数值代数课设.docx
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数值代数课设
数值代数课设
学号:
****
指导老师:
*****
南京航空航天大学理学院
2010年6月15日
一、题目:
考虑一端固支的悬臂梁,长度为1米,截面工字,相关数据为高度0.05米,上、下宽都为0.034米,厚度分别为0.00225米、0.0038米和0.0038米。
自由端有一质量为2千克的集中质量,材料的杨氏模量为2.0e11,密度为7800kg/m3,Possion率0.33(图例见下页)。
将此工字梁划分为40个节点,用有限元方法算出其前10阶振动频率和模态,以及质量阵和刚度阵。
具体数据见design.mat.
Matlab相关数据的说明:
1.redgongwithstiff.mat(K)为提取出的刚度矩阵
2.redgongwithmass.mat(M)为提取出的质量矩阵
3.redgongwithmode.mat(X)为提取出的前十阶模态矩阵
4.gongwithfre.mat为提取出的前十阶频率矩阵
5.gongwitheig.mat(D)为利用频率转换得到的特征值矩阵
要求:
1.分别计算质量矩阵M和刚度矩阵K的谱半径;
2.**给出一种计算关于质量矩阵和刚度矩阵的按模最小的非零广义特征值的方法(误差小于3%);
3.试估计前五个特征值所对应的特征向量,(此时可利用已给的测量特征值数据),并给出估计结果与测量数据之间的相对误差;
4***.一般说来,测量数据应满足KX=MXD,但题目中给出的数据并不严格满足这一条件,试给出一种方法降低误差,要求不能改变X,D,可以改变K,M.
二、解答
1.由于刚度阵和质量阵为对称稀疏矩阵,因而采用Jacobi方法
答:
质量矩阵M的谱半径为:
2.0414,刚度矩阵K的谱半径为:
9.8915e+009。
2.刚度矩阵
与质量矩阵
为两240阶方阵,则存在酉矩阵
与
(均为240阶),使得
,其中
,
为上三角矩阵,设它们的对角元素分别为
,若存在
,使得
同时为0,则
广义特征值集合
,否则
,而当
时,特征值
。
利用此思想编写程序,先用matlab软件中qz命令直接进行qz分解(
qz
),得到两酉矩阵
与
再求出所有特征值,取其中按模最小的一个,即为所求,并将其与所给测量按模最小特征值(
)比较,看是否在允许误差范围内。
按上述方法可求得质量矩阵和刚度矩阵的按模最小的非零广义特征值。
答:
求得
按模最小广义特征值
为3.2587e+003,与测量值比较误差为2.6531e-005%,在允许的误差范围内。
3.采用MATLAB中的eig函数,即[C,D]=eig(A,B),D为特征值组成的对角矩阵,C为对应的特征向量,然后将D中对角元按模最小前五个特征值求出,每求出一个后赋值为无穷,避免循环中对下次结果干扰,然后根据特征值求得对应的特征向量,误差估计采用MATLAB中的subspace函数。
N=
00000
00.00100-0.00350
0.00080-0.001900.0037
00000
-0.052900.11610-0.2094
00.05290-0.11260
00000
00.00360-0.01020
0.00320-0.007100.0130
00000
-0.104200.21950-0.3774
00.10420-0.21280
00000
00.00770-0.01960
0.00710-0.015200.0267
00000
-0.154100.31040-0.5044
00.15410-0.30050
00000
00.01320-0.03160
0.01240-0.025900.0437
00000
-0.202400.38860-0.5909
00.20250-0.37590
00000
00.02020-0.04560
0.01920-0.038700.0626
00000
-0.249300.45450-0.6383
00.24940-0.43900
00000
00.02860-0.06120
0.02740-0.053200.0824
00000
-0.294700.50790-0.6482
00.29480-0.48990
00000
00.03830-0.07820
0.03690-0.069300.1019
00000
-0.338600.54910-0.6232
00.33870-0.52890
00000
00.04930-0.09620
0.04780-0.086300.1201
00000
-0.381000.57840-0.5663
00.38110-0.55610
00000
00.06160-0.11470
0.05980-0.104100.1362
00000
-0.421900.59590-0.4814
00.42200-0.57180
00000
00.07510-0.13350
0.07310-0.122200.1492
00000
-0.461300.60210-0.3728
00.46140-0.57650
00000
00.08970-0.15220
0.08750-0.140300.1587
00000
-0.499300.59730-0.2453
00.49930-0.57050
00000
00.10540-0.17050
0.10310-0.158100.1641
00000
-0.535700.58210-0.1041
00.53580-0.55420
00000
00.12220-0.18810
0.11970-0.175400.1650
00000
-0.570700.556900.0452
00.57080-0.52830
00000
00.14010-0.20470
0.13730-0.191700.1614
00000
-0.604200.522400.1971
00.60430-0.49340
00000
00.15890-0.22000
0.15590-0.206800.1532
00000
-0.636300.479200.3461
00.63640-0.45000
00000
00.17870-0.23380
0.17550-0.220500.1406
