小学奥数盈亏问题题库教师版.docx
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小学奥数盈亏问题题库教师版
知识点说明:
盈亏问题的特点是问题中每一同类量都要出现两种不同的情况•分配不足时,称之为“亏”,分配有
余称之为“盈”;还有些实际问题,是把一定数量的物品平均分给一定数量的人时,如果每人少分,则物品就有余(也就是盈),如果每人多分,则物品就不足(也就是亏),凡研究这一类算法的应用题叫做“盈亏问题”•
可以得出盈亏问题的基本关系式:
(盈
亏)
两次分得之差
人数或单位数
(盈
盈)
两次分得之差
人数或单位数
(亏
亏)
两次分得之差
人数或单位数
物品数可由其中一种分法和人数求出•也有的问题两次都有余或两次都不足,不管哪种
情况,都是属于按两个数的差求未知数的“盈亏问题”
注意1.条件转换2.关系互换
板块一、直接计算型盈亏问题
【例1】三年级一班少先队员参加学校搬砖劳动•如果每人搬4块砖,还剩7块;如果每人搬5块,则
少2块砖.这个班少先队有几个人?
要搬的砖共有多少块?
【解析】比较两种搬砖法中各个量之间的关系:
每人搬4块,还剩7块砖;每人搬5块,就少2块.这两
次搬砖,每人相差541(块)•第一种余7块,第二种少2块,那么第二次与第一次总共相差砖数:
729(块),每人相差1块,结果总数就相差9块,所以有少先队员919(人)•共有砖:
49743(块)•
【巩固】明明过生日,同学们去给他买蛋糕,如果每人出8元,就多出了8元;每人出7元,就多出了4
元•那么有多少个同学去买蛋糕?
这个蛋糕的价钱是多少?
【巩固】老猴子给小猴子分桃,每只小猴分10个桃,就多出9个桃,每只小猴分11个桃则多出2个桃,
那么一共有多少只小猴子?
老猴子一共有多少个桃子?
【巩固】有一批练习本发给学生,如果每人5本,则多70本,如果每人7本,则多10本,那么这个班
有多少学生,多少练习本呢?
【例2】(2007年“走进美妙的数学花园”初赛)猴王带领一群猴子去摘桃•下午收工后,猴王开始分
配.若大猴分5个,小猴分3个,猴王可留10个.若大、小猴都分4个,猴王能留下20个.在
这群猴子中,大猴(不包括猴王)比小猴多只.
【详解】当大猴分5个,小猴分3个时,猴王可留10个.若大、小猴都分4个,猴王能留下20个.也就是
说在大猴分5个,小猴分3个后,每只大猴都拿出1个,分给每只小猴1个后,还剩下201010
个,所以大猴比小猴多10只.
【巩固】学而思学校新买来一批书,将它们分给几位老师,如果每人发10本,还差9本,每人发9本,
还差2本,请冋有多少老师?
多少本书?
【巩固】幼儿园给获奖的小朋友发糖,如果每人发多少块糖呢?
【巩固】王老师去琴行买儿童小提琴,若买7把,则所带的钱差110元;若买5把,则所带的钱还多30
元,问儿童小提琴多少钱一把?
王老师一共带了多少钱?
【巩固】工人运青瓷花瓶250个,规定完整运到目的地一个给运费20元,损坏一个倒赔100元•运完这
批花瓶后,工人共得4400元,则损坏了多少个?
【例3】某校安排学生宿舍,如果每间住5人则有14人没有床位;如果每间住7人,则多出4个床位,
问宿舍几间?
住宿生几人?
【解析】由已知条件
每间5人少14个床位
每间7人多4个床位
比较两次分配的方案,可以看出,由于第二种方案比第一种每间多住(75)2人,
一共要多出(144)18个床位,根据两种方案每间住的人数的差和床位差,可以求出宿舍间数,
然后根据已知条件可求出住宿生人数.
解:
(414)(75)=9(间)
591459(人),或79459(人)
巩固】学校有30间宿舍,大宿舍每间住6人,小宿舍每间住4人.已知这些宿舍中共住了168人,那么其中有多少间大宿舍?
巩固】智康学校三年级精英班的一部分同学分糖果,如果每人分4粒就多9粒,如果每人分5粒则少6粒,问:
有多少位同学分多少粒糖果?
巩固】秋天到了,小白兔收获了一筐萝卜,它按照计划吃的天数算了一下,如果每天吃4个,要多出
48个萝卜;如果每天吃6个,则又少8个萝卜.那么小白兔买回的萝卜有多少个?
计划吃多少天?
