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产销问题
2010-2011-2
数学模型与数学实验课程论文
产销问题
组号:
第三组
组员信息(姓名、学号):
产销问题数学模型分析
摘要
本文主要针对某企业中各方面因素对利润和成本的影响进行了综合分析。
在生产过程中,产品的成本主要由原材料成本、库存成本、外包费用以及员工工资等几方面组成。
又因为当当月的需求不能得到满足,而顾客又愿意等待该需求在后续的某个月内得到满足时,公司需对产品进行打折,所以在计算成本时还得考虑缺货损失;同时为了公司的长期发展的需要,需对员工进行裁减、新聘、培训等,因此在计算总成本时还得考虑以上这些费用。
在问题一中,根据成本的类型,可以分为两类,即工资成本与材料成本。
又由题意和假设条件可知当价格不变时,产品的需求量基本是一个定值,所以成本最低时,利润最大。
本文针对这个问题,建立了关于企业产品产销问题的优化模型[1],解决了该企业最优产销方案的问题,故此题在第一问求解时通过求其成本的最小值问题来进行。
在此题中涉及到多元函数的条件极值问题,其目标函数是总成本(Q)的最小值,其约束条件由各个方面的成本因素组成,其中用到了数学规划来解决此类问题,结合以上分析,可以运用Lingo软件进行求解,得出最优解,得到最大利润(π=总收入L-最小成本Q)为1282464元。
促销[2]是企业为扩大销售而进行的商业活动,但是不合理的安排促销活动或者未做好促销成本利润的估计,就很容易导致公司在促销活动中亏损。
在问题二中,就在淡季的七月和在旺季的十月促销产品这两种方案进行了成本和利润的分析。
在解决这个问题时,我们依然选用问题一的方法,即运用求多元函数的极值的方法来求出这两种方案下的最小成本和最大利润。
由Lingo运行结果可知,若在淡季的七月促销产品,则在半年内的总最小成本为996290元,最大利润为1251170元,总收入为;若在旺季的十月促销产品,在该半年内的总最小成本为995999.5元,利润为1245280.5元。
由第一问可知,在无促销的计划期内的总的最小成本是996536元,总的最大利润为1282464元。
所以,将不促销方案、淡季促销、旺季促销这三组数据进行对比,可得出以下结论:
降价促销会引起总收入减少,但促销引起销售量的增加会使需求的变化变得平稳从而使总成本下降,一般在淡季促销总成本下降得更快。
综上可知,在这三种方案中,在这半年时间内不促销为最佳方案。
基于以上的问题都主要考虑的是生产产品的问题,而对客户需求和市场动态没有加以考虑研究,因此本文建议可再通过对客户需求以及市场波动进行数据调查和处理,也可建立一个价格策略[3]模型与本模型结合起来,将得到更加精确的产销模型。
关键词:
成本最小;数学规划;Lingo软件;优化模型
1.问题的提出与分析
1.1问题提出
随着市场经济的激烈竞争现状,经济学中理性人追求最大利益的本质愈加显现。
在市场经济竞争下,实际上售价是很难在很大程度上起伏的。
因为要考虑竞争道德、法律法规等因素,不能投机倒把,不正当竞争。
所以在这样的现实情况下,企业要追求最大利润,必须要尽可能减少成本上的支出。
某企业生产一种手工产品,在现有的营销策略下,根据往年经验,现对下半年6个月的产品需求预测如表1所示。
表1.产品需求预测估计值(件)
月份
7月
8月
9月
10月
11月
12月
预计需求量
1200
1400
1550
1500
1600
1500
7月初工人数为12人,工人每月工作21天,每天工作8小时,按规定,工人每个月加班时间不得超过10个小时。
7月初的库存量为400台。
产品的销售价格为260元/件。
该产品的销售特点是,如果当月的需求不能得到满足,顾客愿意等待该需求在后续的某个月内得到满足,但公司需要对产品的价格进行打折,可以用缺货损失来表示。
12月末的库存为0(不允许缺货)。
各种成本费用如表2所示。
表2.产品各项成本费用
原材料成本
库存成本
缺货损失
外包成本
培训费用
100元/件
10元/件/月
20元/件/月
200元/件
50元/人
解聘费用
产品加工时间
工人正常工资
工人加班工资
100元/人
1.6小时/件
12元/小时/人
18元/小时/人
1、若你是公司决策人员,请建立数学模型并制定出一个成本最低、利润最大的最优产销方案;
2、公司销售部门预测:
在计划期内的某个月进行降价促销,当产品价格下降为240元/件时,则接下来的两个月中6%的需求会提前到促销月发生。
试就7月份(淡季)促销和10月份(旺季)促销两种方案以及不促销最优方案
