测试技术课后题答案1信号描述.docx
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测试技术课后题答案1信号描述
习题1
1.1求题图1-2双边指数函数的傅里叶变换,双边指数函数的波形如图所示,其数
学表达式为x(t)
at
t0
e
x(t)(a
at
t0
e
0)
0t
0
题图1-2双边指数函数
解:
x(t)是一个非周期信号,它的傅里叶变换即为其频谱密度函数,按定义式求解:
0
j2ftatj2ftatj2πft
ππ
X(f)x(t)edteedteedt
0
0
(a
e
j2πf)t(aj2πf)t
dte
dt0
112a
22
aj2faj2fa(2πf)
ππ
1.2求题图1-1周期三角波的傅里叶级数(三角函数形式和复指数形式),并画出频谱
图。
周期三角波的数学表达式为
2AT
Att0
x(t)
A
T
2
A
t
0
2
T
t
T2
x(t)
A
T
2
0
T
2
t
题图1.2周期性三角波
解:
将x(t)展开成三角函数形式的傅里叶级数,求其频谱。
计算傅里叶系数:
∵x(t)是偶函数
∴0
b
n
1
a
0
1/2
T
T
T/2
x
(
t
)
d
t
1
T
TA
2
A
2
2
T
T/
T
2
/
2
x(t)cosn
tdt
0
4
T
T/
0
2
2
A
(At)
T
cos
n
t
0
d
t
4
T
T
0
/
2
(
2
A
T
at)cosntdt
n0
8A
T/2
T
2
0
tcosn
td
0
t
tcosnt
0
1
1sinn
n
0
t
0
0
n
1
2
2
0
cos
n
t
0
于是,有
a
8At1T
nnt
(sinntcos)
000
222
Tnn
00
/2
4
A
2
π
n
0
2
n
n
1,3,5...
2,4,6...
由此得x(t)的三角函数形式傅里叶级数展开上展开式为
x(t)
A
2
4
A
2
π
n1,3,
1
2
n
cos
n
0
t
若取()nsin(nt)
xtaA
00n
n1
n次谐波分量的幅值
A
n
a
2
n
b
2
n
n
4
2
A
2
π
n次谐波分量的相位
n
arctan
a
n
b
n
π
2
画出x(t)的频谱如题图1.2(b)所示。
将x(t)展开成复数形式的傅里叶级数,求其频谱。
计算傅里叶系数
c
0
1
T
T
T
2
2
x(t)dt
A
2
1
T
1
T
2
jn
t
2
0
cx(t)edtx(t)(cosn
n
T
T
T
T
2
2
tjsin
0
nt)d
0
t
T1
2
x(t)cosntdt
0T
T
2
2
A
n
2
π
0
2
n
n
1,
2,
3,
4,
5
6
...
...
2
A
n
4
A
2
4
9
A
2
4
25
A
2
4A4
2
81
49
A
2
0
030507090
n
π/2π/2π/2π/2π/2
0
030507090
题图1.2(b)
由此得x(t)的复指数形式傅里叶级数展开上展开式为
x(t)
A
2
2
A
2
π
n1,3,5,...
