第一章一元一次不等式和一元一次不等式组教案.docx
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第一章一元一次不等式和一元一次不等式组教案
第一章一元一次不等式和一元一次不等式组教案
贵州省毕节市纳雍县东关中学蔡霁
第一章一元一次不等式和一元一次不等式组
教学目标:
知识与技能:
通过问题中的大小关系了解不等式的意义,理解(不等式组)的解、解集的含义;会解简单一元一次不等式〔组〕,并能依照具体问题中的数量关系,列出一元一次不等式〔组〕,解决简单的实际问题。
过程与方法:
让学生感受将实际问题抽象为不等式的过程,认识到不等式也是刻画现实世界中量与量之间关系的有效模式,进展符号感。
运用数形结合的方法直观理解不等式的差不多思想。
情感态度与价值观:
培养学生良好的思维能力,自主、合作、交流意识,体会不等式、方程、函数之间的内在联系和区别,形成一定”的建模“意识,感悟事实上际应用的价值。
教学重点:
一元一次不等式的解法
教学难点:
一元一次不等式〔组〕的解集,以及不等式的差不多性质,当不等式的两边都乘以或除以同一个负数时,学生常不记得改变不等号的方向。
另一点,对解不等式组无解情况也不易掌握。
教学关键:
让学生分清方程和不等式的异同点,明确不等式〔组〕解集的含义,以及正确地运用不等式的差不多性质。
课时划分:
〔共计11课时〕
1、不等关系1课时2、不等式的差不多性质1课时
3、不等式的解集1课时4、一元一次不等式2课时
5、一元一次不等式与一次函数2课时
6、一元一次不等式组3课时
回忆与思考1课时
总第1课时
第一章一元一次不等式和一元一次不等式组
第1课时
教学内容:
P1-6§1.1、不等关系
授课时间:
2018年3月日星期第节。
授课班级:
八年级〔3〕班授课教师:
蔡霁
【一】教学目标:
知识与技能:
①理解不等式的意义.②能依照条件列出不等式.
过程与方法目标:
通过认识实际问题中的不等式关系,训练学生的分析判断能力和逻辑推理能力。
情感与态度目标:
通过用不等式解决实际问题,使学生认识数学与人类生活的紧密联系以及对人类历史进展的作用,并激发学生学习数学的信心和兴趣。
【二】教学重、难点:
1、教学重点:
用不等关系解决实际问题.
2、教学难点:
正确理解题意列出不等式.
●教学过程
Ⅰ.创设问题情境,引入新课
[师]我们学过等式,明白利用等式能够解决许多问题.同时,我们也明白在现实生活中还存在许多不等关系,利用不等关系同样能够解决实际问题.本节课我们就来了解不等关系,以及不等关系的应用.
Ⅱ.新课讲授
[师]既然不等关系在现实生活中并许多见,大伙确信接触过许多,能举出例子吗?
[生]能够.比如我的身高比她的身高高5公分.
用天平称重量时,两个托盘不平衡等.
又如:
你还记得小孩玩的翘翘板吗?
你想过它的工作原理吗?
事实上,翘翘板确实是靠不断改变两端的重量对比来工作的、
[师]特别好.那么,如何用式子表示不等关系呢?
请看例题.
小黑板出示
如图1-1,用两根长度均为lcm的绳子,分别围成一个正方形和圆.
图1-1
〔1〕假如要使正方形的面积不大于25cm2,那么绳长l应满足怎么样的关系式?
〔2〕假如要使圆的面积不小于100cm2,那么绳长l应满足怎么样的关系式?
〔3〕当l=8时,正方形和圆的面积哪个大?
l=12呢?
〔4〕你能得到什么猜想?
改变l的取值,再试一试.
[师]此题中大伙首先要弄明白两个问题,一个是正方形和圆的面积计算公式,另一个是了解“不大于”“大于”等词的含意.
[生]正方形的面积等于边长的平方.
圆的面积是πR2,其中R是圆的半径.
两数比较有大于、等于、小于三种情况,“不大于”确实是等于或小于.
[师]下面请大伙互相讨论,按照题中的要求进行解答.
