专升本高等数学知识点汇总.docx

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专升本高等数学知识点汇总

专升本高等数学知识点汇总

常用知识点：

一、常见函数的定义域总结如下：

ykxb

（1）2一般形式的定义域：

x∈R

yaxbxc

（2）y

（3）y

k

分式形式的定义域：

x≠0

x

x根式的形式定义域：

x≥0

（4）y

logax

对数形式的定义域：

x＞0

二、函数的性质

1、函数的单调性

当x1x2时，恒有

f（x1）

f（x2），

f（x）在

x1，x2所在的区间上是增加的。

当x1x2时，恒有

f（x1）

f（x2），

f（x）在

x1，x2所在的区间上是减少的。

2、函数的奇偶性

定义：

设函数y

f（x）的定义区间D关于坐标原点对称（即若

xD，则有

xD）

（1）偶函数

f（x）——

xD，恒有f（x）

f（x）。

（2）奇函数

f（x）——

x

D，恒有f（x）

f（x）。

三、基本初等函数

1、常数函数：

y

c，定义域是（,

），图形是一条平行于x轴的直线。

2、幂函数：

y

3、指数函数

xu，（u是常数）。

它的定义域随着u的不同而不同。

图形过原点。

定义:

y

f（x）

ax，（a是常数且a

0，a

1）.图形过（0,1）点。

4、对数函数

定义:

y

f（x）

logax，（a是常数且a

1

，a

2

）。

图形过（1,0）点。

5、三角函数

（1）正弦函数:

ysinx

T2，

D（f）（,

），f

（D）

[1,1]。

（2）余弦函数:

ycosx.

T2，

D（f）（,

），f

（D）

[1,1]。

（3）正切函数:

ytanx.

T，D（f）

{x|x

R,x

（2k

1）,k2

Z}，

f（D）（

）.

（4）余切函数:

ycotx.

T，D（f）

{x|x

R,x

k,k

Z}，

f（D）（

）.

5、反三角函数

（1）反正弦函数:

y

arcsinx，

D（f）

[1,1]，

f（D）

[,]。

22

（2）反余弦函数:

yarccosx，

D（f）

[1,1]，

f（D）

[0,]。

（3）反正切函数:

yarctanx，

D（f）（

），

f（D）

（,）。

22

（4）反余切函数:

yarccotx，D（f）（

），

f（D）

（0,）。

极限

一、求极限的方法

1、代入法

代入法主要是利用了“初等函数在某点的极限，等于该点的函数值。

”因此遇到大部分简单题目的时候，可以直接代入进行极限的求解。

2、传统求极限的方法

（1）利用极限的四则运算法则求极限。

（2）利用等价无穷小量代换求极限。

（3）利用两个重要极限求极限。

（4）利用罗比达法则就极限。

二、函数极限的四则运算法则

设limu

x

A，limv

x

B，则

（1）lim（uv）

x

limu

x

limvAB

x

（2）lim（uv）

x

推论

limu

x

limv

x

AB.

（a）

lim（Cv）

x

Clim

x

v，（C为常数）。

（b）limun

x

（limu）nx

（3）limu

xv

limu

x

limv

x

A，（BB

0）.

（4）设

P（x）为多项式

P（x）

axn

axn1

a，则

lim

P（x）

P（x）

01n

0

xx0

（5）设

P（x）,Q（x）均为多项式，且Q（x）

0，则

lim

P（x）

P（x0）

xx0

Q（x）

Q（x0）

三、等价无穷小

常用的等价无穷小量代换有：

当x

0时，

sinx~x，

tanx~x

，arctanx~x，

arcsinx~

x，ln（1

x）~

x，ex

1~x，1

cosx~

1x2。

2

对这些等价无穷小量的代换，应该更深一层地理解为：

当似。

四、两个重要极限

□0时，

sin□~□

，其余类

重要极限I

lim

sinx1。

x0x

它可以用下面更直观的结构式表示：

lim

sin□1

□0□

重要极限II

x

lim11e。

xx

其结构可以表示为：

□

lim11e

□□

八、洛必达（L’Hospital）法则

“0”型和“”型不定式，存在有

lim

f（x）

lim

f'（x）

'

