线性代数二次型(课件).ppt
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- 上传时间:2023-08-16
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线性代数二次型(课件).ppt
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1,二次型,第五章,2,本章讨论把一个n元二次齐次多项式化为仅含有完全平方项的和的形式,并研究有关的性质。
3,第一节基本概念,定义,一、二次型及其矩阵,称为一个(n元)二次型.,本书只讨论实二次型,即系数全是实数的二次型。
4,于是上述二次型可以写成如下求和形式,5,6,记,则上述二次型可以用矩阵形式表示为,A称为二次型的矩阵。
7,A的秩称为该二次型的秩。
A称为二次型的矩阵。
A是一个实对称矩阵。
事实上,由一个实对称矩阵也可构造唯一的实二次型,也就是说,实二次型与实对称矩阵是互相唯一确定的,所以,研究二次型的性质可以转化为研究A所具有的性质。
8,例1,设二次型,求二次型的矩阵A和二次型的秩。
解,所以r(A)=3,即二次型的秩等于3。
9,例2,求二次型,的矩阵A和二次型的秩,,解,所以二次型f的矩阵为,10,二、线性变换,在平面解析几何中,为了确定二次方程,所表示的曲线的性态,通常利用转轴公式:
11,定义,关系式,记,则上述线性变换可以写成矩阵形式:
12,C称为该线性变换的矩阵。
如果C为正交矩阵,则此线性变换称为正交变换。
容易验证,转轴公式,是一个正交变换。
13,三、矩阵的合同关系,由于C是可逆矩阵,所以A和B秩相等,从而两个二次型的秩相等。
14,定义,与矩阵的相似关系类似,矩阵之间的合同关系也具有以下性质。
(1)反身性:
(2)对称性:
(3)传递性:
证明,只证(3),其余留作练习。
15,练习:
P222习题五,16,END,END,
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- 线性代数 二次 课件