函数的奇偶性及周期性教学讲义.docx
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函数的奇偶性及周期性教学讲义
函数的奇偶性及周期性教学讲义
‖知识梳理‖
1.函数的奇偶性
奇偶性
条件
图象特点
偶函数
对于函数f(x)的定义域D内任意一个x,都有f(-x)=f(x)
关于y轴对称
奇函数
对于函数f(x)的定义域D内任意一个x,都有f(-x)=-f(x)
关于原点对称
2.周期性
(1)周期函数:
对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期:
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期.
|微点提醒|
1.函数奇偶性的四个重要结论
(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0.
(2)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).
(3)奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性.
(4)在公共定义域内有:
奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.
2.周期性的三个常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x:
(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a.
(2)若f(x+a)=
,则T=2a.
(3)若f(x+a)=-
,则T=2a.(a>0).
3.对称性的三个常用结论
(1)若函数y=f(x+a)是偶函数,即f(a-x)=f(a+x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.
(2)若对于R上的任意x都有f(2a-x)=f(x)或f(-x)=f(2a+x),则y=f(x)的图象关于直线x=a对称.
(3)若函数y=f(x+b)是奇函数,即f(-x+b)+f(x+b)=0,则函数y=f(x)关于点(b,0)中心对称.
‖易错辨析‖
判断下列结论是否正确(请在括号中打”√”或“×”)
(1)函数y=x2,x∈(0,+∞)是偶函数.(×)
(2)偶函数图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点.(×)
(3)如果函数f(x),g(x)为定义域相同的偶函数,则F(x)=f(x)+g(x)是偶函数.(√)
(4)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)关于直线x=a对称.(√)
(5)若T是函数的一个周期,则nT(n∈Z,n≠0)也是函数的周期.(√)
‖自主测评‖
1.下列函数中为偶函数的是( )
A.y=x2sinxB.y=x2cosx
C.y=|lnx|D.y=2-x
解析:
选B 根据偶函数的定义知偶函数满足f(-x)=f(x)且定义域关于原点对称,A选项为奇函数,B选项为偶函数;C选项定义域为(0,+∞),不具有奇偶性,D选项既不是奇函数,也不是偶函数.
2.(教材改编题)已知函数f(x)是奇函数,在(0,+∞)上是减函数,且在区间[a,b](a
A.有最大值4B.有最小值-4
C.有最大值-3D.有最小值-3
解析:
选B 解法一:
根据题意作出y=f(x)的简图,由图知选B.
解法二:
当x∈[-b,-a]时,-x∈[a,b],
由题意得f(b)≤f(-x)≤f(a),即-3≤-f(x)≤4,
所以-4≤f(x)≤3,即在区间[-b,-a]上f(x)min=-4,f(x)max=3,故选B.
3.(教材改编题)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x(1+x),则x<0时,f(x)=________.
解析:
当x<0时,则-x>0,所以f(-x)=(-x)(1-x).又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x)=(-x)(1-x),所以f(x)=x(1-x).
答案:
x(1-x)
4.若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0 +f (2)=________. 解析: 因为函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,所以f(0)=0,f(x+2)=f(x),所以f +f (2)=f +f(0)=f +0=-f =-4 =-2. 答案: -2 ………………考点一 函数的奇偶性………………|多维探究型|…………… |多角探明| 角度一 奇偶性的判断 【例1】 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=(x+1) ; (2)(一题多解)f(x)= (3)f(x)= ; (4)f(x)=loga(x+ )(a>0且a≠1). [解] (1)定义域要求 ≥0,所以-1 所以f(x)的定义域不关于原点对称, 所以f(x)不具有奇偶性. (2)解法一(定义法): 当x>0时,f(x)=-x2+2x+1,-x<0, f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-f(x); 当x<0时,f(x)=x2+2x-1,-x>0, f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-f(x). 所以f(x)为奇函数. 解法二(图象法): 作出函数f(x)的图象,由图象关于原点对称的特征知函数f(x)为奇函数. (3)因为 所以-2≤x≤2且x≠0, 所以定义域关于原点对称. 又f(-x)= =- , 所以f(-x)=-f(x). 故函数f(x)为奇函数. (4)因为函数的定义域为R, 又因为f(-x)+f(x) =loga[-x+ ]+loga(x+ ) =loga( -x)+loga( +x) =loga[( -x)( +x)] =loga(x2+1-x2)=loga1=0. 即f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数. 