A（或）。

0xa

g（x）

xag

（x）

一元函数微分学一、导数的定义

设函数y

f（x）在点

x0的某一邻域内有定义，当自变量x在

x0处取得增量x（点

x0x

仍在该邻域内）时，相应地函数y取得增量

yf（x0

x）f（x0）。

如果当

x0时，函数的增量y与自变量x的增量之比的极限

lim

y=lim

f（x0

x）f

（x0）

=

f（x

）注意两个符号x和

x在题目中可能换成其

00

x0xx0x

他的符号表示。

二、求导公式

1、基本初等函数的导数公式

1

（1）（C）0（C为常数）

（2）（x）

x

（为任意常数）

（3）（ax）

axlna（a

0,a1）

特殊情况

（ex）ex

（4）（log

ax）

1logex

1（xxlna

0,a

0,a

1），

（lnx）1x

（5）

a

（sinx）

（6）（cosx）

cosx

sinx

（7）

'

（tanx）

1

2

cosx

（8）（cotx）'

1

sin2x

（9）（arcsinx）'1

1x2

（1x1）

（10）（arccosx）'

（11）（arctanx）'

1（

1x2

1

1x1）

1x2

'1

（12）（arccotx）

1x2

2、导数的四则运算公式

（1）[u（x）

v（x）]

u（x）

v（x）

（2）[u（x）v（x）]

u（x）v（x）

u（x）v

（x）

（3）[ku]ku（k为常数）

（4）

u（x）

v（x）

u（x）v（x）

v2

u（x）v

（x）

（x）

3、复合函数求导公式：

设

y

f（u）,u

（x），且

f（u）及

（x）

都可导，则复合函数

yf[

（x）]的导数为dy

dx

dydu

dudx

f'（u）.

（x）。

三、导数的应用

1、函数的单调性

f'（x）

0则f

（x）

在（a,b）内严格单调增加。

f'（x）

0则f

（x）

在（a,b）内严格单调减少。

2、函数的极值

f'（x）

0的点——函数

f（x）的驻点。

设为x0

（1）若x

x0时，

f'（x）

0；x

x0时，

f'（x）

0，则

f（x0）为

f（x）的极大值点。

（2）若x

x0时，

f'（x）

0；x

x0时，

f'（x）

0，则

f（x0）为

f（x）的极小值点。

（3）如果

f'（x）在

x0的两侧的符号相同，那么

f（x0）不是极值点。

3、曲线的凹凸性

f''（x）

0，则曲线y

f（x）在（a,b）内是凹的。

f''（x）

0，则曲线y

f（x）在（a,b）内是凸的。

4、曲线的拐点

（1）当

f''（x）在

x0的左、右两侧异号时，点

（x0,

f（x0））

为曲线y

f（x）的拐点，此时

0

f''（x）0.

（2）当

f''（x）在

x0的左、右两侧同号时，点

（x0,

f（x0

））不为曲线y

f（x）的拐点。

5、函数的最大值与最小值

极值和端点的函数值中最大和最小的就是最大值和最小值。

四、微分公式

'

dyf（x）dx，求微分就是求导数。

一元函数积分学

一、不定积分

1、定义，不定积分是求导的逆运算，最后的结果是函数+C的表达形式。

公式可以用求导公式来记忆。

2、不定积分的性质

（1）[

f（x）dx]'

f（x）或d

f（x）dx

f（x）dx

（2）

F'（x）dx

F（x）

C或dF（x）

F（x）C

（3）

[f（x）

（x）

（x）]dx

f（x）dx

（x）

（x）dx。

（4）

kf（x）dx

kf（x）dx（k为常数且k

0）。

2、基本积分公式（要求熟练记忆）

（1）0dxC

（2）

xadx

1xa1

a1

C（a

1）.

（3）

1dxx

lnxC.

（4）

axdx

1ax

lna

C（a

0,a1）

（5）exdxexC

（6）sinxdxcosxC

（7）cosxdxsinxC

（8）（8）

1dxcos2x

1

tanxC.

（9）（9）

dxsin2x

cotxC.

（10）（10）

1dx1x2

1

arcsinxC.

（11）（11）

1

x2dx

arctanxC.