[生]〔1〕因为绳长l为正方形的周长,因此正方形的边长为
,得面积为〔
〕2,要使正方形的面积不大于25cm2,确实是
〔
〕2≤25.即
≤25.
〔2〕因为圆的周长为l,因此圆的半径为R=
.
要使圆的面积不小于100cm2,确实是π·〔
〕2≥100即
≥100
〔3〕当l=8时,正方形的面积为
=4〔cm2〕.
圆的面积为
≈5.1〔cm2〕.
∵4<5.1∴如今圆的面积大.
当l=12时,正方形的面积为
=9〔cm2〕.
圆的面积为
≈11.5〔cm2〕如今依旧圆的面积大.
〔4〕我们能够猜想,用长度均为lcm的两根绳子分别围成一个正方形和圆,不管l取何值,圆的面积总大于正方形的面积,即
>
.
因为分子基本上l2相等、分母4π<16,依照分数的大小比较,分子相同的分数,分母大的反而小,因此不论l取何值,都有
>
.
做一做〔小黑板出示〕
通过测量一棵树的树围〔树干的周长〕能够计算出它的树龄.通常规定以树干
离地面1.5m的地方作为测量部位,某树栽种时的树围为5cm,以后树围每年增加约为3cm.这棵树至少生长多少年其树围才能超过2.4m?
〔只列关系式〕.
[师]请大伙互相讨论后列出关系式.
[生]设这棵树至少生长x年其树围才能超过2.4m,得3x+5>240
议一议
观看由上述问题得到的关系式,它们有什么共同特点?
[生]由
(1)
≤25
(2)
>100(3)
>
(4)3x+5>240
得,这些关系式基本上用不等号连接的式子.由此可知:
一般地,用符号“<”〔或“≤”〕,“>”〔或“≥”〕连接的式子叫做不等式〔inequality〕.
例题.
1、用不等式表示
〔1〕a是正数;〔2〕a是负数;〔3〕a与6的和小于5;
〔4〕x与2的差小于-1;〔5〕x的4倍大于7;〔6〕y的一半小于3.
[生]解:
〔1〕a>0;〔2〕a<0;
〔3〕a+6<5;〔4〕x-2<-1;〔5〕4x>7;〔6〕
y<3.
2、P5知识技能1〔3〕〔4〕用适当的符号表示以下关系
解:
〔3〕设海洋面积为S海洋,陆地面积为S陆地,那么有S海洋>S陆地.
〔4〕设老师的年龄为x,你的年龄为y,那么有x>2y.
Ⅲ.P5随堂练习2
2.解:
〔1〕a≥0;〔2〕c>a且c>b;〔3〕x+17<5x.
补充练习
当x=2时,不等式x+3>4成立吗?
当x=1.5时,成立吗?
当x=-1呢?
解:
当x=2时,x+3=2+3=5>4成立,当x=1.5时,x+3=1.5+3=4.5>4成立;
当x=-1时,x+3=-1+3=2>4,不成立.
Ⅳ.课时小结
能依照题意列出不等式,特别要注意“不大于”,“不小于”等词语的理解.通过不等关系的式子归纳出不等式的概念.
Ⅴ.课后作业
P5习题1.1知识技能1〔1〕〔2〕〔5〕、2.
Ⅵ.活动与探究
a,b两个实数在数轴上的对应点如图1-2所示:
图1-2
用“<”或“>”号填空:
〔1〕a__________b;〔2〕|a|__________|b|;
〔3〕a+b__________0;〔4〕a-b__________0;
〔5〕a+b__________a-b;〔6〕ab__________a.
解:
由图可知:
a>0,b<0,|a|<|b|.
〔1〕a>b;〔2〕|a|<|b|;〔3〕a+b<0;〔4〕a-b>0;
〔5〕a+b<a-b;〔6〕ab<a.
●板书设计
§1.1不等关系
【一】1.投影片§1.1A〔讨论长度均为lcm的绳子,分别围成一个正方形和圆,比较它们的面积的大小〕.
