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停车问题
1
数学建模报告——
X城市中心商业区停车场地的分析
02级混合二班
刘丛3020912072
蔡铮3023001068
周于蓝3023001035
一.问题的重述:
最近,有人对X城市中心区现有停车场的是否满足市民需要这
一问题进行了研究。
开往中心区各个地段的汽车数据是根据政府以前
对停车场地的需要情况所作的一次调查得到的。
于是就提出了以下的
运输模型,以找到一种为满足停车需要而给现有停车场的指派停车任
务的方案,且使所需的社会费用最小。
这个问题的解应该回答下列几
个问题:
1.开车人从他们的车辆停放处走多远才能到达他们最后的
目的地?
2.街道上停车场地的数目是否已经足够?
3.应向在停车场或者街头空地停车的人收多少停车费用?
二.模型的条件和假设:
X市中心商业区共分为32个地段市政管理人员就将他们作为制
定规划的对象。
图1给出了该地区的地图。
我们所研究的停车系统开放的时间是8:
00到18:
00。
许多开车
人在中心区停车仅一、两个小时,因此每个停车位置在一天中可供好
2
几辆车停放,为了在模型中考虑这种可能性,根据开车人打算停车的
时间,将他们分成了若干类,如表1:
停车种类1234
停车时间(小时)1234或更多
所示
图1:
三.符号的概念:
通过实地计算以下各类停车场的数字,求出了现有停车位置数。
表2
类型号停车场类型
3
m=1
m=2
m=3
m=4
m=5
m=6
m=7
全天停车场
普通停车场
全天停车库
普通停车库
停车房
公共停车空地
街头停车点
然后又对现有停车场地的有关参数标号如下:
S1地段1中全天停车场的个数
S2地段1中普通停车场的个数
S3地段1中全天停车库的个数
…
S223地段32中公共停车空地的个数
S224地段32中街头停车点的个数
不同的停车场地共有224类(32个地段,每地段又7类停车场地),
各个地段中各类停车场地的个数由政府的统计数字得到,并由表3列
出。
各地段中各类停车场停车位置数表3
地段总数m=1m=2m=3m=4m=5m=6m=7
14062352643597
2116211313683238115
32561731964
422676840498
55233054431350
629915517162109
764467864746434
4
85602542822256
9651223
101046781314
1110345539
125438440412
1310436481935620
14686789394150153
1530549657
162311621851
1782294106325036
183531882161776
191911021110167
20284819314159
2117544555661535107
224358591241413865
2398221212184997
24142253114
25609455422137
26258931052697
2711744568
2810830322350
296281181347621
3029084206
3137865723868
32110258636491187
总计14122304233779388581816302414
类似的,开往各个地段的汽车数也分成了128类(32个地段,
每地段都有四类停车时间):
D1在地段1中停车一小时的车辆数
D2在地段1中停车二小时的车辆数
D3在地段1中停车三小时的车辆数
…
D128在地段32停车四小时(或四小时以上)的车辆数
表4列出了有关的数据。
5
32个地段中停车车辆数表4
地段总数k=1k=2k=3k=4
1203203030123
2394395959237
395996144144575
45568833
579880120120478
6374375656225
7349355252210
8318324848190
913113202078
1014615222287
114246626
1211311171768
13141229
14274274141165
1516316242499
16184182828110
17571578686342
1897998147147587
19382385757230
20434436565261
2181982123123491
22198203030118
231205121181181722
2410410161662
25384385858230
26304304646182
271923311
285458833
29493497474296
30625639494374
31441446666265
321331133200200798
总计128601283193119317715
四.问题的分析与相关数据
指定属于第j类停车时间的一位司机在第i类停车场停车的费用
系数为Cij,它包括下列各项:
6
步行费用在两个地段间不行的费用用下列公式计算:
2(1.5)(两个地段间的距离)(流通系数)(每车平均人数)
在此公式中,2这个因子表示必须步行两次(往返各一次),步行
一米折合的费用假设定为1.5元人民币,又假设被指定就在目
的地所在地段停车的人步行距离为50米。
流通系数是指在同一停车
位置停车的平均车辆数,它说明一天里一个特定的停车位置先后可供
多少辆车子停车,流通系数的值取决于停车时间的长短,它们由下表
给出。
停车时数流通系数
18
24
33
4或更多1.25
一辆车子的平均人数也依赖于停车时数:
停车时数每车平均人数
11.4
21.4
31.3
4或更多1.1
停车房每天每个停车位置4.6元
停车库每天每个停车位置1.3元
停车场和停车空地每天每个停车位置0.4元
街道停车点每天每个停车位置0.2元
上面两张表中的数字也是根据X市政府以前搜集的数据得出的。
保管费用
这种费用是和停车房管理员们商量后得出的。
一年里的工资,电
7
费,电话费等平摊到365天以后,就得出“24小时”的保管费,其
中三分之二则摊算在上午8:
00到晚上6:
00这段时间内,其他类型
的停车场地的保管费用也用类似的办法算出。
下表列出了这类费用:
机会成本费
这是X城市中心区某些空地(这种地方可以出卖改建为城市公
园)出让充当停车场地时所需的费用。
这个中心区的实际地产价值估
计是每平方米2万元人民币,而“24小时”的费用就是这一价值的
10%的利率再除以365。
将“24小时”的费用推算到上午8:
00到晚
上6:
00这段时间内,就应乘上2/3,再乘上27(因为一个公共停车
空地的一个停车位置所需面积是27平方米),可得98.6元,它就是
每个停车位置的每天机会成本费。
街头停车点的停车位置的机会成本费算起来要困难一些,因为
这种地方没有出售价格。
有人将这种机会成本费定为每天每个停车位
置100元。
这一假定至关紧要,是否合理尚可怀疑。
假定这个数字的
一个理由是,既然该市愿意为它让出来充当停车空地的每个停车位置
每天收取机会成本费98.6元,那么理应也会愿意对街头停车点的每
个停车位置收取100元的机会成本费。
不可行性费用
对于停车时间不长的停车者(k=1.2.3),我们可以不安排他们
在m=1和m=3的停车场地(这两类停车场地只为全日停车者服务)停
车。
因此,为了消除这种安排的可能性,可将相应的“不可行性费用”
定为一个“大数”(而对于其他情况,不可行性费用则为零)。
8
模型
将现有停车位置指派给各类停车者的模型具有运输模型的结构。
令
Xij表示第j类停车者分配到的第I类停车位置的个数,我们的目标
是:
224128
11
min
ij
CijXij
==
ΣΣ
约束条件:
224
i1
XijDj
=
Σ=对所有的停车类j=1,2,…,128,
128
j1
XijSi
=
Σ≤对所有的停车位置类i=1,2,…,224,
Xij≥0,i=1,2,…,128;j=1,2,…,224.