3、第一类换元积分法

对不定微分

g（x）dx，将被积表达式

g（x）dx凑成

g（x）dx

f[（x）]

'（x）dx

f（x）d

（x），这是关键的一步。

常用的凑微分的公式有：

（1）

f（ax

k

b）dx

1f（axa

k11

b）d（axb）

kk

（2）

f（ax

b）xdx

f（ax

ka

b）d（axb）

（3）

1

f（x）dx

x

11

2fxdx

11

（4）

f（）dxxx2

f（）d

xx

（5）

f（ex）

exdx

f（ex）d（ex）

（6）

f（lnx）

1dxx

f（ln

x）d（lnx）

（7）

f（sinx）

cosxdx

f（sin

x）d（sinx）

（8）

f（cosx）

sin

xdx

f（cosx）d（cosx）

（9）

f（tanx）

1dxcos2x

f（tanx）d（tanx）

（10）

f（cotx）

1

sin2xdx

f（cotx）d（cotx）

（11）

f（arcsinx）

1dx

1x2

f（arcsinx）d（arcsinx）

（12）（12）

f（arccosx）

1

dx

1x2

f（arccosx）d（arccosx）

（13）（13）

f（arctanx）

'（x）

1dx

2

1x

f（arctanx）d（arctanx）

（14）（14）

dx

（x）

d（ln（x））

（（x）0）

4、分部积分法

udvuvvdu

二、定积分公式

1、（牛顿—莱布尼茨公式）如果

F（x）是连续函数

f（x）在区间

[a,b]上的任意一个原函数，

b

则有f

a

（x）dx

F（b）

F（a）。

2、计算平面图形的面积

如果某平面图形是由两条连续曲线

yyf

（x）

y1g（x）,y2

f（x）

及两条直线x1

a和x2b所

围成的（其中

y1是下面的曲线，

y2是上面的曲线），则

yg（x）

其面积可由下式求出：

b

aobx

S[f

a

（x）

g（x）]dx.

3、计算旋转体的体积

设某立体是由连续曲线

yf（x）（

f（x）

0）和直线x

a,x

b（a

b）及x轴所围平

面图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体，如图所示。

则该旋转

体的体积V可由下式求出：

y

yf（x）

V

x

b

f2（x）dx

a

f2（x）dx.

b

a

oaxx+dxbx

多元函数微分学

1、偏导数，对某个变量求导，把其他变量看做常数。

2、全微分公式：

dz

df（x,y）

AxBy。

3、复合函数的偏导数——利用函数结构图

如果u

（x,

y）、v

（x,y）在点

（x,y）处存在连续的偏导数

u，u，

xy

v，v，

xy

且在对应于

（x,

y）的点

（u,v）处，函数z

f（u,v）存在连续的偏导数

z，z，则复合函数

uv

zf[

（x,y）,

（x,y）]在点

（x,y）处存在对x及y的连续偏导数，且

zzu

xux

zv，zvxy

zuzv。

uyvy

4、隐函数的导数

对于方程

F（x,y）

0所确定的隐函数y

f（x），可以由下列公式求出y对x的导数

y'：

x

'