2.做一做〔投影片§1.1B〕
依照条件列不等式
3.归纳不等式的定义
4.例题
【二】课堂练习
【三】课时小结
【四】课后作业
总第2课时
第一章一元一次不等式和一元一次不等式组
第2课时
教学内容:
P7-9§1.2、不等式的差不多性质
授课时间:
2018年3月日星期第节。
授课班级:
八年级〔3〕班授课教师:
蔡霁
教学目标:
知识与技能目标:
①掌握不等式的差不多性质。
②经历通过类比、猜测、验证发明不等式差不多性质的探究过程,初步体会不等式与等式的异同。
过程与方法目标:
①能说出一个不等式什么原因能够从一种形式变形为另一种形式,进展其代数变形能力,养成步步有据、准确表达的良好学习适应。
②进一步进展学生的符号表达能力,以及提出问题、分析问题、解决问题的能力。
情感与态度目标:
①尊重学生的个体差异,关注学生的学习情感和自信心的建立。
②关注学生对问题的实质性认识与理解。
教学重点:
掌握不等式的差不多性质。
教学难点:
运用不等式的差不多性质解决问题。
教学过程
第一环节:
情景引入,提出问题
活动内容:
利用班上同学站在不同的位置上比高矮。
请最高的同学和最矮的同学“同时站在地面上”,“矮的同学站在桌子上”,“高的同学站到楼下一楼”三种不同的情况下比较高矮。
问题1:
怎么样比才公平?
活动目的:
让学生体会当两位同学同时增高相同的高度或同时减少相同的高度时,比较才是公平的,高的同学仍然高,矮的同学仍然矮,这是不可能改变的事实。
第二环节:
活动探究,验证明确结论
活动内容:
参照教材或多媒体课件提出问题:
(1)还记得等式的差不多性质吗?
(2)等式的差不多性质1用字母能够表示为:
,那么不等式的差不多性质1是什么?
先猜一猜。
假如在不等式的两边都加上或都减去同一个整式,结果会怎么样?
请举几例试一试,并与同伴交流。
不等式差不多性质的推导
举例:
∵3<5∴3+2<5+2,3-2<5-2,3+a<5+a,3-a<5-a因此,
差不多性质1:
在不等式两边都加上〔或减去〕同一个整式,不等号的方向不变。
举例:
①3<5,但3×〔-2〕>5×〔-2〕②3<5,但3×〔-3〕>5×〔-3〕
(3)不等式的差不多性质与等式的差不多性质类似,关于等式的差不多性质2,用字母能够表示为:
,其中
。
对应的大伙能不能归纳出不等式的差不多性质2是什么呢?
例如:
假如比高度的两个人不是同时增加或减少相同的高度,而是成倍的增加〔或缩小〕自身的高度,结果又会怎么样?
例如:
商场A种服装的标价高于B种服装的标价,假如都打八折出售,那么依旧A种服装价格高。
通过这些例子,你发明了什么?
能得到一个什么类似的结论?
举例:
∵3<5∴3×2<5×2,3×
<5×
,3÷3<5÷3。
因此
差不多性质2、在不等式两边都乘以〔或除以〕同一个正数,不等号的方向不变。
假如乘以〔或除以〕同一个负数呢?
③3<5,但3×〔-
〕>4×〔-
〕,④3<5,但3÷〔-2〕>5÷〔-2〕。
因此
差不多性质3:
在不等式两边同乘以〔或除以〕一个负数时,不等号的方向改变。
(4)通过实际的计算、观看、与同伴交流,得出什么类似的结论?
活动目的:
通过等式的差不多性质对比不等式的差不多性质,由数学情境转化成数学问题,由特别的数值到字母代表数,从中归纳出一般性结论。
进一步进展学生的符号表达能力,以及提出问题、分析问题、解决问题的能力。
第三环节:
例题讲解及运用巩固
活动内容:
1、在上一节课中,我们猜想,不管绳长
取何值,圆的面积总大于正方形的面积,即
。
你相信那个结论吗?
你能利用不等式的差不多性质解释这一结论吗?
〔推理详见教师用书第14页注释
〕
2、教材8页例题分析将以下不等式化成“
”或“
”的形式:
〔1〕
〔2〕
〔3〕3x<-9.
