最新初中数学命题与证明的分类汇编.docx
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最新初中数学命题与证明的分类汇编
最新初中数学命题与证明的分类汇编
一、选择题
1.下列命题中,真命题的是( )
A.两条直线被第三条直线,同位角相等
B.若a⊥b,b⊥c,则a⊥c
C.点p(x,y),若y=0,则点P在x轴上
D.若
=a,则a=﹣l
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平行线的性质对A进行判断;根据平行线的判定方法对B进行判断;根据x轴上点的坐标特征对C进行判断;根据二次根式的性质对D进行判断.
【详解】
A、两条平行直线被第三条直线,同位角相等,所以A选项为假命题;
B、在同一平面内,若a⊥b,b⊥c,则a∥c,所以B选项为假命题;
C、点p(x,y),若y=0,则点P在x轴上,所以C选项为真命题;
D、若
=a,则a=0或a=1,所以D选项为假命题.
故选:
C.
【点睛】
本题考查了命题与定理:
命题的“真”“假”是就命题的内容而言.任何一个命题非真即假.要说明一个命题的正确性,一般需要推理、论证,而判断一个命题是假命题,只需举出一个反例即可.
2.已知:
中,
,求证:
,下面写出可运用反证法证明这个命题的四个步骤:
①∴
,这与三角形内角和为
矛盾,②因此假设不成立.∴
③假设在
中,
④由
,得
,即
.这四个步骤正确的顺序应是( )
A.③④②①B.③④①②C.①②③④D.④③①②
【答案】B
【解析】
【分析】
根据反证法的证明步骤“假设、合情推理、导出矛盾、结论”进行分析判断即可.
【详解】
题目中“已知:
△ABC中,AB=AC,求证:
∠B<90°”,用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤:
应该为:
(1)假设∠B≥90°,
(2)那么,由AB=AC,得∠B=∠C≥90°,即∠B+∠C≥180°,
(3)所以∠A+∠B+∠C>180°,这与三角形内角和定理相矛盾,
(4)因此假设不成立.∴∠B<90°,
原题正确顺序为:
③④①②,
故选B.
【点睛】
本题考查反证法的证明步骤,弄清反证法的证明环节是解题的关键.
3.下列各命题的逆命题是真命题的是
A.对顶角相等B.全等三角形的对应角相等
C.相等的角是同位角D.等边三角形的三个内角都相等
【答案】D
【解析】
【分析】
分别写出四个命题的逆命题:
相等的角为对顶角;对应角相等的两三角形全等;同位角相等;三个角都相等的三角形为等边三角形;然后再分别根据对顶角的定义对第一个进行判断;根据三角形全等的判定方法对第二个进行判断;根据同位角的性质对第三个进行判断;根据等边三角形的判定方法对第四个进行判断.
【详解】
A、“对顶角相等”的逆命题为“相等的角为对顶角”,此逆命题为假命题,所以A选项错误;
B、“全等三角形的对应角相等”的逆命题为“对应角相等的两三角形全等”,此逆命题为假命题,所以B选项错误;
C、“相等的角是同位角”的逆命题为“同位角相等”,此逆命题为假命题,所以C选项错误;
D、“等边三角形的三个内角都相等”的逆命题为“三个角都相等的三角形为等边三角形”,此逆命题为真命题,所以D选项正确.
故选D.
【点睛】
本题考查了命题与定理:
判断事物的语句叫命题;题设与结论互换的两个命题互为逆命题;正确的命题叫真命题,错误的命题叫假命题;经过推论论证得到的真命题称为定理.
4.下列命题是真命题的个数是().
①64的平方根是
;
②
,则
;
③三角形三条内角平分线交于一点,此点到三角形三边的距离相等;
④三角形三边的垂直平分线交于一点.
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】C
【解析】
【分析】
分别根据平方根、等式性质、三角形角平分线、线段垂直平分线性质进行分析即可.
【详解】
①64的平方根是
,正确,是真命题;
②
,则不一定
,可能
;故错误;
③根据角平分线性质,三角形三条内角平分线交于一点,此点到三角形三边的距离相等;是真命题;
④根据三角形外心定义,三角形三边的垂直平分线交于一点,是真命题;
故选:
C
【点睛】
考核知识点:
命题的真假.理解平方根、等式性质、三角形角平分线、线段垂直平分线性质是关键.