F'（x,y）

y

yF'（x,y），

2、隐函数的偏导数

对于由方程

F（x,

y,z）

0所确定的隐函数z

f（x,y）

，可用下列公式求偏导数：

zF'（x,y,z）z

x，

z

xF'（x,y,z）y

F'（x,y,z）

y

z

F'（x,y,z），

5、二元函数的极值

设函数z

f（x0,y0）在点

（x0,y0）

的某邻域内有一阶和二阶连续偏导数，且

f'（x

y）

0，f

'（x,y）

0又设

f''（x,y）

A，f

''（x

y）

B，f

''（x,y）C，

x00

y00

xx00

xy00

yy00

则：

（1）当

B2AC

0时，函数

f（x,

y）在点

（x0,

y0）

处取得极值，且当A0

时有极大值，当A0时有极小值。

（2）当

B2AC

0时，函数

f（x,

y）在点

（x0,

y0）

处无极值。

（3）当

B2AC

0时，函数

f（x,

y）在点

（x0,

y0）

处是否有极值不能确定，要用其它方

法另作讨论。

平面与直线

1、平面方程

（1）平面的点法式方程：

在空间直角坐标系中，过点

M0（x0,

y0,z0），以n

{A,B,C}为

法向量的平面方程为

A（x

x0）

B（y

y0）

C（z

z0）

0称之为平面的点法式方程

（2）平面的一般式方程

AxByCzD0称之为平面的一般式方程

2、特殊的平面方程

Ax

By

Cz

0

表示过原点的平面方程

Ax

Ax

By

By

D

0

0

表示平行于Oz轴的平面方程

表示过Oz轴的平面方程

Cz

D

0

表示平行于坐标平面xOy的平面方程

3、两个平面间的关系

设有平面

1:

A1x

B1y

C1zD10

2:

A2x

B2y

C2zD20

平面1和2互相垂直的充分必要条件是：

A1A2

B1B2

C1C20

A1

B1

C1

D1

A2

B2

C2

D2

A1

B1

C1

D1

A2

B2

C2

D2

平面1和2平行的充分必要条件是：

平面1和

2重合的充分必要条件是：

4、直线的方程

（1）直线的标准式方程过点

M0（x0,y0,z0）

且平行于向量s

{m,n,p}

的直线方程

xx0m

y

y0

n

zz0p

称之为直线的标准式方程（又称点向式方程、对称式方程）。

常称s

{m,n,p}

为所给直线的方向向量

（2）直线的一般式方程

称上式为

f（x）在点

x0的泰勒级数。

或称上式为将

f（x）展开为x

x0的幂级数。

2、几个常用的标准展开式

①1

1xn

②1

1xn

xn

0

（1）nxn

0

xxn

③e

n0n!

④sinx

n

（1）

x2n1

n0（2n1）!

⑤cosx

（1）n

n0

x2n

（2n）!

⑥ln（1x）

（1）nx

n

n0n

⑦ln（1x）

xn

n0n

常微分方程

1、一阶微分方程

（1）可分离变量的微分方程

若一阶微分方程

F（x,y,y）

0通过变形后可写成

g（y）dy

f（x）dx或y

f（x）g（y）

则称方程

F（x,

y,y）

0为可分离变量的微分方程.

2、、可分离变量微分方程的解

方程g（y）dy

f（x）dx必存在隐式通解

G（y）

F（x）

C。

其中：

G（y）

g（y）dy,F（x）

f（x）dx.

即两边取积分。

（2）一阶线性微分方程

1、定义：

方程

yP（x）y

Q（x）

称为一阶线性微分方程.

（1）

非齐次方程——

Q（x）0；

dy

（y,C1）

xC2.

例4：

求方程yy

y20的通解.

分析：

（1）令p

y,并视p为y的函数,那么y

dpdpdy

dxdydx

pdp,

dy

（2）代入原方程,得

ypdpp20或dpdydypy

（3）解上方程,得

ln|p|

ln|y|

lnC

pC1y,（C1

C）.

（4）再解方程y

C1y

yCln|y|

1

y

C1x

C2.

（5）于是原方程的通解为y

（2）常系数线性微分方程

（1）、二阶常系数齐次线性方程

Cx

1

C2e,（C2

ypy

eC2）

qy0的解。

写出特征方程并求解

2

r2

prq0.

下面记

p

4q,r1

r2

为特征方程的两个根.

（1）

p24q

0时,则齐次方程通解为：

yC1

er1x

Cer2x。

1

2

（2）

p24q

0时,则齐次方程通解为

yC1

er1x

Cxer1x

er1x（C

C2x）.

2

（3）

p24q

0时,有r1

i,r2

i（0）

则齐次方程通解为

1

yex（C

cosx

C2sin

x）.

（2）二阶常系数非齐次方程解法

方程的形式：

y

pyqy

f（x）

解法步骤：

（1）写出方程的特征方程

r2pr

q

0；

（2）求出特征方程的两个根

r1,r2；

（3）原方程的通解如下表所示:

特征方程的根方程的通解

r1r2

Cer1x

Cer2x

r

1

2

r1r2

（C1

Cx）erx

1

2

riex（C

cosx

C2sinx）（0）

（4）再求出非齐次方程的一个特解

y*（x）；

（5）