(1)进行对比分析,进而选取最优的产销规划方案。
1.2问题分析
根据本题的条件,本题的两个问题虽然总收益不同,但都是定值,所以求此问题模型最大利润即转化为求最小成本。
我们要找出函数成本的组成才能求出最小成本。
生产成本由工资成本和材料成本组成,具体如下:
由成本的组成可以看出成本函数是线性的。
我们再看约束条件有招聘工人的约束,解聘工人的约束,参加工作工人人数约束,库存量约束,缺货约束,工人加班时间约束,生产能力约束等。
写出成本函数,列出约束条件,可以用Lingo软件求的最优解。
由问题一的思想可以求得问题二的最优解。
2.基本假设
1)假设实际生产量与预及生产需求量相差不大。
2)当月解聘的员工当月末离职,当月招聘的员工下月初上岗。
3)假设员工在工作期间没有请假。
4)厂商有足够的流动资金。
5)厂商有足够存储空间。
6)题目中各已知条件不发生变动。
3.符号说明
L:
六个月的总收入
π:
六个月的总利润
Pi:
第i个月末预计产品需求量,i=1,2…6
Q:
六个月的总成本
ri:
第i个月参加工作的员工数(r0=12),i=1,2…6
zi:
第i个月招聘的员工数,i=1,2…6
mi:
第i个月解聘的员工数,i=1,2…6
ci:
第i个月末的库存量,i=1,2…6
ki:
第i个月末的缺货量,i=1,2…6
xi:
第i个月产品数量(不含外包产品),i=1,2…6
yi:
第个i月的外包产品数量,i=1,2…6
si:
第i个月员工的加工总时间(小时),i=1,2…6;
4.模型的建立与求解
4.1模型的建立
通过对成本组成因素的分析,可以得出成本的组成结构如下:
因为12月末的库存为0(不允许缺货),所以公司的产品已经全部卖出。
因此根据题目已知条件可知,不促销时总收入L=260*(1200+1400+1550+1500+1600+1500),即L=227500定值。
所以当成本Q最小时,公司获得的总利润最大。
因此根据各个变量条件得出总成本的等式和约束条件为:
4.2模型的求解
4.2.1问题一的模型求解结果
经过以上的全面分析、假设及Lingo程序的运行结果,为了使模型更加的切合实际因此在模型求解过程中有些变量只能取整数,所以通过Lingo软件对程序中的一些变量取整,运行程序后得到公司总生产的相关生产计划表如下:
表1.公司生产计划表
时期
n
工人人数(ri)
缺货
(ki)
库存
(ci)
解雇工人数(mi)
招聘工
人数
(zi)
外包(yi)
加班
时间
(si)
生产
数量
(xi)
0
12
0
400
0
0
0
0
0
1
8
0
35
4
0
0
0
835
2
13
0
0
0
5
0
0
1365
3
15
0
0
0
2
0
0
1550
4
14
0
55
1
0
0
140
1555
5
15
0
30
0
1
0
0
1575
6
14
0
0
1
0
0
16
1470
Q
996536
π
1282464
由题得已知及假设可知,当产品销售价格为260元/件时,则计划时间内的销售总收入L=2275000(元),由表可知其最大利润为π=1282464(元),最小成本Q=996536(元),因此,若我是公司决策人,要使公司成本最小而获得的利润最大,那么我的计划如下:
因为只有这样才能使公司的成本最低利润最大。
4.2.2问题二的模型求解结果
利用问题一种给出的成本最小规划模型,根据题中已知的“当产品价格下降为240元/件时,则接下来的两个月中6%的需求会提前到促销月发生”将相关的变量参数值代入模型求解可得七月份促销产品和十月份促销产品相关数据分别如下表2、表3:
表2:
七月份(淡季)促销生产计划表
时期
n
工人
人数
(ri)
缺货
(ki)
库存
(ci)
解雇工人数(mi)
招聘工
人数
(zi)
外包(yi)
加班
时间
(si)
生产
数量
(xi)
0
12
0
400
0
0
0
0
0
1
9
0
0
3
0
0
51.2
977
2
12
13
0
0
3
0
68.8
1303
3
14
0
0
0
2
0
0
1470
4
14
0
55
0
0
0
140
1555
5
15
0
30
0
1
0
0
1575
6
14
0
0
1
0
0
0
1470
Q
996290
π
1251170
表3:
十月份(旺季)促销生产计划表
时期
n
工人
人数
(ri)
缺货
(ki)
库存
(ci)
解雇工
人数(mi)
招聘工
人数
(zi)
外包(yi)
加班
时间
(si)
生产
数量
(xi)
0
12
0
400
0
0
0
0
0
1