3、教材9页随堂练习:
活动目的:
在讲解例题的过程中要求学生说出每一步变形的依据,加强学生对不等式的差不多性质的理解。
随堂练习学生独立完成,师生共同讲解,能说出一个不等式什么原因能够从一种形式变形为另一种形式,进展其代数变形能力,养成步步有据、准确表达的良好学习适应,并通过这种方式达到熟练掌握不等式的差不多性质的目的。
4、议一议
讨论以下式子的正确与错误.
〔1〕假如a<b,那么a+c<b+c;〔2〕假如a<b,那么a-c<b-c;
〔3〕假如a<b,那么ac<bc;〔4〕假如a<b,且c≠0,那么
<
.
5、等式和不等式的性质的区别和联系
区别:
等式的两边同时乘以或除以同一个数〔除数不为0〕时,所得结果仍是等式;不等式的两边同时乘以或除以同一个数〔除数不为0〕时会出现两种情况,假设为正数那么不等号方向不变,假设为负数那么不等号的方向改变.
联系:
不等式的差不多性质和等式的差不多性质,都讨论的是在两边同时加上〔或减去〕,同时乘以〔或除以,除数不为0〕同一个数时的情况.且不等式的差不多性质1和等式的差不多性质1相类似.
第四环节:
课堂小结
1.本节课要紧用类推的方法探究出了不等式的差不多性质.
2.利用不等式的差不多性质进行简单的化简或填空.
第五环节:
布置作业P9习题1.2---1、2、3.
总第3课时
第一章一元一次不等式和一元一次不等式组
第3课时
教学内容:
P10-13§1.3、不等式的解集
授课时间:
2018年3月日星期第节。
授课班级:
八年级〔3〕班授课教师:
蔡霁
【一】教学目标:
〔1〕知识与技能目标:
①能够依照具体情境中的大小关系了解不等式的意义
②能够在数轴上表示不等式的解集
〔2〕过程与方法目标:
①培养学生从现实情况中探究、发明并提出简单的数学问题的能力。
②经历求不等式的解集的过程,并试着把不等式的解集在数轴上表示出来,进展学生的创新意识。
〔3〕情感态度与价值观目标:
从实际问题中抽象出数学模型,让学生认识数学与人类生活的紧密联系及对人类历史的作用,通过探究求不等式的解集的过程,体验数学活动充满着探究与创造。
【二】教学重点:
〔1〕理解不等式中的相关概念〔2〕探究不等式的解集并能在数轴上表示出来
【三】教学难点:
探究不等式的解集并能在数轴上表示出来
【四】教学过程
第一环节:
复习旧知识
活动内容:
师:
上节课,对比等式的性质类比地学习了不等式的差不多性质,同时也探究出了它们的异同点,下面我们来回忆一下不等式的差不多性质。
〔小黑板出示〕
活动目的:
让学生回忆前一节内容,也为本节课教学做预备,起到承上启下的作用。
第二环节:
创设情境,导入新课
活动内容:
在某次数学竞赛中,教师对优秀学生给予奖励,花了30元买了3个笔记本和假设干支笔,笔记本每本4元,笔每支2元,问最多能买多少支笔?
活动目的:
由一个实际生活情景引入,能引起学生学习的积极性,具有实际生活意义。
活动效果:
学生1:
3个笔记本共花去12元,还剩18元,可买9支笔.
学生2:
我认为能够买1,2,3…9支,最多9支.
如今学生讨论激烈,具有较高的学习热情,探究欲望极强。
为以下不等式的解集作下铺垫.
第三环节:
师生互动,课堂探究
活动内容:
通过学生们的相互交流,抽象到数学上:
设至少可买X支笔,那么买笔记本的总价格与买笔的总价格的和不超过30元,因此:
3×4+2X≤30,利用不等式的差不多性质可解得X≤9.
(一)提出问题,引发讨论探究交流:
1、假设某人要完成一件工作,要求他完成这项任务的时间不得少于4小时,你明白他同意用的时间有多长吗?
