辅导讲义乘法公式的灵活应用.docx
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辅导讲义乘法公式的灵活应用
课题
乘法公式的灵活应用
教学内容
正整数指数幂的运算法则:
⑴•;
(2)();
⑸(b)■令(旳・
常用的乘法公式:
22
(1)()()
222
⑵()+2
222
⑶()-2
(4)()(a22)33
⑸()(a22)3-b3
(9)()33+3a2323;
(10)()33-3a2323;
【精讲精练】
一、归纳小结公式的变式,准确灵活运用公式:
1位置变化,xy_y•xi=x2_y2
2符号变化,(-x+yyX$_y2=x2_y2
3指数变化,x2y2x2-y2=x4-y4
4系数变化,(2a+b)(2a—bHa2_b2
5换式变化,,zmU-zm]
22
’2;Zm
=xy-zmzm
22V2山2*
=Xy-z亠亠亠m
x_yzx-y-z
22
-x-y-z
2
-x-yx-y-z
222
增项变化,
222c2
=xy-z-2-m
二x-一y-z
2^22
二x-2y-z
连用公式变化,xyx-yx2y2
2222
-x-yxy
44
二x-y
逆用公式变化,(X—y+z$_(x*y-z)
ix-yzxy-zx-yz-xy-z]=2x-2y2z--44
例1已知a•b=2,ab=1,求a2b2的值
例2•已知a•b=8,ab=2,求(a-b)2的值。
2
例3:
计算1999-2000X1998
例4:
已知2,1,求a22和()2的值。
例5:
已知2,2,14。
求x22的值。
例6:
判断(2+1)(22+1)(24+1)……(22048+1)+1的个位数字是几?
例7•运用公式简便计算
(1)1032
(2)1982
例8•计算
(1)a4b-3ca-4b-3c
(2)3xy-23x-y2
例9•解下列各式
(4)已知x」=3,求x4丄的值
xx
例11.计算
(1)x^x12
2
(2)3m・n-p
二、乘法公式的用法
(一)、套用:
这是最初的公式运用阶段,在这个环节中,应弄清乘法公式的来龙去脉,准确地掌握其特征,为辨认和运用公式打下基础,同时能提高学生的观察能力。
例1.计算:
5x23y25x2-3y2
(二)、连用:
连续使用同一公式或连用两个以上公式解题。
例2.计算:
1-aa1a21a41
例3.计算:
3x2y-5z1-3x2y-5z-1
三、逆用:
学习公式不能只会正向运用,有时还需要将公式左、右两边交换位置,得出公式的逆向形式,并运用其解决问题。
2.2
例4.计算:
5a7b-8cii5a-7b8c
四、变用:
题目变形后运用公式解题。
例5.计算:
x•y_2zxy6z
五、活用:
把公式本身适当变形后再用于解题。
这里以完全平方公式为例,经过变形或重新组合,可得如下几个比较有用的派生公式:
222
1.ab:
-2ab=ab
222
2.a「bi亠2ab=ab
2222
3.abi亠i〕a-bi;=2ab
22
4.abi[a-bi;=4ab
灵活运用这些公式,往往可以处理一些特殊的计算问题,培养综合运用知识的能力
例6.已知a-b=4,ab=5,求a2b2的值。
例7.计算:
(a+b+c-d)+(b+c+d-a)
例8.已知实数x、y、z满足x・y=5,z2二xy・y-9,那么x2y3z=()
三、学习乘法公式应注意的问题
(一)、注意掌握公式的特征,认清公式中的“两数”例1计算(-2x2-5)(2x2-5)
例2计算(+4b)
(二)、注意为使用公式创造条件例3计算(25)(25).
例4计算⑴2(a21)2(a63+1)2
248
例5计算(2+1)(2+1)(2+1)(2+1).
(二)、注意公式的推广计算多项式的平方,由,可推广得到:
()2222+22ac2•
可叙述为:
多项式的平方,等于各项的平方和,加上每两项乘积的2倍.
例6计算(23)2
(四)、注意公式的变换,灵活运用变形公式例7
(1)已知10,x33=100,求x22的值;
(2)已知:
27,6,求(2y)2的值.
例8计算()2+()2+()+()I
(五)、注意乘法公式的逆运用例9计算(23c)2-(2b-3c)2.