角度二 函数奇偶性的应用 【例2】 (1)(2018届广州调研)已知函数f(x)= +a为奇函数,则实数a=________. (2)(2018届湖南永州质检)已知函数f(x)=x3+sinx+1(x∈R),若f(a)=2,则f(-a)=________. [解析] (1)易知f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即 +a=- -a,所以2a=- - =- - =-1,所以a=- . (2)设F(x)=f(x)-1=x3+sinx,显然F(x)为奇函数.又F(a)=f(a)-1=1,所以F(-a)=f(-a)-1=-1,从而f(-a)=0. [答案] (1)- (2)0 『名师点津』………………………………………………|品名师指点迷津| 1.求函数解析式 先将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求出,或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组),从而得到f(x)的解析式. 2.求函数的值 利用奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解. 3.求解析式中的参数值 在定义域关于原点对称的前提下,利用f(x)为奇函数⇔f(-x)=-f(x),f(x)为偶函数⇔f(x)=f(-x),列式求解,也可利用特殊值法求解.对于在x=0处有定义的奇函数f(x),可考虑列等式f(0)=0求解. |变式训练| 1.设f(x)=ex+e-x,g(x)=ex-e-x,f(x),g(x)的定义域均为R,下列结论错误的是( ) A.|g(x)|是偶函数B.f(x)g(x)是奇函数 C.f(x)|g(x)|是偶函数D.f(x)+g(x)是奇函数 解析: 选D f(-x)=e-x+ex=f(x),f(x)为偶函数. g(-x)=e-x-ex=-g(x),g(x)为奇函数. |g(-x)|=|-g(x)|=|g(x)|,|g(x)|为偶函数,A正确;f(-x)g(-x)=f(x)[-g(x)]=-f(x)g(x), 所以f(x)g(x)为奇函数,B正确; f(-x)|g(-x)|=f(x)|g(x)|, 所以f(x)|g(x)|是偶函数,C正确; f(x)+g(x)=2ex, f(-x)+g(-x)=2e-x≠-[f(x)+g(x)], 且f(-x)+g(-x)=2e-x≠f(x)+g(x), 所以f(x)+g(x)既不是奇函数也不是偶函数,D错误,故选D. 2.设函数f(x)= 若f(x)是奇函数,则g(3)的值是( ) A.1B.3 C.-3D.-1 解析: 选C ∵函数f(x)= f(x)是奇函数,∴f(-3)=-f(3),∴log2(1+3)=-[g(3)+1],则g(3)=-3.故选C. 3.若关于x的函数f(x)= (t≠0)的最大值为a,最小值为b,且a+b=2,则t=________. 解析: f(x)= =t+ , 设g(x)= ,则g(x)为奇函数,g(x)max=a-t,g(x)min=b-t.∵g(x)max+g(x)min=0,∴a+b-2t=0,即2-2t=0,解得t=1. 答案: 1 …………考点二 函数的周期性………………|讲练互动型|…………… |研透典例| 【典例】 (1)已知函数f(x)= 如果对任意的n∈N*,定义fn(x)= ,那么f2016 (2)的值为( ) A.0B.1 C.2D.3 (2)设定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x∈[0,2)时,f(x)=2x-x2,则f(0)+f (1)+f (2)+…+f(2016)=________. [解析] (1)∵f1 (2)=f (2)=1,f2 (2)=f (1)=0,f3 (2)=f(0)=2,∴fn (2)的值具有周期性,且周期为3,∴f2016 (2)=f3×672 (2)=f3 (2)=2,故选C. (2)∵f(x+2)=f(x), ∴函数f(x)的周期T=2, 又当x∈[0,2)时,f(x)=2x-x2,所以f(0)=0,f (1)=1, 所以f(0)=f (2)=f(4)=…=f(2016)=0, f (1)=f(3)=f(5)=…=f(2015)=1. 故f(0)+f (1)+f (2)+…+f(2016)=1008. [答案] (1)C (2)1008 『名师点津』………………………………………………|品名师指点迷津| 函数周期性的判定与应用 (1)判断函数的周期性只需证明f(x+T)=f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数,且周期为T,函数的周期性常与函数的其他性质综合命题. (2)根据函数的周期性,可以由函数局部的性质得到函数的整体性质,在解决具体问题时,要注意结论: 若T是函数的周期,则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期. |变式训练| 1.已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0≤x<2时,f(x)=x3-x,则函数y=f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为( ) A.6B.7 C.8D.9 解析: 选B 当0≤x<2时,令f(x)=x3-x=x(x2-1)=0,所以y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x1=0,x2=1. 当2≤x<4时,0≤x-2<2,又f(x)的最小正周期为2,所以f(x-2)=f(x), 所以f(x)=(x-2)(x-1)(x-3), 所以当2≤x<4时,y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x3=2,x4=3. 同理可得,当4≤x<6时,y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x5=4,x6=5. 当x7=6时,也符合要求. 综上可知,共有7个交点. 2.若f(x)是定义在R上的周期为4的函数,且在[0,2]上的解析式为f(x)= 则f =________. 解析: 因为f(x)的周期为4,则f =f =f =cos π=cos = ,所以f =f = × = . 