〔X≥4〕
2、燃放某种礼花弹时,为了确保安全,人在点燃导火线后要在燃放前转移到10米以外的安全区域,导火线的燃烧速度为0.02m/s,人离开的速度为4m/s,那么导火线的长度应为多少㎝?
分析:
人转移到安全区域需要的时间最少为
〔S〕,导火线燃烧的时间为
秒,要使人转移到安全地带,必须有:
>
解:
设导火线的长度为x〔㎝〕,那么:
>
∴x>5
〔二〕想一想:
〔1〕x=5、6、8能使不等式成立吗?
〔2〕你还能找出一些使不等式x>5成立的x的值吗?
〔三〕导入知识,解释疑难:
通过以上问题情境的引入可知:
所列出的不等式中都含有未知数,而符合条件的未知数的值特别多,只要将其中任一个未知数的值代入原不等式中,均能使不等式成立,把“能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解。
”不等式的解有时有许多个,有时有有限个,有时无解。
一个含有未知数的不等式的所有解,组成那个不等式的解集,求不等式的解集的过程叫做解不等式。
既然不等式的解集在通常情形下有特别多个符合条件的解,那么我们能否用一种直观的方法把不等式的解集表示出来呢?
请同学们相互交流,发表自己的见解。
〔四〕议一议:
请同学们用自己的方式将不等式X>5的解集和不等式X-5≤-1的解集分别表示在数轴上,并与同伴进行交流
学生1:
X>5X≤4
学生2:
X>5X≤4
教师:
同学1他如此表示无法区别有“等于”和没有“等于”。
同学2的方法让人认为解集是在两个数之间,也容易引起误解。
那么我们如何来解决呢?
以上两个解集应表示为:
解:
不等式x>5的解集能够用数轴上表示5的点的右边部分来表示〔图1-3〕,在数轴上表示5的点的位置上画空心圆圈,表示5不在那个解集内.
图1-3
不等式x-5≤-1的解集x≤4能够用数轴上表示4的点及其左边部分来表示〔图1-4〕,在数轴上表示4的点的位置上画实心圆点,表示4在那个解集内.
图1-4
请大伙讨论一下,如何把不等式的解集在数轴上表示出来呢?
请举例说明.
解:
如x>3,即为数轴上表示3的点的右边部分,在数轴上表示3的点的位置上画空心圆圈,表示不包括这一点.
x<3,能够用数轴上表示3的点的左边部分来表示,在这一点上画空心圆圈.
x≥3,能够用数轴上表示3的点和它的右边部分来表示,在表示3的点的位置上画实心圆点,表示包括这一点.
x≤3,能够用数轴上表示3的点和它的左边部分来表示,在表示3的点的位置上画实心圆点.
注意:
将不等式的解集表示在数轴上时,要注意:
1)指示线的方向,“>”向右,“<”向左.
2)有“=”用实心点,没有“=”用空心圈.
第四环节:
例题讲解
1.例题讲解
依照不等式的差不多性质求不等式的解集,并把解集在数轴上表示出来.
〔1〕x-2≥-4;〔2〕2x≤8
〔3〕-2x-2>-10
解:
〔1〕依照不等式的差不多性质1,两边都加上2,得x≥-2
在数轴上表示为:
图1-5
〔2〕依照不等式的差不多性质2,两边都除以2,得x≤4
在数轴上表示为:
图1-6
〔3〕依照不等式的差不多性质1,两边都加上2,得-2x>-8
依照不等式的差不多性质3,两边都除以-2,得x<4
在数轴上表示为:
图1-7
第五环节:
巩固提高
P12随堂练习
1.判断正误:
〔1〕不等式x-1>0有许多个解;
〔2〕不等式2x-3≤0的解集为x≥
.
2.将以下不等式的解集分别表示在数轴上:
〔1〕x>4;〔2〕x≤-1;〔3〕x≥-2;〔4〕x≤6.
1.解:
〔1〕∵x-1>0,∴x>1∴x-1>0有许多个解.∴正确.
〔2〕∵2x-3≤0,∴2x≤3,∴x≤
∴结论错误.
