一元二次方程章节重点知识点复习.docx
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一元二次方程章节重点知识点复习
,元二次方程章节复习
一、知识结构:
^I
r解与解法
元二次方程={根的判别
韦达定理
二、考点精析
考点一、概念
(1)定义:
①只含有一个未知数,并且②未知数的最高次数是2,这样的③整式方程就是一元二
次方程。
(2)—般表达式:
]ax2+bx+c=0(a工0)
⑶难点:
如何理解“未知数的最高次数是2”:
①该项系数不为“0”;
②未知数指数为“2”;
③若存在某项指数为待定系数,或系数也有待定,则需建立方程或不等式加以讨论。
典型例题:
例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是(
3(x+1丫=2(x+1)
11
■1+丄-2=0
xx
X2+2x-X2+1
变式:
当
时,关于x的方程kx2+2x=x2+3是一元二次方程。
例2、方程(m+2xm+3mx+1=0是关于x的一元二次方程,则m的值为
针对练习:
★2、若方程是关于x的一元一次方程,⑴求m的值;⑵写出关于x的一元一次方程。
★★3、若方程(m-1k2+jm•x=1是关于x的一元二次方程,则m的取值范围是
考点二、方程的解
⑵应用:
利用根的概念求代数式的值;
典型例题:
22
例1、已知2y+y-3的值为2,贝U4y+2y+1的值为
例2、关于x的一元二次方程(a—2k2+x+a2-4=0的一个根为0,则a的值为
例3、已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(aH0)的系数满足a+c=b,则此方程
必有一根为
针对练习:
★1、已知方程
2
x+kx-10=0的一根是2,则k为
另一根是
★2、已知关于
x的方程X?
+kx-2=0的一个解与方程
X+1
「=3的解相同。
x-1
⑴求k的值;
⑵方程的另一个解。
m2—m=
★3、已知m是方程X2-x-1=0的一个根,则代数式
★★4、已知a是X2-3x+1=0的根,贝U2a2-6a=
★★5、方程(a-bx2+(b-cx+c-a=0的一个根为()
★★★6、若2x+5y-3=0,贝y4X•32y=
考点三、解法
⑵关键点:
降次
※※对于(x+af=m,(ax+mf=(bx+nf等形式均适用直接开方法
典型例题:
例2、若9x-lj=16(x+2$,贝Ux的值为
2222
A.x+3=2x-1B.(x—2)=0C.2x+3=1-xD.x+9=0
类型二、因式分解法I^X-XjIX-X2)=0=x=x1,或x=x2
※方程特点:
左边可以分解为两个一次因式的积,右边为“※方程形式:
训(ax+m2=(bx+nY,(x+a”+b)=(x+a)(x+c),
2丄c丄2c
X+2ax+a=0
典型例题:
例1、2x(x-3)=5(x-3)的根为(
5
Ax=—
2
例2、若(4x+y丫+3(4x+y4=0,贝U4x+y的值为变式1:
(a2+b22—(a2+b2)—6=0,则a2+b2=
变式2:
若(X+y12—X—y)+3=0,贝Ux+y的值为例3、解方程:
X2+2(J3+1X+2j3+4=0
例4、已知2x2-3xy-2y2=0,则乂九的值为
x-y
针对练习:
★1、下列说法中:
1方程x2+px+q=0的二根为x-i,x2,贝yx2+px+q=(x-x1)(x-X2)
2-x2+6x-8=(X-2)(x-4).
3a2-5ab+6b2=(a-2)(a-3)
4X2—y2=(x+y)(7x中Jy)(7x—/7)
⑤方程(3x+1)2-7=O可变形为(3x+1+^/7)(3x+1-77)=0
正确的有()
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
★2、以1+J7与1-77为根的一元二次方程是()
★★4、若实数X、y满足(X+y-3【x+y)+2=0,贝Ux+y的值为(
5、方程:
X2=2的解是
X
※在解方程中,多不用配方法;但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。
典型例题:
已知X、y为实数,求代数式X2+y2+2x-4y+7的最小值。
已知x2+y2+4x-6y+13=0,x、y为实数,求X的值。
分解因式:
4x2+12x+3
针对练习:
★★1、试用配方法说明-10x2+7x-4的值恒小于0。
2111
★★2、已知x+p_x—-—4=0,贝Ux+-=
xxx
,最小值为
★★★3、若t=2-J—3x2+12x-9,贝Ut的最大值为
典型例题:
2-4ac>0)
⑴3(1+x2=6.
例1、选择适当方法解下列方程:
⑵(X+3(x+6)=-8.
2
⑷3x2-4x-1=0
x-4x+1=0
⑸3(x-1i(3x+1)=(x-1i(2x+5)
类型五、“降次思想”的应用
典型例题:
232
例1、如果x+X-1=0,那么代数式x+2x-7的值。
3例2、已知a是一元二次方程X2-3x+1=0的一根,求a
考点四、根的判别式b?
—4ac
根的判别式的作用:
1定根的个数;
2求待定系数的值;
3应用于其它。
典型例题:
则k的取值范围是
的取值范围是()
例1、若关于x的方程X2+2jkx-1=0有两个不相等的实数根,
例2、关于x的方程(m_1X2+2mx+m=0有实数根,则m
B.m>0
C.mH1
D.m
>1
例3、已知关于x的方程X2-(k+2k+2k=0
(1)求证:
无论k取何值时,方程总有实数根;
(2)若等腰也ABC的一边长为1,另两边长恰好是方程的两个根,求也ABC的周长。
例4、已知二次三项式9x2-(m+6)x+m-2是一个完全平方式,试求m的值.
针对练习:
★1、当k
时,关于x的二次三项式X2+kx+9是完全平方式。
★2、当k取何值时,多项式3x2-4x+2k是一个完全平方式?
这个完全平方式是什么?
★3、已知方程mx2-mx+2=0有两个不相等的实数根,则m的值是
(1)有两组相等的实数解,并求此解;
(2)有两组不相等的实数解;
(3)没有实数解.
考点五、方程类问题中的“分类讨论
例1、关于x的方程(m+1X2+2mx-3=0
⑴有两个实数根,则m为⑵只有一个根,则
例1、不解方程,
例3、如果关于X
判断关于X的方程X2-2(x—k)+k2=—3根的情况。
的方程X2+kx+2=0及方程X2-X-2k=0均有实数根,问这两方程
是否有相同的根?
若有,请求出这相同的根及k的值;若没有,请说明理由。
考点六、根与系数的关系
才能用韦达定理。
⑶应用:
整体代入求值。
典型例题:
角形的斜边是(
(1)求k的取值范围;
存在,请说明理由。
针对练习:
232
1、已知X1,X2是方程x—X—9=0的两实数根,求X1+7X2+3x2—66的值。
考点七、应用解答题
⑴“碰面、握手”问题;⑵“增长率”问题;⑶“几何”问题;
⑷“最值”型问题;
典型例题:
1、五羊足球队的庆祝晚宴,出席者两两碰杯一次,共碰杯990次,问晚宴共有多少人出席?
2、某小组每人送他人一张照片,全组共送了90张,那么这个小组共多少人?
3、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品,据市场分析,若按每千克50元销售,
一个月能售出500千克,销售单价每涨1元,月销售量就减少10千克,针对此回答:
(1)当销售价定为每千克55元时,计算月销售量和月销售利润。
(2)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下,使得月销售利润达到8000元,销售单价应定为多少?
4、将一条长20cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。
(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm2,那么这两段铁丝的长度分别为多少?
2)两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗?
若能,求出两段铁丝的长度;若不能,请说明理由。
3)两个正方形的面积之和最小为多少?
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