例10计算(2a+3b)2-2(2a+3b)(5b-4a)+(4a-5b)
四、怎样熟练运用公式:
(一)、明确公式的结构特征
这是正确运用公式的前提,如平方差公式的结构特征是:
符号左边是两个二项式相乘,且在这四项中有两项完全相同,另两项是互为相反数;等号右边是乘式中两项的平方差,且是相同项的平方减去相反项的平方.明确了公式的结构特征就能在各种情况下正确运用公式.
(二)、理解字母的广泛含义
乘法公式中的字母a、b可以是具体的数,也可以是单项式或多项式.理解了字母含义的广泛性,就能在更广泛的范围内正确运用公式.如计算(2y—3z)2,若视2y为
公式中的a,3z为b,则就可用(a—b)22-22来解了。
(三)、熟悉常见的几种变化
有些题目往往与公式的标准形式不相一致或不能直接用公式计算,此时要根据公式
特征,合理调整变化,使其满足公式特点.
常见的几种变化是:
1、位置变化如(35y)(5y—3x)交换3x和5y的位置后即可用平方差公式计算
了.
2、符号变化如如(-2vm-7n)(2nn-7n)变为一(2m+7n)(2m-7n)后就可用平方差公式求解了(思考:
不变或不这样变,可以吗?
)
3、数字变化如98X102,9纟,912等分别变为(100-2)(100+2,(100—1)2,(90+1)2后就能够用乘法公式加以解答了.
4、系数变化如(4嗚)(2m-专)变为2(2叫)(2m-扌)后即可用平方差公
式进行计算了.
5、项数变化如口(32z)(x—36z)变为(34z—2z)(x—342z)后再适当分组就可以用乘法公式来解了.
(4)、注意公式的灵活运用
有些题目往往可用不同的公式来解,此时要选择最恰当的公式以使计算更简便.如
计算(a2+1)2•(a2—1)2,若分别展开后再相乘,则比较繁琐,若逆用积的乘方法则后再进一步计算,则非常简便.即原式=[(a2+1)(a2—1)]2=(a4—1)28—2a4+1.
对数学公式只会顺向(从左到右)运用是远远不够的,还要注意逆向(从右到左)运用.如计算(1--)(1-■)(1-4)•••(1-4)(1—A),若分别算出各因式
234910
的值后再行相乘,不仅计算繁难,而且容易出错.若注意到各因式均为平方差的形式而逆用平方差公式,则可巧解本题.
即原式=(1-扌)(1+2)(1—1)(代)x_x
=1X2X£X4X…X2X11=丄X11=耳.
2233101021020
有时有些问题不能直接用乘法公式解决,而要用到乘法公式的变式,乘法公式的变
式主要有:
a22=()2—2,a22=(a—b)2+2等.
用这些变式解有关问题常能收到事半功倍之效.如已知7,—18,求m2,m-n2的值.
面对这样的问题就可用上述变式来解,
即m2=()2—272—2X(—18)=49+36=85,
m-n2=()2—37s—3X(—18)=103.
下列各题,难不倒你吧?
!
1、若丄5,求
(1)a2+4,
(2)(a—1)2的值.
aaa
2、求(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)(264+1)+1的末位数字.
五、乘法公式应用的五个层次
乘法公式:
(a+b)(a—b)—b,(a±b)±2+b,
(a±b)(a2±+b2)3±b3.
第一层次一一正用
即根据所求式的特征,模仿公式进行直接、简单的套用.
f2
1}
(A31
1A
(1)
—a-—b
—a+—ab
2}
{93
4J
(2)(-2x—y)(2x-y).
例1计算
第二层次——逆用,即将这些公式反过来进行逆向使用.
例2计算
(1)19982—1998•3994+19972;
第三层次——活用:
根据待求式的结构特征,探寻规律,连续反复使用乘法公式;有时根据需要创造条件,灵活应用公式.
例3化简:
(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1.
例4计算:
(2x—3y—1)(—2x—3y+5)
第四层次一一变用:
解某些问题时,若能熟练地掌握乘法公式的一些恒等变形式,如a2+b2=(a+b)2—2,a3+b3=(a+b)3—3(a+b)等,则求解十分简单、明快.
例5已知a+9,14,求2a2+2b2和a3+b3的值.
第五层次综合后用:
将(a+b)+2+b和(a—b)—2+b综合,
222222
等,合理地利用这些公式处理某些问题显得新颖、简捷.
fa+b]
可得(a+b)+(a—b)=2(a+b);(a+b)—(a—b)=4;
例6计算:
(2x+y—z+5)(2x—y+z+5).
