高中数学椭圆定点定值专题习题.docx
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高中数学椭圆定点定值专题习题.docx
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1.已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为,短轴长为4.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)P(2,n),Q(2,﹣n)是椭圆C上两个定点,A、B是椭圆C上位于直线PQ两侧的动点.
①若直线AB的斜率为,求四边形APBQ面积的最大值;
②当A、B两点在椭圆上运动,且满足∠APQ=∠BPQ时,直线AB的斜率是否为定值,说明理由.
2.已知椭圆的离心率为,且经过点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知A为椭圆C的左顶点,直线l过右焦点F与椭圆C交于M,N两点,若AM、AN的斜率k1,k2满足k1+k2=m(定值m≠0),求直线l的斜率.
3.如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆的焦距为2,且过点.
(1)求椭圆E的方程;
(2)若点A,B分别是椭圆E的左、右顶点,直线l经过点B且垂直于x轴,点P是椭圆上异于A,B的任意一点,直线AP交l于点M.
(ⅰ)设直线OM的斜率为k1,直线BP的斜率为k2,求证:
k1k2为定值;
(ⅱ)设过点M垂直于PB的直线为m.求证:
直线m过定点,并求出定点的坐标.
4.已知F1,F2分别是椭圆(a>b>0)的左、右焦点,半焦距为c,直线x=﹣与x轴的交点为N,满足,设A、B是上半椭圆上满足的两点,其中.
(1)求椭圆的方程及直线AB的斜率k的取值范围;
(2)过A、B两点分别作椭圆的切线,两切线相交于一点P,试问:
点P是否恒在某定直线上运动,请说明理由.
5.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆(a>b>0)的离心率为,其焦点在圆x2+y2=1上.
(1)求椭圆的方程;
(2)设A,B,M是椭圆上的三点(异于椭圆顶点),且存在锐角θ,使.
(i)求证:
直线OA与OB的斜率之积为定值;
(ii)求OA2+OB2.
6.已知椭圆的左焦点为F(﹣,0),离心率e=,M、N是椭圆上的动点.
(Ⅰ)求椭圆标准方程;
(Ⅱ)设动点P满足:
,直线OM与ON的斜率之积为﹣,问:
是否存在定点F1,F2,使得|PF1|+|PF2|为定值?
,若存在,求出F1,F2的坐标,若不存在,说明理由.
(Ⅲ)若M在第一象限,且点M,N关于原点对称,点M在x轴上的射影为A,连接NA并延长交椭圆于点B,证明:
MN⊥MB.
7.一束光线从点F1(﹣1,0)出发,经直线l:
2x﹣y+3=0上一点P反射后,恰好穿过点F2(1,0).
(1)求P点的坐标;
(2)求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆C的方程;
(3)设点Q是椭圆C上除长轴两端点外的任意一点,试问在x轴上是否存在两定点A、B,使得直线QA、QB的斜率之积为定值?
若存在,请求出定值,并求出所有满足条件的定点A、B的坐标;若不存在,请说明理由.
8.已知椭圆的离心率为,且经过点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线l:
y=kx+t(k≠0)交椭圆C于A、B两点,D为AB的中点,kOD为直线OD的斜率,求证:
k•kOD为定值;
(3)在
(2)条件下,当t=1时,若的夹角为锐角,试求k的取值范围.
9.如图所示,椭圆C:
的焦点为F1(0,c),F2(0,﹣c)(c>0),抛物线x2=2py(p>0)的焦点与F1重合,过F2的直线l与抛物线P相切,切点在第一象限,且与椭圆C相交于A,B两点,且.
(1)求证:
切线l的斜率为定值;
(2)当λ∈[2,4]时,求椭圆的离心率e的取值范围.
10.已知椭圆(a>b>0)的右焦点为F1(2,0),离心率为e.
(1)若e=,求椭圆的方程;
(2)设A,B为椭圆上关于原点对称的两点,AF1的中点为M,BF1的中点为N,若原点O在以线段MN为直径的圆上.
①证明点A在定圆上;
②设直线AB的斜率为k,若k,求e的取值范围.