板块二、条件关系转换型盈亏问题
【例4】猫妈妈给小猫分鱼,每只小猫分10条鱼,就多出8条鱼,每只小猫分11条鱼则正好分完,那么一共有多少只小猫?
猫妈妈一共有多少条鱼?
8条,两次分配之差是
解析】猫妈妈的第一种方案盈8条鱼,第二种方案不盈不亏,所以盈亏总和是
4个就少9个,如果每人分3个
巩固】学而思学校三年级基础班的一部分同学分小玩具,如果每人分
正好分完,问:
有多少位同学分多少个小玩具?
巩固】学而思学校买来一批小足球分给各班:
如果每班分4个,就差66个,如果每班分2个,则正好分完,学而思小学一共有多少个班?
买来多少个足球?
巩固】一位老师给学生分糖果,如果每人分4粒就多9粒,如果每人分5粒正好分完,问:
有多少位
学生?
共多少粒糖果?
巩固】实验小学学生乘车去春游,如果每辆车坐60人,则有15人上不了车;如果每辆车多坐5人,恰好多出一辆车.问一共有几辆车,多少个学生?
例5】甲、乙两人各买了相同数量的信封与相同数量的信纸,甲每封信用2张信纸,乙每封信用3张信纸,一段时间后,甲用完了所有的信封还剩下20张信纸,乙用完所有信纸还剩下10个信封,则他们每人各买了多少张信纸?
例6】幼儿园将一筐苹果分给小朋友,如果全部分给大班的小朋友,每人分5个,则余下10个。
如全部分给小班的小朋友,每人分到8个,则缺2个。
已知大班比小班多3人,问:
这筐苹果共有多少个?
巩固】幼儿园把一袋糖果分给小朋友.如果分给大班的小朋友,每人5粒就缺6粒.如果分给小班的小朋友,每人4粒就余4粒.已知大班比小班少2个小朋友,这袋糖果共有多少粒?
例7】有一些糖,每人分5块则多10块,如果现有人数增加到原有人数的1.5倍,那么每人4块就少两块,这些糖共有多少块?
解析】第一次每人分5块,第二次每人分4块,可以认为原有的人每人拿出541块糖分给新增加的人,而新增加的人刚好是原来的一半,这样新增加的人每人可分到2块糖果,这些人每人还差422
块,一共差了10212块,所以新增加了1226人,原有6212人.糖果数为:
1251070(块).
巩固】卧龙自然保护区管理员把一些竹子分给若干只大熊猫,每只大熊猫分5个还多余10棵竹子,如果大熊猫数增加到3倍还少5只,那么每只大熊猫分2棵竹子还缺少8棵竹子,问有大熊猫多少只,竹子多少棵?
巩固】体育队将一些羽毛球分给若干个人,每人5个还多余10个羽毛球,如果人数增加到3倍,那么
每人分2个羽毛球还缺少8个,问有羽毛球多少个?
例8】王老师给小朋友分苹果和桔子,苹果数是桔子数的2倍.桔子每人分3个,多4个;苹果每人分7个,少5个.问有多少个小朋友?
多少个苹果和桔子?
解析】因为桔子每人分3个多4个,而苹果是桔子的2倍,因此苹果每人分6个就多8个.又已知苹果
每人分7个少5个,所以应有(8+5)-(6-5)=13(人).
苹果个数为13X7-5=86(个).
桔子数为13X3+4=43(个).
答:
有13个小朋友,86个苹果和43个桔子.
巩固】学而思学校买来一批体育用品,羽毛球拍是乒乓球拍的2倍,分给同学们,每组分乒乓球拍5副,余乒乓球拍15副,每组分羽毛球拍14副,则差30副,问:
学而思学校买来羽毛球拍、乒乓球拍各多少副?
例9】用一根长绳测量井的深度,如果绳子两折时,多5米;如果绳子3折时,差4米.求绳子长度和井深.
例10】乐乐有一个储蓄筒,存放的都是硬币,其中2分币比5分币多22个;按钱数算,5分币却比2
分币多4角;另外,还有36个1分币.乐乐共存了多少钱?
例11】阳光小学学生乘汽车到香山春游.如果每车坐65人,则有5人不能乘上车;如果每车多坐5人,恰多余了一辆车,问一共有几辆汽车,有多少学生?
巩固】幸福小学少先队的同学到会议室开会,若每条长椅上坐3人则多出7人,若每条长椅上多坐4
人则多出3条长椅.问:
到会议室开会的少先队员有多少人?
巩固】智康小合唱队的同学到会议室开会,若每条长椅上坐3人则多出9人,若每条长椅上坐4人则多出3人.问:
合唱队有多少人?