00000
-0.666900.428100.4868
00.66690-0.39900
00000
00.19930-0.24590
0.19600-0.232600.1238
00000
-0.696000.369800.6143
00.69610-0.34100
00000
00.22080-0.25600
0.21730-0.242800.1035
00000
-0.723700.305100.7240
00.72380-0.27700
00000
00.24310-0.26390
0.23940-0.250900.0802
00000
-0.750000.234800.8121
00.75010-0.20760
00000
00.26620-0.26960
0.26230-0.256900.0545
00000
-0.774800.160000.8755
00.77490-0.13380
00000
00.29000-0.27290
0.28590-0.260600.0274
00000
-0.798300.081500.9118
00.79830-0.05650
00000
00.31450-0.27370
0.31020-0.26180-0.0005
00000
-0.820300.000100.9198
00.820400.02340
00000
00.33960-0.27200
0.33510-0.26060-0.0281
00000
-0.84100-0.083000.8990
00.841000.10500
00000
00.36530-0.26760
0.36070-0.25680-0.0547
00000
-0.86030-0.167100.8498
00.860300.18740
00000
00.39160-0.26070
0.38680-0.25060-0.0794
00000
-0.87820-0.251100.7736
00.878300.26960
00000
00.41840-0.25120
0.41340-0.24180-0.1014
00000
-0.89480-0.334100.6727
00.894900.35090
00000
00.44570-0.23910
0.44050-0.23050-0.1200
00000
-0.91010-0.415300.5503
00.910200.43020
00000
00.47340-0.22460
0.46800-0.21680-0.1346
00000
-0.92410-0.493800.4099
00.924200.50690
00000
00.50140-0.20780
0.49590-0.20080-0.1447
00000
-0.93680-0.568800.2561
00.936900.58010
00000
00.52990-0.18870
0.52420-0.18260-0.1501
00000
-0.94830-0.639500.0934
00.948300.64900
00000
00.55870-0.16750
0.55280-0.16240-0.1504
00000
-0.95860-0.70530-0.0731
00.958600.71320
00000
00.58770-0.14440
0.58180-0.14030-0.1457
00000
-0.96760-0.76550-0.2383
00.967600.77180
00000
00.61710-0.11960
0.61090-0.11640-0.1360
00000
-0.97550-0.81960-0.3971
00.975500.82450
00000
00.64660-0.09320
0.64030-0.09100-0.1217
00000
-0.98220-0.86720-0.5449
00.982200.87080
00000
00.67630-0.06550
0.66990-0.06430-0.1032
00000
-0.98780-0.90770-0.6772
00.987800.91030
00000
00.70620-0.03660
0.69960-0.03650-0.0809
00000
-0.99230-0.94110-0.7903
00.992300.94270
00000
00.73610-0.00690
0.72940-0.00780-0.0555
00000
-0.99570-0.96700-0.8809
00.995700.96790
00000
00.766200.02340
0.759300.02160-0.0278
00000
-0.99810-0.98540-0.9469
00.998100.98580
00000
00.796300.05420
0.789300.051400.0016
00000
-0.99950-0.99640-0.9867
00.999500.99650
00000
00.826400.08520
0.819300.081500.0317
00000
-1.00000-1.00000-1.0000
01.000001.00000
答:
前五个特征值所对应的特征向量见上面的矩阵,特征值3258.7009的估计特征向量与测量所得相对误差为5.8515e-006;特征值19749.7684的估计特征向量与测量所得相对误差为6.1817e-006;特征值253413.0886的估计特征向量与测量所得相对误差为1.2119e-005;特征值1441100.5461的估计特征向量与测量所得相对误差为1.3245e-005;特征值2383609.4261的估计特征向量与测量所得相对误差为8.7163e-006。
4KX=MXD等价于
=0,由
和F范数酉不变性知,
=
=
设
,
,
则
=
=
=0
则
,
,K12和
的取值任意,由此得出
,则
,此时得出的K即为新的K。
答:
得出的新的K为矩阵NEW_K,M不变,原来的误差为:
8.6986e+004,新的误差为:
8.8476e-006
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