5.下列命题中,是真命题的是()
A.若
,则
B.若
,则a,b都是正数
C.两条直线被第三条直线所截,同位角相等
D.垂直于同一条直线的两条直线平行
【答案】D
【解析】
【分析】
正确的命题是真命题,根据定义依次判断即可得到答案.
【详解】
A.若
,则
,故A错误;
B.若
,则a,b中至少有一个数是正数,且正数绝对值大于负数的绝对值,故B错误;
C.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等,故C错误;
D.垂直于同一条直线的两条直线平行正确,
故选:
D.
【点睛】
此题考查判断真假命题,正确掌握命题的分类并理解事件的正确与否是解题的关键.
6.下列三个命题:
①对顶角相等;②全等三角形的对应边相等;③如果两个实数是正数,它们的积是正数.它们的逆命题成立的个数是()
A.0个B.1个C.2个D.3个
【答案】B
【解析】【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题,再把逆命题进行判断即可.
【详解】①对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角,逆命题错误;
②全等三角形的对应边相等的逆命题是对应边相等的两个三角形全等,正确;
③如果两个实数是正数,它们的积是正数的逆命题是如果两个数的积为正数,那么这两个数也是正数,逆命题错误,也可以有都是负数,
所以逆命题成立的只有一个,
故选B.
【点睛】本题考查了互逆命题,真命题与假命题,真命题要运用相关知识进行推导,假命题要通过举反例来进行否定.
7.下列命题的逆命题不成立的是()
A.两直线平行,同旁内角互补B.如果两个实数相等,那么它们的平方相等
C.平行四边形的对角线互相平分D.全等三角形的对应边相等
【答案】B
【解析】
【分析】
把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题.分析是否为真命题,需要分别分析各题设是否能推出结论,从而利用排除法得出答案.
【详解】
选项A,两直线平行,同旁内角互补的逆命题是同旁内角互补,两直线平行,正确,成立;
选项B,如果两个实数相等,那么它们的平方相等的逆命题是平方相等的两个数相等,错误,不成立,如(﹣3)2=32,但﹣3≠3;
选项C,平行四边形的对角线互相平分的逆命题是对角线互相平分的四边形是平行四边形,正确,成立;
选项D,全等三角形的对应边相等的逆命题是对应边相等的三角形全等,正确,成立;
故选B.
【点睛】
本题考查了互逆命题的知识,两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论又是第二个命题的条件,那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题称为另一个命题的逆命题.
8.下列命题中,是真命题的是( )
A.将函数y=
x+1向右平移2个单位后所得函数的解析式为y=
x
B.若一个数的平方根等于其本身,则这个数是0和1
C.对函数y=
,其函数值y随自变量x的增大而增大
D.直线y=3x+1与直线y=﹣3x+2一定互相平行
【答案】A
【解析】
【分析】
利用一次函数的性质、平方根的定义、反比例函数的性质等知识分别判断后即可确定正确的选项.
【详解】
解:
A、将函数y=
x+1向右平移2个单位后所得函数的解析式为y=
x,正确,符合题意;
B、若一个数的平方根等于其本身,则这个数是0,故错误,是假命题,不符合题意;
C、对函数y=
,其函数值在每个象限内y随自变量x的增大而增大,故错误,是假命题,不符合题意;
D、直线y=3x+1与直线y=﹣3x+2因比例系数不相等,故一定不互相平行,故错误,是假命题,
故选:
A.
【点睛】
本题考查了判断命题真假的问题,掌握一次函数的性质、平方根的定义、反比例函数的性质等知识是解题的关键.
9.下列命题是真命题的是()
A.若两个数的平方相等,则这两个数相等B.同位角相等
C.同一平面内,垂直于同一直线的两条直线平行D.相等的角是对顶角
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平方的意义,同位角的概念,平行线的判定,对顶角的概念逐一进行判断即可得.
【详解】
A.若两个数的平方相等,则这两个数不一定相等,如22=(-2)2,但2≠-2,故A选项错误;
B.只有两直线平行的情况下,才有同位角相等,故B选项错误;
C.同一平面内,垂直于同一直线的两条直线平行,真命题,符合题意;
D.相等的角不一定是对顶角,如图,∠1=∠2,但这两个角不符合对顶角的概念,故D选项错误,
故选C.