8
0
35
4
0
0
0
835
2
13
0
0
0
5
0
0
1365
3
15
0
25
0
2
0
0
1575
4
15
0
7.75
0
0
0
150
1668.75
5
14
0
0
1
0
0
42
1496.25
6
13
0
0
1
0
0
72
1410
Q
995999.5
π
1245280.5
由表2可知七月份促销结果如下:
总成本Q=996290(元)、总收入L=260*(1316+1457+1500+1600+1500)+240*1377=2247460、利润π=1251170。
由表3可知十月份促销结果如下:
总成本Q=995999.5(元)、总收入L=1686*240+260*(1200+1400+1550+1504+1410)=2241280(元)、利润π=1245280.5。
因此通过比较这三种方案模型结果的数据比较可知,不促销方案为最优销售规划方案。
5.模型分析
由问题二的分析结果可知,(十月份促销)π=1245280.5元﹤(七月份促销)π=1251170元﹤(不降价促销)π=1282464元。
由上述的结果我们是否能预测月份越小越提早降价促销,而获得的利润越大呢?
有数学的归纳法以及概率的相关知识可知,这个答案是不确定的。
但是我们可以做出这样的假设:
越早降价促销所得利润越大。
假设第i个月将产品价格由260元将为240元(i=1、2、3、4),根据题意可知后两个月就有6%的需求量提前到促销月发生。
首先,我们计算八月份降价促销,所得到的成本和利润:
成本Q=996581元,销售收入L=2243340(元),利润π=1246759元
其次,我们计算在九月份降价促销,所得的成本和利润:
成本Q=996573元,销售收入L=2240280(元),利润π=1243707元
最后,我们得出结论:
利润比较:
(九月份促销)1243707元﹤(十月份促销)1245280.5元﹤(八月份促销)1246759元﹤(七月份促销)1251170元﹤(不促销)1282464
由此可知假设并不成立,因为上述模型是在一些假设条件中求解的,在实际生产过程中有许多的客观条件是不能预测的,如市场的波动等等,所以仅凭以上变量参数不能预测出上述假设结果。
参考文献:
[1]姜启源,谢金星,叶俊.数学模型[M].北京:
高等教育出版社,2009.
[2]XX百科,促销.
[3]XX百科,价格策略.
附录:
1.问题一的模型Lingo程序
min=2016*(r1+r2+r3+r4+r5+r6)+20*(k1+k2+k3+k4+k5+k6)+10*(c1+c2+c3+c4+c5+c6)+100*(m1+m2+m3+m4+m5+m6)+50*(z1+z2+z3+z4+z5+z6)+200*(y1+y2+y3+y4+y5+y6)+18*(s1+s2+s3+4+s5+s6)+100*(x1+x2+x3+x4+x5+x6);
@gin(r1);@gin(r2);@gin(r3);@gin(r4);@gin(r5);@gin(r6);@gin(m1);@gin(m2);@gin(m3);
@gin(m4);@gin(m5);@gin(m6);@gin(z1);@gin(z2);@gin(z3);@gin(z4);@gin(z5);@gin(z6);
r1-z1+m1=12;
r2-r1-z2+m2=0;
r3-r2-z3+m3=0;
r4-r3-z4+m4=0;
r5-r4-z5+m5=0;
r6-r5-z6+m6=0;
x1+x2+x3+x4+x5+x6+y1+y2+y3+y4+y5+y6-P1-P2-P3-P4-P5-P6=-400;
10*r1-s1>=0;
10*r2-s2>=0;
10*r3-s3>=0;
10*r4-s4>=0;
10*r5-s5>=0;
10*r6-s6>=0;
s1+21*8*r1-1.6*x1>=0;
s2+21*8*r2-1.6*x2>=0;
s3+21*8*r3-1.6*x3>=0;
s4+21*8*r4-1.6*x4>=0;
s5+21*8*r5-1.6*x5>=0;
s6+21*8*r6-1.6*x6>=0;
x1+y1-c1+k1-P1=-400;
x2+y2+c1-k1-c2+k2-P2=0;
x3+y3+c2-k2-c3+k3-P3=0;
x4+y4+c3-k3-c4+k4-P4=0;
x5+y5+c4-k4-c5+k5-P5=0;
x6+y6+c5-k5-c6+k6-P6=0;
P1=1200;
P2=1400;
P3=1550;
P4=1500;
P5=1600;