六、正确认识和使用乘法公式
1、数形结合的数学思想认识乘法公式:
对于学习的两种(三个)乘法公式:
平方差公式:
()()冬完全平方公式:
()22+22;()22-22,可以运用数形结合的数学思想方法来区分它们。
假设a、b都是正数,那么可以用以下图形所示意的面积来认识乘法公式。
如图1,两个矩形的面积之和(即阴影部分的面积)为()(),通过左右两图的对照,即可得到平方差公式()()22;图2中的两个图阴影部分面积分别为()2与()2,通过面积的计算方法,即可得到两个完全平方公式:
()22+2:
与()22-22。
■1)4■
2、乘法公式的使用技巧:
1提出负号:
对于含负号较多的因式,通常先提出负号,以避免负号多带来的麻烦例1、运用乘法公式计算:
(1)(-1+3x)(-1-3x);
(2)(2m1)2
2改变顺序:
运用交换律、结合律,调整因式或因式中各项的排列顺序,可以使公式的特征更加明显.
例2、运用乘法公式计算:
a2
(1)()(-3);
(2)(1/2)(x+1/4)(1/2)
3逆用公式
a22=()(),逆用积
将幕的公式或者乘法公式加以逆用,比如逆用平方差公式,得的乘方公式,得():
等等,在解题时常会收到事半功倍的效果。
例3、计算:
(1)(2+5)2-(2-5)2;
(2)(1/2)2(a2+1/4)2(1/2)
4合理分组:
对于只有符号不同的两个三项式相乘,一般先将完全相同的项调到各因式的前面,视为一组;符号相反的项放在后面,视为另一组;再依次用平方差公式与完全平方公式进行计算。
计算:
(1)
(1)
(1);
(2)(25)(25).
七、巧用公式做整式乘法
整式乘法是初中数学的重要内容,是今后学习的基础,应用极为广泛。
尤其多项式乘多项式,运算过程复杂,在解答中,要仔细观察,认真分析题目中各多项式的结构特征,将其适当变化,找出规律,用乘法公式将其展开,运算就显得简便易行。
一.先分组,再用公式
例1.计算:
(a「bc「d)(「a-b「c「d)
先提公因式,再用公式
例2.计算:
;8x+多
三.先分项,再用公式
例3.计算:
2x3y22^3y6
四.先整体展开,再用公式
例4.计算:
(a2b)(a-2b1)
5.先补项,再用公式
例5.计算:
3(381)(341)(321)(31)
6.先用公式,再展开
1
42」
f1V1V例6.计算:
J—右』J—*)(1
7.乘法公式交替用
例7.计算:
(xz)(x2-2xzz2)(x-z)(x22xzz2)
八、中考与乘法公式
1.结论开放
例1.(02年济南中考)请你观察图1中的图形,依据图形面积的关系,不需要添加辅助线,便可得到一个你非常熟悉的公式,这个公式是。
例2.(03年陕西中考)
£1「FI.
图3
如图2,在长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a>b),把余下的部分剪成一个矩形,如图3,通过计算两个图形的面积,验证了一个等式,则这个等式是。
图2
2.条件开放
例3.(03年四川中考)多项式9x21加上一个单项式后,使它能成为一个整式的完全平方,则加上的单项式可以是(填上你认为正确的一个即可,不必考虑所有的可能情况)。
3.找规律
例4.(01年武汉中考)观察下列各式:
..2
x-1x1=x-1
23
由猜想到的规律可得
x-1xn
n-2x
x-1xx1二x-1
x-1x3x2x1=X4_1
4.推导新公式
例5.在公式(a+1)=a2+2a+1中,当a分别取1,2,3,,n时,可得下歹
n个等式
22
1•1[=121-1
22
2-1222-1
22
3-1323-1
22
n•1n232n•1
将这n个等式的左右两边分别相加,可推导出求和公式:
123n=(用含n的代数式表示)
例6.(04年临汾中考)阅读材料并解答问题:
我们已经知道,完全平方公式可以
用平面几何图形的面积来表示,实际上还有一些等式也可以用这种形式表示,例如:
2abab2a23ab-b2就可以用图4或图5等图表示。
b
图5
图(5
(1)请写出图6中所表示的代数恒等式;
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