分析物理过程建立物理模型;怎样寻找临界状态及与其相应的条件;如何挖掘隐含条件等。
这些,都是远比列出物理方程完成解题任务更有意义。
一旦领悟了技巧、掌握了方法,便可如虎添翼,发挥出更强、更敏捷的思维能力。
二、养成良好的学习习惯是搞好物理复习的关键。
1.高三复习要学会独立思考。
有些同学平时练习还可以,一到考试时成绩就上不去,其中一个重要原因是没有独立思考的习惯。
边看答案边做题,甚至还没看明白题就急着去翻答案,做题的作用类似于校对,答案想通了就认为自己会了,盲目追求做题数量等等,这些不好的学习习惯必须改掉。
有时题不会做,别人的一句提示,一个图形就可使题目迎刃而解,这在平时的学习中是经常遇到的事情。
但要知道考试时是单兵作战,没有任何外来的提示,常常是考完试就对自己的错误恍然大悟,于是归结于自己粗心,其实这正是平时自己对一些问题过快的去找答案或提示而缺乏独立思考造成的。
虽然高三阶段时间紧,内容多,但必要的独立思考是一定要有的,一定要注意做题后总结、反思。
注意对题目归类分析,进行一题多变的训练,达到做一题会一类题的效果,提高复习效率。
2.物理虽是理科,该记忆的也要记忆。
对物理的一些基本概念、定理、定律、公式,尤其是热学、光学、原子和原子核物理中的物理史实、物理概念和规律这些一级基础知识必须要记牢。
还有一些常用的结论、方法或常识性知识等属于二级基础,也必须记牢。
例如:
从光滑斜面上由静止下滑的物体加速度为a=gsinθ;若物体沿斜面匀速下滑,则该摩擦因数μ与θ的关系满足μ=tanθ;提到秒摆应知道是周期为2s的单摆;月球绕地球的周期是27天;中等身材中学生的质量约50-60kg等等。
但只背结论,死记公式,是绝对学不好物理的,也不可能在高考中取得好成绩。
要明白为什么要引入这个概念(例如加速度、电场强度),这条物理定理怎样得出的,内容和表达式是什么,它的内涵和外延是什么,它反映了谁的性质,由哪些因素决定,它能解决什么问题,怎么用它解决问题等。
3.及时归纳和总结。
当每章复习结束,可借助课堂笔记和一些参考书搞一次单元小结,理一理本章知识线索和知识网络,理清前后知识联系;归纳总结不单是照着课本或参考书把公式定理抄下来,而是要把平时老师讲的,对自己有用的结论、方法、典型题目都结合自己的理解和领悟总结下来,加以记忆。
对本章复习过程中做过的练习和试卷中的错误、疏漏进行仔细认真地分析和整理,在错题本上分析每一个题目错误原因,并总结此类题的解题规律,感悟解题思路。
从知识掌握和应试心理两方面分析,针对自己的薄弱环节和能力缺陷及时补救。
并在每次考试前翻阅,给自己提个醒。
这样才会在考试时做到心中有数,缓解紧张情绪,增加取胜的信心。
对自己已经做过的题目进行总结与整理时,应该注意以下几个方面:
(1)哪些题是一看就会的,哪些题是经过深度思考才做对的,哪些题是经过深度思考后一点思路都没有的,这些题必须做好不同的标识。
(2)对那些一点思路也没有的习题,必须通过同学或老师的帮助使之变成有思路的习题,这些题目涉及的知识点就是我们备考路上的“拦路虎”,一定要把他们都“消灭”了。
(3)要定期回头复习那些经过深度思考才做出的习题,保证思路上的畅通。
(4)要把自己不会的习题、做错的习题进行归类,看看哪些题是方法上的错误,哪些题是计算上的失误,哪些题是概念理解不透造成的,最好设计一个表格记录下来。
掌握自己犯错的类型,就为防范错误做好了准备,整理一个错题本是复习的一个好办法,便于集中查阅自己犯过的错误。
当看到曾经出现过的问题,应该随时翻看课本里面相应的内容,这样边记边看边悟效果会更显著,不会的知识点就会越来越少了。
每次考试后,均要进行分析和总结,可将问题分成三类:
①会而错,②盲而错,③疑而错。
会而错,疏忽、粗心所致,理在戒之;盲而错,由于各种原因,在知识和运用上存在许多盲点,因盲而茫,错是必然的,因而扫除知识的盲点、弥补知识的缺陷是高考复习的最基本的要求;疑而错,一半清醒一半“醉”,因对知识的理解不到位、有疑惑、不透彻而错,多数当属此类,复习的目的就是要无疑无惑。