【点睛】
本题考查了命题真假的判定,涉及了乘方、同位角、对顶角、平行线的判定等知识,熟练掌握相关知识是解题的关键.
10.下列说法正确的是( )
A.相等的角是对顶角
B.在平面内,经过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C.两条直线被第三条直线所截,内错角相等
D.在平面内,经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】D
【解析】
【分析】
分析是否为真命题,需要分别分析各题设是否能推出结论,从而利用排除法得出答案.
【详解】
解:
相等的角不一定是对顶角,故A错误;
在平面内,经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,故B错误;
两直线平行,内错角相等,故C错误;
在平面内,经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直,故D正确;
故答案为D.
【点睛】
此题主要考查了命题的真假判断,掌握定理并灵活运用是解题的关键.
11.交换下列命题的题设和结论,得到的新命题是假命题的是( )
A.两直线平行,内错角相等;B.相等的角是对顶角;
C.所有的直角都是相等的;D.若a=b,则a-1=b-1.
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】
分析:
写出原命题的逆命题,根据相关的性质、定义判断即可.
详解:
交换命题A的题设和结论,得到的新命题是内错角相等,两直线平行,是真命题;
交换命题B的题设和结论,得到的新命题是对顶角相等,是真命题;
交换命题C的题设和结论,得到的新命题是所有的相等的角都是直角,是假命题;
交换命题D的题设和结论,得到的新命题是若a﹣1=b﹣1,则a=b,是真命题.
故选C.
点睛:
本题考查的是命题的真假判断,正确的命题叫真命题,错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理.
12.下列四个命题:
①两直线平行,内错角相等;②对顶角相等;③等腰三角形的两个底角相等;④菱形的对角线互相垂直,其中逆命题是真命题的是( )
A.①②③④B.①③④C.①③D.①
【答案】C
【解析】
【分析】
首先写出各个命题的逆命题,然后进行判断即可.
【详解】
①两直线平行,内错角相等;其逆命题:
内错角相等,两直线平行,是真命题;
②对顶角相等,其逆命题:
相等的角是对顶角,是假命题;
③等腰三角形的两个底角相等,其逆命题:
有两个角相等的三角形是等腰三角形,是真命题;
④菱形的对角线互相垂直,其逆命题:
对角线互相垂直的四边形是菱形,是假命题;
故选C.
【点睛】
本题考查了写一个命题的逆命题的方法,真假命题的判断,弄清命题的题设与结论,掌握相关的定理是解题的关键.
13.下列命题属于真命题的是()
A.同旁内角相等,两直线平行B.相等的角是对顶角
C.平行于同一条直线的两条直线平行D.同位角相等
【答案】C
【解析】
【分析】
要找出正确命题,可运用相关基础知识分析找出正确选项,也可以通过举反例排除不正确选项,从而得出正确选项.
【详解】
A、同旁内角互补,两直线平行,是假命题;
B、相等的角不一定是对顶角,是假命题;
C、平行于同一条直线的两条直线平行,是真命题;
D、两直线平行,同位角相等,是假命题;
故选C.
【点睛】
本题考查了命题与定理:
判断一件事情的语句,叫做命题.许多命题都是由题设和结论两部分组成,题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项,一个命题可以写成“如果…那么…”形式.2、有些命题的正确性是用推理证实的,这样的真命题叫做定理.
14.下列命题的逆命题不正确的是( )
A.全等三角形的对应边相等B.两直线平行,同位角相等
C.等腰三角形的两个底角相等D.矩形的对角线相等.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据求逆命题的原则,把原命题的结论作为条件,原命题的条件作为结论得到的命题是原命题的逆命题,逐一判断逆命题的正误即可.
【详解】
解:
A的逆命题是:
对应边相等的三角形是全等三角形,正确;
B的逆命题是:
同位角相等,两直线平行,正确;
C的逆命题是:
两底角相等的三角形是等腰三角形,正确;
D的逆命题是:
对角线相等的四边形是矩形,错误
故选:
D
【点睛】
本题考查逆命题、全等三角形的判定、平行线的判定、等腰三角形的判定、矩形的判定,解题的关键是正确找出各选项的逆命题.
15.下列选项中,能说明命题“若
,则
”是假命题的反例是( )
A.
,
B.
,
C.
,
D.