11.在平面直角坐标系xOy中,椭圆=1(a>b>0)的焦点为F1(﹣1,0),F2(1,0),左、右顶点分别为A,B,离心率为,动点P到F1,F2的距离的平方和为6.
(1)求动点P的轨迹方程;
(2)若,,Q为椭圆上位于x轴上方的动点,直线DM•CN,BQ分别交直线m于点M,N.
(i)当直线AQ的斜率为时,求△AMN的面积;
(ii)求证:
对任意的动点Q,DM•CN为定值.
12.
(1)如图,设圆O:
x2+y2=a2的两条互相垂直的直径为AB、CD,E在弧BD上,AE交CD于K,CE交AB于L,求证:
为定值
(2)将椭圆(a>b>0)与x2+y2=a2相类比,请写出与
(1)类似的命题,并证明你的结论.
(3)如图,若AB、CD是过椭圆(a>b>0)中心的两条直线,且直线AB、CD的斜率积,点E是椭圆上异于A、C的任意一点,AE交直线CD于K,CE交直线AB于L,求证:
为定值.
13.作斜率为的直线l与椭圆C:
交于A,B两点(如图所示),且在直线l的左上方.
(1)证明:
△PAB的内切圆的圆心在一条定直线上;
(2)若∠APB=60°,求△PAB的面积.
14.设椭圆C:
+=1(a>b>0)的左.右焦点分别为F1F2,上顶点为A,过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q,且2+=.
(1)若过A.Q.F2三点的圆恰好与直线l:
x﹣y﹣3=0相切,求椭圆C的方程;
(2)在
(1)的条件下,过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M.N两点.试证明:
+为定值;②在x轴上是否存在点P(m,0)使得以PM,PN为邻边的平行四边形是菱形,如果存在,求出m的取值范围,如果不存在,说明理由.
15.已知A,B分别是椭圆C1:
=1的左、右顶点,P是椭圆上异与A,B的任意一点,Q是双曲线C2:
=1上异与A,B的任意一点,a>b>0.
(I)若P(),Q(,1),求椭圆Cl的方程;
(Ⅱ)记直线AP,BP,AQ,BQ的斜率分别是k1,k2,k3,k4,求证:
k1•k2+k3•k4为定值;
(Ⅲ)过Q作垂直于x轴的直线l,直线AP,BP分别交l于M,N,判断△PMN是否可能为正三角形,并说明理由.
16.已知椭圆=1的焦点坐标为(±1,0),椭圆经过点(1,)
(1)求椭圆方程;
(2)过椭圆左顶点M(﹣a,0)与直线x=a上点N的直线交椭圆于点P,求的值.
(3)过右焦点且不与对称轴平行的直线l交椭圆于A、B两点,点Q(2,t),若KQA+KQB=2与l的斜率无关,求t的值.
17.如图,已知椭圆的焦点为F1(1,0)、F2(﹣1,0),离心率为,过点A(2,0)的直线l交椭圆C于M、N两点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)①求直线l的斜率k的取值范围;
②在直线l的斜率k不断变化过程中,探究∠MF1A和∠NF1F2是否总相等?
若相等,请给出证明,若不相等,说明理由.
18.已知椭圆E:
=1(a>b>0)上任意一点到两焦点距离之和为,离心率为,左、右焦点分别为F1,F2,点P是右准线上任意一点,过F2作直线PF2的垂线F2Q交椭圆于Q点.
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)证明:
直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值;
(3)点P的纵坐标为3,过P作动直线l与椭圆交于两个不同点M、N,在线段MN上取点H,满足,试证明点H恒在一定直线上.
19.如图,双曲线C1:
与椭圆C2:
(0<b<2)的左、右顶点分别为A1、A2第一象限内的点P在双曲线C1上,线段OP与椭圆C2交于点A,O为坐标原点.
(I)求证:
为定值(其中表示直线AA1的斜率,等意义类似);
(II)证明:
△OAA2与△OA2P不相似.
(III)设满足{(x,y)|,x∈R,y∈R}⊆{(x,y)|,x∈R,y∈R}的正数m的最大值是b,求b的值.
20.已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,短轴长为2,且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点.过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P,Q两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)当直线l的斜率为1时,求△POQ的面积;
(3)在线段OF上是否存在点M(m,0),使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形?