即重点把火候不到的“夹生饭”再加工,使之变熟;把有基础但掌握不到位的知识领悟得透彻明白。
会而错,与前面的“盲而错”、“疑而错”虽有本质的区别,但最终的效果是相同的,就是都不能得分。
引起的原因主要是粗心大意,读题一目十行,分析缺一漏万,解答有头无尾,常言道“大意失荆州”、“细节决定成败”就是指这类情况。
4.注意变式训练
高考把能力考查放在首位,就必须对知识点考查的能力要求上不断翻新变化。
很多试题对同一知识点的考查,有时是考查理解能力,有时却考查推理能力或分析综合能力,或以新颖的情景或新的设问角度考查同一知识点,这就要求我们应站在科学、有效的高度上,注重一题多解,一题多变的训练,提高以不变应万变的能力。
用翻新题、变式题进行训练,以求真懂,克服思维定势。
而复习过程中做的基础题,就是以基础题训练解题的思维和方法,培养正确的解题习惯。
且要养成主动参与,积极思考的良好学习习惯。
提高从原始题目中采集信息、处理信息,建立起与题目相对应的物理模型的能力。
三、加强限时训练,提高做题速度。
有的同学平时很用功,做题一丝不苟,过程一步不落,题目也没少做,可到考试时连做过的题目都拿不了分,原因何在?
就是平时做题不考虑时间,没有时间限制,精力很放松,可以翻参考书,可以看参考答案,今天想不通明天接着想。
但在考试时,有严格的时间限制,前面摆个钟表时刻提醒你,精神一下子紧张起来,就会忘了公式,写错了结论,甚至条件没看全,就急着去推导计算,那怎么能做对呢?
建议平时做作业时也要在眼前摆个钟表,加强限时训练。
一道大计算题从读题到解出,一般只能用十分钟。
高三复习阶段这种训练很有必要,也是训练做题速度的很有效的方法。
四、重视解题的规范化
1.注意审题能力的训练,养成良好审题习惯。
提高解答物理问题的能力应把重点放在培养良好的审题习惯上。
有的同学为了加快答题速度,题还没来得及看清楚就着急去做,做到一半才发现不对,原来题目没有审清楚,结果是想快反而浪费了很多时间,所以,审题环节很重要。
具体来讲,良好的审题习惯就是在求解物理问题时,应具备良好的思维习惯。
如正确选择研究对象及受力分析,在对状态、过程分析时画出状态、过程的示意图,将抽象的文字条件形象化、具体化。
审题能力是一种综合能力,它包括阅读、理解、分析、综合等多种能力,也包括严谨、认真、耐心、细致的态度等非智力因素。
因此,提高审题能力不仅是考试的需要,也是素质教育的重要组成部分。
提高审题能力要注意以下几个方面:
(1)对关键词句的理解;
(2)对隐含条件的挖掘;(3)对干扰因素的排除。
审题尽量做到不加不减、不枝不蔓;在审题时,要养成良好的阅读习惯,弄懂每一句话的原意,不能一目十行;在审题时,不要急于得到答案,要明白不经过认真的思考分析,凭猜测是很难得到正确答案的。
在训练审题规范性时,我提倡三审题目:
即题前审、题中审、题后审。
一般我们说的审题,就是题前审。
当拿到一个物理问题时,通过初步审题,了解题目提供的信息,通过画示意图或想象物理情景,将抽象的表述具体化、形象化,建立相应的物理模型,选择可以应用的物理规律。
在题目求解的过程中,有时我们可能得到了一个感觉明显不合适的结果,或者所列关系式不够用,或者求解进行不下去,这时我们都要反过来重新审题,检查我们建立的物理模型是否正确、完善,是否有我们没有注意的或者还没有利用的已知条件,或者还有我们没有挖掘的隐含条件等,这就是题中审题。
在解完题目后要对求解的结果进行审查,这就是题后审题。
要检查求解结果与所问是否一致,结果是否合理,求解是否全面(如矢量的方向、是否需要用牛顿第三定律进行说明、有效数字是否符合要求、是否还有其他情况需要讨论等)。
在平时练习中,还可以进行拓展性思考或训练。
题后审还有一个重要的任务就是整理解题思路。
在新课学习时,是逐个知识点进行学习和积累的,当时的解题方法比较单一。
但高三复习,往往是多个知识点综合在一起,同学们就会觉得题目不知从何处着手,也就是解题思路不清晰。
复习的质量和效果不在于做题的多少,而是要充分利用好每
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