答案: ………………考点三 函数性质的综合问题……………|多维探究型|…………… |多角探明| 角度一 单调性与奇偶性的综合 【例1】 (2019届石家庄质量检测)已知f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)单调递增,f (1)=0,若f(x-1)>0,则x的取值范围为( ) A.{x|0 C.{x|x<0或x>3}D.{x|x<-1或x>1} [解析] 因为函数f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f (1)=0,又函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以可作出函数f(x)的示意图,如图,则不等式f(x-1)>0可转化为-1 [答案] A 角度二 奇偶性与周期性的综合 【例2】 (2018年全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x),若f (1)=2,则f (1)+f (2)+f(3)+…+f(50)=( ) A.-50B.0 C.2 D.50 [解析] 因为f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,所以f(-x)=-f(x),且f(0)=0.因为f(1-x)=f(1+x),所以f(x)=f(2-x),f(-x)=f(2+x),所以f(2+x)=-f(x),所以f(4+x)=-f(2+x)=f(x),所以f(x)是周期函数,且一个周期为4,所以f(4)=f(0)=0,f (2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0,f(3)=f(1+2)=f(1-2)=-f (1)=-2,所以f (1)+f (2)+f(3)+f(4)+…+f(50)=12×0+f(49)+f(50)=f (1)+f (2)=2,故选C. [答案] C 角度三 单调性、奇偶性与周期性的综合 【例3】 (2019届四川达州模拟)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且在[-1,0]上单调递减,设a=f(-2.8),b=f(-1.6),c=f(0.5),则a,b,c的大小关系是( ) A.a>b>cB.c>a>b C.b>c>aD.a>c>b [解析] ∵偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),∴函数的周期为2.∴a=f(-2.8)=f(-0.8),b=f(-1.6)=f(0.4)=f(-0.4),c=f(0.5)=f(-0.5).∵-0.8<-0.5<-0.4,且函数f(x)在[-1,0]上单调递减,∴a>c>b,故选D. [答案] D 『名师点津』………………………………………………|品名师指点迷津| 函数性质综合问题的求解方法 (1)函数单调性与奇偶性结合.注意函数单调性及奇偶性的定义,以及奇、偶函数图象的对称性. (2)函数周期性与奇偶性结合.此类问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行交换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解. (3)解决函数的奇偶性、周期性、单调性的综合问题通常先利用周期性转化到自变量所在的区间,然后利用奇偶性和单调性求解. |变式训练| 1.已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足f(2x-1) 的x的取值范围是( ) A. B. C. D. 解析: 选A 因为f(x)是偶函数,所以其图象关于y轴对称, 又f(x)在[0,+∞)上单调递增,f(2x-1) , 所以|2x-1|< ,所以 . 2.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-2)=-f(x),且在[0,1]上是增函数,则有( ) A.f B.f C.f D.f 解析: 选B 由题设知f(x)=-f(x-2)=f(2-x),所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称. 又函数f(x)是奇函数,其图象关于坐标原点对称,由于函数f(x)在[0,1]上是增函数,故f(x)在[-1,0]上也是增函数,综上,函数f(x)在[-1,1]上是增函数,在[1,3]上是减函数, 又f =f =f , 所以f =f . 【典例】 定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),f(x+2)=-f(x)且f(x)在[-1,0]上是增函数,给出下列几个命题: ①f(x)是周期函数;②f(x)的图象关于x=1对称;③f(x)在[1,2]上是减函数;④f (2)=f(0),其中正确命题的序号是________(请把正确命题的序号全部写出来). [解析] f(x+y)=f(x)+f(y)对任意x,y∈R恒成立. 令x=y=0, 所以f(0)=0.令x+y=0,所以y=-x, 所以f(0)=f(x)+f(-x). 所以f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数. 因为f(x)在x∈[-1,0]上为增函数,又f(x)为奇函数,所以f(x)在[0,1]上为增函数. 由f(x+2)=-f(x)⇒f(x+4)=-f(x+2) ⇒f(x+4)=f(x), 所以周期T=4, 即f(x)为周期函数. f(x+2)=-f(x)⇒f(-x+2)=-f(-x). 又因为f(x)为奇函数,所以f(2-x)=f(x), 所以函数关于x=1对称. 由f(x)在[0,1]上为增函数,又关于x=1对称, 所以f(x)在[1,2]上为减函数. 由f(x+2)=-f(x),令x=0得f (2)=-f(0)=f(0). [答案] ①②③④ [点评] 函数的周期性常常通过函数的奇偶性得到,函数的奇偶性体现的是一种对称关系,而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律.在解题时,往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性.
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