五.问题的解答:
1.上述模型与线性规划中的运输模型很相似,但此问题的为产销
不平衡的,应先将其转化为产销平衡的,为产大于销,因此可以
通过虚设销地,将“销量”—停车数量取为零即可。
具体做法为:
250
i1
XijDj
=
Σ=对所有的停车类j=1,2,…,250,
250
j1
XijSi
=
Σ≤对所有的停车位置类i=1,2,…,250,
Xij≥0,i=1,2,…250;j=1,2,…,250.
2.本模型采用由康脱洛维奇和希奇柯克两人提出的表上作业法,
实质为先做出一个初始基本可行解,然后用最优性准则检验是否
为最优并逐次改进直至最优性准则成立。
9
步骤一:
初始可行解的选取
该模型是一个具有250×250的线性规划,其每一基本可
行解含有
250+250-1=499个基变量。
我们采用最小元素法求的
基本可行解。
步骤二:
按Cij-Ui-Vi=0求出位势Ui,Vj,进而按Rij=Cij-Ui
-Vi求出非基变量的检验数Rij。
若一切Rij≥0,则已求
得最优解。
步骤三:
任取一Rij<0,找出Xi1j1进基后形成的唯一闭回路。
在找出
的闭回路上调整,按,得出新的基本可行解,返回步骤二。
直至找到
最优解。
3.为了描述解的一般结构,可考虑以下两个问题:
①不同类型的停车者应被指派到那种类型的场地停车?
②开车者和乘客需步行多远?
我们用Lingo8这个处理线性规划问题的专业软件对数据进行处理,
得到问题的结果为:
第一个问题的回答包含在表5中
表5将停车者指派到各类停车场地方案
停车
时数
停车
总数
被指派到各类停车场地的车辆数
1234567
1
2
3
≥4
1283
1931
1931
7715
—
—
—
3042(40%)
167(13%)
88(5%)
36(2%)
46(1%)
—
—
—
793(10%)
42(3%)
25(1%)
15(1%)
6
547(43%)
1088(56%)
1156(60%)
3027(39%)
79(6%)
219(11%)
468(24%)
491(6%)
448(35%)
511(27%)
256(13%)
310(4%)
10
表5表明,对于1小时停车者来说,整个中心区需要1283个停
车位置,其中167辆车(总数的13%)被指定到第2类停车场地(普
通停车场)停车。
一般说来,短时间停车者应被指定到停车场或街道
停车点停车;长时间停车者(停车时间在四小时及以上者)停车的地
方主要是停车场和停车房。
表6到各地段停车的调度方案
地段附近停车
地段
远处停车
地段
地段附近停车地段远处停车
地段
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
1,2,3,28
4,24
5,7,8,30
6,7,11
7
8
9,13,17
10,17,31
11
11,12,16
13
21
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
17
14,15,18,19
20
20,21
21
22
4,21,22,23
4,24
24,25
2,26
27
27,28
29
21
21
11
14
15
16
14
15,16
15,16
30
31
32
8,9,10,13,29,30
21,31
25,32
21
表6则表明,停车者一般应被指定到它们的目的地所在地之地
段去停车。
例如,由表6可知,在地段3中要求停车的车辆可在地段
1,2,3,28的场地上去停车。
步行距离一般不远,只有四个例外。
在这些例外情况下,一些长时间停车者被指定到地段21的大型停车
房停车,每人必须步行1公里左右。
六.由结果联想到的结论:
这一模型的解说明,X城市中心区现有停车场地能够满足人们
的停车需要,而且开车人和乘客从他们停车处到最终目的地不必走很
远的路程。
使用这一模型,还能判定停车需要量增大后,现有停车场
地是否仍能满足未来的需要。
利用这一模型,还能得知在现有停车位置减少后有关费用将会
增加的数字。
根据这一增加出来的数字就可定出每个停车位置的实际
价值,进而算出停车的收费标准。
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