1
n
2
e
jn
t
0
n次谐波分量的幅值
cc
nn
2
2
n
A
2
π
n次谐波分量的相位
arctan
a
b
n
n
π
n
0
n
arctan
b
n
πn0a
n
画出x(t)的频谱如题图1.2(c)所示。
1-3求正弦信号x(t)Asin(at)的绝对均值x,均方根值()
xrmst及概率密度函
数p(x)。
解
1
T
T
T
/
2
/2
x(t)dt
1
T
T
T
/
/
2
2
Asin(at)dt
x
2
A
T
T
0
/2
sinatdt
A
cos
π
at
T
0
/2
2A
π
3
22
21A1cos2atA
TT
22
Asinatdtdtx
00
TT22
2
x(t)x
rms
2
2
A
A
n
2A
2
2A2A2A2
A
2222
92549
81
9070503000
030507090
n
030507090
9070503000
-----
题图1.2(c)
x(t)Asinat
取
有dxAacosatdt
2dt211
p(x)
TdxTAacosat
2
πA1sinat
1
22
Axπ
1.3求被矩形窗函数截断的余弦函数cost(题图1.4)的频谱,并作频谱图。
0
cos
tt
0
T
x(t)
0tT
解
T
T
cos
T
jt
0tedt2costcostd
0
0
X()t
T
[cos()tcos()t]dt
00
0
sin[(0)T]sin[()T]
0
00
Tsinc[(
0)T]Tsinc[()T
0
]
4
题图1.4
或者,
T
jt
X()costedt
0
T
1
2
T
T
(e
j(0)t0)t)d
j(
e
t
Tsinc[(
0)T]Tsinc[()T
0
]
t
1.4单边指数函数x(t)Ae(0,t0)
与余弦振荡信号ytt
()cos的乘积
0
为z(t)=x(t)y(t),在信号调制中,x(t)叫调制信号,y(t)叫载波,z(t)便是调幅信号。
若把
z(t)再与y(t)相乘得解调信号w(t)=x(t)y(t)z(t)。
求调幅信号z(t)的傅里叶变换并画出调幅信号及其频谱。
求解调信号w(t)的傅里叶变换并画出解调信号及其频谱。
解:
at的傅里叶变换及频谱首先求单边指数函数x(t)Ae(a0,t0)
X
j2π
ft2t
atjπf
(f)x(t)edtAeedt
0
Ae
0
A
()t
afe
j2π
dt
aj2f
π
(aj2πf)t
0
a
Aaj2f
π
A
2
j2πfa(2f)
π
2
X(f)
a
2
A
(2
2
πf)
余弦振荡信号y(t)cos2ft的频谱
π
0
Y(f)
1
2
[
(
f
f
0(ff
)
0
)]
利用δ函数的卷积特性,可求出调幅信号z(t)x(t)y(t)的频谱
Z(f)X(f)Y(f)X(f)
1
2
[
(
f
f
0)(ff
0
)]
5
A11
(
22ffaff2
22
a[π
2()]2π)]
[(
00
)
x(t)X(f)
AA/a
0t0f
aa’
x(t)Y(f)
00tf
00f
0f
bb’
z(t)Z(f)
A
A
2a
0tf
00f0f
cc’
题图1.5a调幅信号及其频谱
求解调信号w(t)的傅里叶变换并画出解调信号及其频谱。
利用δ数的卷积特性,求出调幅信号w(t)x(t)y(t)y(t)的频谱,见题图1,5b。
W(f)Z(f)Y(f)Z(f)
1
2
[
(
f
f
)
(
f
f
00
)]
A
4
(
2
a[2
1
π
(
2
2
f2f)]a[2
0
1
π(
f
2
f
0
)]
2
a
2
2
(
2
π
f
)
2
)
W(f)
A
2a
2
ff
0
00f02f0f
题图1.5b解调信号频谱
6
若f
0足够大,从解调信号频谱图中区间(-f0,f
0)的图像可恢复原信号的波形,图
略。
1-5求三角窗函数的频谱,并作频谱图。
题图1-5
解:
2AT
At,t0
x(t)
A
T
2A
t
0
2
Tt
T2
jt
X()x(t)edtx(t)(costjsint)dt
T
0
/2
(A
2A
T
t
)
cos
td
t
4
A
T
T/
0
2
2tcostdt
tcost
1
1sint
0
1
2
cos
t
于是,有
X()
4
T
A
2
(
t1
sint
2
cos
t
)
T
0
/2
T
4
2
A
2
(cos
T
2
1)
AT
2
T
2
sin()
4
T
2
(
)
4
AT
2
2
sinc(
T
4
)
AT2fT
π
或X(f)sinc()
22
1-7求用单位脉冲序列g(t)对单边指数衰减函数y(t)采样(题图1-7)的频谱,并作频谱图。
7
x(t)
1
0t
T02T03T04T0
题图1.7
g(t)(tnT)
0
n
0a0,t0y(t)
at
e
a0,t0
解:
G(f)
1n
(f
T0nT
0
)
1Y(f)
22
(2πf)a
Y(f)Y(f)G(f)
S
11
T
2
04π(fn/T)
n
0
22
a
8
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