若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.
21.已知椭圆的离心率为,且椭圆上的点到两个焦点的距离和为2.斜率为k(k≠0)的直线l过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P,Q两点,线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M(0,m).
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)求m的取值范围;
(Ⅲ)试用m表示△MPQ的面积,并求面积的最大值.
22.已知椭圆E:
的左焦点,若椭圆上存在一点D,满足以椭圆短轴为直径的圆与线段DF1相切于线段DF1的中点F.
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)已知两点Q(﹣2,0),M(0,1)及椭圆G:
,过点Q作斜率为k的直线l交椭圆G于H,K两点,设线段HK的中点为N,连接MN,试问当k为何值时,直线MN过椭圆G的顶点?
(Ⅲ)过坐标原点O的直线交椭圆W:
于P、A两点,其中P在第一象限,过P作x轴的垂线,垂足为C,连接AC并延长交椭圆W于B,求证:
PA⊥PB.
23.已知椭圆和圆O:
x2+y2=b2,过椭圆上一点P引圆O的两条切线,切点为A,B.
(1)(ⅰ)若圆O过椭圆的两个焦点,求椭圆的离心率e;
(ⅱ)若椭圆上存在点P,使得∠APB=90°,求椭圆离心率e的取值范围;
(2)设直线AB与x轴、y轴分别交于点M,N,求证:
为定值.
24.已知椭圆中心在原点,焦点在y轴上,离心率为,以原点为圆心,椭圆短半轴长为半径的圆与直线y=x+2相切.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设点F是椭圆在y轴正半轴上的一个焦点,点A,B是抛物线x2=4y上的两个动点,且满足,过点A,B分别作抛物线的两条切线,设两切线的交点为M,试推断是否为定值?
若是,求出这个定值;若不是,说明理由.
25.已知椭圆的中心为O,长轴、短轴的长分别为2a,2b(a>b>0),A,B分别为椭圆上的两点,且OA⊥OB.
(1)求证:
为定值;
(2)求△AOB面积的最大值和最小值.
26.设F1、F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点.
(1)若P是该椭圆上的一个动点,求向量乘积的取值范围;
(2)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点M、N,且∠MON为锐角(其中O为坐标原点),求直线l的斜率k的取值范围.
(3)设A(2,0),B(0,1)是它的两个顶点,直线y=kx(k>0)与AB相交于点D,与椭圆相交于E、F两点.求四边形AEBF面积的最大值.
27.已知椭圆的左焦点F1(﹣1,0),长轴长与短轴长的比是.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过F1作两直线m,n交椭圆于A,B,C,D四点,若m⊥n,求证:
为定值.
28.已知椭圆的左顶点是A,过焦点F(c,0)(c>0,为椭圆的半焦距)作倾斜角为θ的直线(非x轴)交椭圆于M,N两点,直线AM,AN分别交直线(称为椭圆的右准线)于P,Q两点.
(1)若当θ=30°时有,求椭圆的离心率;
(2)若离心率e=,求证:
为定值.
29.已知点P在椭圆C:
(a>b>0)上,F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点,满足|PF1|=6﹣|PF2|,且椭圆C的离心率为.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若过点Q(1,0)且不与x轴垂直的直线l与椭圆C相交于两个不同点M、N,在x轴上是否存在定点G,使得为定值.若存在,求出所有满足这种条件的点G的坐标;若不存在,说明理由.
30.如图,已知椭圆C:
的离心率为,以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T:
(x+2)2+y2=r2(r>0),设圆T与椭圆C交于点M与点N.
(1)求椭圆C的方程;
(2)求的最小值,并求此时圆T的方程;
(3)设点P是椭圆C上异于M,N的任意一点,且直线MP,NP分别与x轴交于点R,S,O为坐标原点,求证:
|OR|•|OS|为定值.
每一个人的成功之路或许都不尽相同,但我相信,成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗,而每一条成功之路,都是充满坎坷的,只有那些坚信自己目标,不断努力、不断奋斗的人,才能取得最终的成功。
但有一点我始终坚信,那就是,当你能把自己感动得哭了的时候,你就成功了!
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