,
【答案】D
【解析】
【分析】
根据要证明一个结论不成立,可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题,作答本题直接利用选项中数据代入求出答案.
【详解】
A.当
,
时,
<
,
<
,则此选项不是假命题的反例;
B.当
,
时,
>
,
>
,则此选项不是假命题的反例;
C.当
,
时,
<
,
>
,则此选项不是假命题的反例;
D.当
,
时,
>
,
<
,则此选项是假命题的反例,
故选:
.
【点睛】
本题考查真命题与假命题.要说明数学命题的错误,只需举出一个反例即可,反例就是符合已知条件但不满足结论的例子.
16.对于命题“若a2>b2,则a>b”,下面四组关于a,b的值中,能说明这个命题是假命题的是( )
A.a=3,b=2B.a=﹣3,b=2C.a=3,b=﹣1D.a=﹣1,b=3
【答案】B
【解析】
试题解析:
在A中,a2=9,b2=4,且3>2,满足“若a2>b2,则a>b”,故A选项中a、b的值不能说明命题为假命题;
在B中,a2=9,b2=4,且﹣3<2,此时虽然满足a2>b2,但a>b不成立,故B选项中a、b的值可以说明命题为假命题;
在C中,a2=9,b2=1,且3>﹣1,满足“若a2>b2,则a>b”,故C选项中a、b的值不能说明命题为假命题;
在D中,a2=1,b2=9,且﹣1<3,此时满足a2<b2,得出a<b,即意味着命题“若a2>b2,则a>b”成立,故D选项中a、b的值不能说明命题为假命题;
故选B.
考点:
命题与定理.
17.下列命题的逆命题是真命题的是()
A.直角都相等B.钝角都小于180°C.如果x2+y2=0,那么x=y=0D.对顶角相等
【答案】C
【解析】
【分析】
根据逆命题是否为真命题逐一进行判断即可.
【详解】
相等的角不都是直角,故A选项不符合题意,
小于180°的角不都是钝角,故B选项不符合题意,
如果x=y=0,那么x2+y2=0,正确,是真命题,符合题意,
相等的角不一定都是对顶角,故D选项不符合题意,
故选C
【点睛】
本题考查了互逆命题的知识,两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论又是第二个命题的条件,那么这两个命题叫做互逆命题,正确的命题叫真命题,错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理.
18.下列命题的逆命题不正确的是()
A.相等的角是对顶角B.两直线平行,同旁内角互补
C.矩形的对角线相等D.平行四边形的对角线互相平分
【答案】C
【解析】
【分析】
首先写出各个命题的逆命题,然后进行判断即可.
【详解】
A、逆命题是:
对顶角相等.正确;
B、逆命题是:
同旁内角互补,两直线平行,正确;
C、逆命题是:
对角线相等的四边形是矩形,错误;
D、逆命题是:
对角线互相平分的四边形是平行四边形,正确.
故选:
C.
【点睛】
本题主要考查了写一个命题的逆命题的方法,首先要分清命题的条件与结论.
19.交换下列命题的题设和结论,得到的新命题是假命题的是( )
A.两直线平行,同位角相等B.相等的角是对顶角
C.所有的直角都是相等的D.若a=b,则a﹣3=b﹣3
【答案】C
【解析】
【分析】
写出原命题的逆命题,根据相关的性质、定义判断即可.
【详解】
解:
交换命题A的题设和结论,得到的新命题是同位角相等,两直线平行是真命题;
交换命题B的题设和结论,得到的新命题是对顶角相等是真命题;
交换命题C的题设和结论,得到的新命题是所有的相等的角都是直角是假命题;
交换命题D的题设和结论,得到的新命题是若a-3=b-3,则a=b是真命题,
故选C.
【点睛】
本题考查的是命题的真假判断,正确的命题叫真命题,错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理.
20.用三个不等式
中的两个不等式作为题设,余下的一个不等式作为结论组成一个命题,组成真命题的个数为( )
A.0B.1C.2D.3
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意得出三个命题,根据不等式的性质判断命题的真假.
【详解】
若
,则
为假命题.反例:
a=-1,b=-2
若
,则
为假命题.反例:
a=2,b=-1
若
,则
为假命题.反例:
a=-2,b=-1
故选:
A
【点睛】
本题考查了命题与不等式的性质,解题的关键在于根据题意得出命题,根据不等式的性质判断真假.
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