2.解:
图1-8
第六环节:
课时小结
活动内容:
1、理解不等式的解,不等式的解集,解不等式的概念
2、会依照不等式的差不多性质解不等式,并把解集表示在数轴上。
第七环节:
课外作业
P12习题1.3----1、2、3。
【四】教学反思
总第4课时
第一章一元一次不等式和一元一次不等式组
第4课时
教学内容:
P14-16§1.4、一元一次不等式〔一〕
授课时间:
2018年3月日星期第节。
授课班级:
八年级〔3〕班授课教师:
蔡霁
【一】教学目标:
(一)知识与技能:
会解简单的一元一次不等式,并能在数轴上表示其解集。
(二)过程与方法:
设置情境让学生经历一元一次不等式的形成过程,通过类比理解一元一次不等式的解法。
(三)情感与态度:
初步认识一元一次不等式的应用价值,进展学生分析、解决问题的能力。
【二】教学重点:
掌握简单的一元一次不等式的解法,并能将解集在数轴上表示出来。
【三】教学难点:
将实际问题抽象成数学问题的思维过程。
【四】教学过程
第一环节创设情境,引入课题
活动内容1:
小颖种了一株树苗,开始时树苗高为40厘米,栽种后每周树苗长高约15厘米。
问:
(1)大约几周后树苗长高到1米?
(2)大约几周后树苗的高度超过1.3米?
请列出算式。
活动目的:
通过解决这一情境问题,让学生回忆一元一次方程的概念和解一元一次方程的步骤,以及不等式的意义,不等式的差不多性质和不等式的解集,为后面归纳一元一次不等式的概念及解法提供条件。
同时让学生体会等式与不等式之间所蕴含的特别与一般的关系。
活动内容2:
观看以下不等式:
(1)40+15x>130
(2)2x-2.5≥1.5(3)x≤8.75(4)x<4(5)5+3x>240
这些不等式有哪些共同点?
活动目的:
引导学生自主通过对上述不等式的观看、比较,发明其异同,结合一元一次方程的概念类比,学生不难得出一元一次不等式的概念。
让学生意识到不等式也能够像方程那样去研究,培养其化归、转换的意识。
活动内容3:
分步展示一元一次不等式的概念及想一想
“左右两边基本上整式,只含有一个未知数,同时未知数的最高次数是1的不等式,叫做一元一次不等式(linearinequalitywithunknown)”
〔注意向学生强调一元一次不等式的要紧特征〕
想一想:
在前面几节课中,你列出了哪些一元一次不等式?
试举两例,并与同伴交流。
活动目的:
让学生理解一元一次不等式的概念,不仅会识别一元一次不等式,而且回味得到不等式的建模过程,体会一元一次不等式是最差不多、最重要的不等式。
第二环节合作探究,解决问题
活动内容:
例1.解不等式3-x<2x+6,并把它的解集表示在数轴上。
提出问题:
1、你能利用不等式的差不多性质解决吗?
试一试。
2、在解不等式的过程中是否有与解一元一次方程类似的步骤?
能否归纳解一元一次不等式的差不多步骤?
3、在解一元一次不等式的步骤中,应注意什么?
活动目的:
1.解一元一次不等式大致要分五个步骤进行:
〔1〕去分母;〔2〕去括号;〔3〕移项;〔4〕合并同类项;〔5〕系数化1。
在〔1〕和〔5〕中,假如乘数或除数是负数,要把不等号的方向改变。
2.在数轴上表示不等式的解集时,要注意不等号以及端点的情况。
活动的本卷须知学生自己探究用不等式的差不多性质去求解并相互交流做法,通过观看、探讨、交流、归纳一元一次不等式的解法。
第三环节范例解析
活动内容:
例2.解不等式
≥
,并把它的解集表示在数轴上。
解:
去分母,得3(x-2)≥2(7-x)
去括号,得3x-6≥14-2x
移项、合并同类项,得5x≥20
两边都除以5,得x≥4
那个不等式的解集在数轴上表示如下
活动目的:
- 配套讲稿:
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- 关 键 词:
- 第一章 一元 一次 不等式 教案