P6=1500;
End
2.问题二模型的Lingo程序
2.1七月份促销方案的Lingo程序
min=2016*(r1+r2+r3+r4+r5+r6)+20*(k1+k2+k3+k4+k5+k6)+10*(c1+c2+c3+c4+c5+c6)+100*(m1+m2+m3+m4+m5+m6)+50*(z1+z2+z3+z4+z5+z6)+200*(y1+y2+y3+y4+y5+y6)+18*(s1+s2+s3+4+s5+s6)+100*(x1+x2+x3+x4+x5+x6);
@gin(r1);@gin(r2);@gin(r3);@gin(r4);@gin(r5);@gin(r6);@gin(m1);@gin(m2);@gin(m3);
@gin(m4);@gin(m5);@gin(m6);@gin(z1);@gin(z2);@gin(z3);@gin(z4);@gin(z5);@gin(z6);
r1-z1+m1=12;
r2-r1-z2+m2=0;
r3-r2-z3+m3=0;
r4-r3-z4+m4=0;
r5-r4-z5+m5=0;
r6-r5-z6+m6=0;
x1+x2+x3+x4+x5+x6+y1+y2+y3+y4+y5+y6-P1-P2-P3-P4-P5-P6=-400;
10*r1-s1>=0;
10*r2-s2>=0;
10*r3-s3>=0;
10*r4-s4>=0;
10*r5-s5>=0;
10*r6-s6>=0;
s1+21*8*r1-1.6*x1>=0;
s2+21*8*r2-1.6*x2>=0;
s3+21*8*r3-1.6*x3>=0;
s4+21*8*r4-1.6*x4>=0;
s5+21*8*r5-1.6*x5>=0;
s6+21*8*r6-1.6*x6>=0;
x1+y1-c1+k1-P1=-400;
x2+y2+c1-k1-c2+k2-P2=0;
x3+y3+c2-k2-c3+k3-P3=0;
x4+y4+c3-k3-c4+k4-P4=0;
x5+y5+c4-k4-c5+k5-P5=0;
x6+y6+c5-k5-c6+k6-P6=0;
P1=1377;
P2=1316;
P3=1457;
P4=1500;
P5=1600;
P6=1500;
End
2.2十月份促销方案Lingo程序
min=2016*(r1+r2+r3+r4+r5+r6)+20*(k1+k2+k3+k4+k5+k6)+10*(c1+c2+c3+c4+c5+c6)+100*(m1+m2+m3+m4+m5+m6)+50*(z1+z2+z3+z4+z5+z6)+200*(y1+y2+y3+y4+y5+y6)+18*(s1+s2+s3+4+s5+s6)+100*(x1+x2+x3+x4+x5+x6);
@gin(r1);@gin(r2);@gin(r3);@gin(r4);@gin(r5);@gin(r6);@gin(m1);@gin(m2);@gin(m3);
@gin(m4);@gin(m5);@gin(m6);@gin(z1);@gin(z2);@gin(z3);@gin(z4);@gin(z5);@gin(z6);
r1-z1+m1=12;
r2-r1-z2+m2=0;
r3-r2-z3+m3=0;
r4-r3-z4+m4=0;
r5-r4-z5+m5=0;
r6-r5-z6+m6=0;
x1+x2+x3+x4+x5+x6+y1+y2+y3+y4+y5+y6-P1-P2-P3-P4-P5-P6=-400;
10*r1-s1>=0;
10*r2-s2>=0;
10*r3-s3>=0;
10*r4-s4>=0;
10*r5-s5>=0;
10*r6-s6>=0;
s1+21*8*r1-1.6*x1>=0;
s2+21*8*r2-1.6*x2>=0;
s3+21*8*r3-1.6*x3>=0;
s4+21*8*r4-1.6*x4>=0;
s5+21*8*r5-1.6*x5>=0;
s6+21*8*r6-1.6*x6>=0;
x1+y1-c1+k1-P1=-400;
x2+y2+c1-k1-c2+k2-P2=0;
x3+y3+c2-k2-c3+k3-P3=0;
x4+y4+c3-k3-c4+k4-P4=0;
x5+y5+c4-k4-c5+k5-P5=0;
x6+y6+c5-k5-c6+k6-P6=0;
P1=1200;
P2=1400;
P3=1550;
P4=1686;
P5=1504;
P6=1410;
End
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