巩固】少先队员去植树,如果每人挖5个树坑,还有3个树坑没人挖;如果其中两人各挖4个树坑,其余每人挖6个树坑,就恰好挖完所有的树坑。
请问,共有多少名少先队员?
共挖了多少树坑?
巩固】六年级学生出去划船。
老师算了一下,如果每船坐6人,那么还剩下22人没船坐。
安排时发现有3条船坏了,于是改为每船坐8人,结果还剩下6人没地方坐,请问:
一共有多少学生?
例12】学校为新生分配宿舍.每个房间住3人,则多出23人;每个房间住5人,则空出3个房间.问宿舍有多少间?
新生有多少人?
解析】每个房间住3人,则多出23人,每个房间住5人,就空出3个房间,这3个房间如果住满人应
该是5315(人),由此可见,每一个房间增加532(人).两次安排人数总共相差
231538(人),因此,房间总数是:
38+2=19(间),学生总数是:
3192380(人),或者
5195380(人).
巩固】学校为新生分配宿舍.每个房间住3人,则多出22人;每个房间多住5人,则空1个房间.问宿舍有多少间?
新生有多少人?
巩固】军队分配宿舍,如果每间住3人,则多出20人;如果每间住6人,余下2人可以每人各住一个房间,现在每间住10人,可以空出多少个房间?
巩固】猪妈妈带着孩子去野餐,如果每张餐布周围坐4只小猪就有6只小猪没地方坐,如果每张餐布周围多坐一只小猪就会余出4个空位子,问:
一共有多少只小猪,猪妈妈一共带了多少张餐布?
例13】国庆节快到了,学而思学校的少先队员去摆花盆.如果每人摆5盆花,还有3盆没人摆;如果
其中2人各摆4盆,其余的人各摆6盆,这些花盆正好摆完.问有多少少先队员参加摆花盆活动,一共摆多少花盆?
巩固】妈妈买来一篮橘子分给全家人,如果其中两人分4个,其余人每人分2个,则多出4个;如果其中一人分6个,其余人每人分4个,则缺少12个,妈妈买来橘子多少个?
全家共有多少人?
例14】四⑵班举行“六一”联欢晚会,辅导员老师带着一笔钱去买糖果.如果买芒果13千克,还差4元;如果买奶糖15千克,则还剩2元.已知每千克芒果比奶糖贵2元,那么,辅导员老师带了元钱.
解析】这笔钱买13千克芒果还差4元,若把这13千克芒果换成奶糖就会多出13226元,所以这笔钱
买13千克奶糖会多出26422元.而这笔钱买15千克奶糖会多出2元,所以每千克奶糖的价格
为:
(222)(1513)10(元).辅导老师共带了10152152元.
巩固】小明妈妈带着一笔钱去买肉,若买10千克牛肉则还差6元,若买12千克猪肉则还剩4元.已知每千克牛肉比猪肉贵3元,问:
小明妈妈带了多少钱?
巩固】食堂采购员小李到集贸市场去买肉,如果买牛肉18千克,则差4元;如果买猪肉20千克,则
多2元.已知牛肉、猪肉每千克差价8角.问牛肉、猪肉各多少钱一千克?
巩固】李明的妈妈去超市买洗衣粉,雕牌和碧浪的单价分别为8元和10元,李妈妈带的钱买雕牌洗衣
粉比买碧浪洗衣粉可多买3袋,并且没有剩余的钱.问:
李妈妈带了多少钱?
例15】小强由家里到学校,如果每分钟走50米,上课就要迟到3分钟;如果每分钟走60米,就可以比上课时间提前2分钟到校。
小强家到学校的路程是多少米?
解析】迟到3分钟转化成米数:
503150(米),提前2分钟到校转化成米数:
602120(米),距
巩固】东东从家去学校,如果每分走80米,结果比上课提前6分到校,如果每分走50米,则要迟到3分,那么东东家到学校的路程是米.
巩固】王老师由家里到学校,如果每分钟骑车500米,上课就要迟到3分钟;如果每分钟骑车600米,就可以比上课时间提前2分钟到校.王老师家到学校的路程是多少米?
巩固】学校规定上午8时到校,小明去上学,如果每分种走60米,可提早10分钟到校;如果每分钟
走50米,可提早8分钟到校,求小明几时几分离家刚好8时到校?
由家到学校的路程是多少?
例16】“六一”儿童节,小明到商店买了一盒花球和一盒白球,两盒内的球的数量相等.花球原价1
元钱2个,白球原价1元钱3个.因节日商店优惠销售,两种球的售价都是2元钱5个,结果
小明少花了4元钱,那么小明共买了多少个球?
解析】花球原价1元钱2个,白球原价1元钱3个.即花球原价10元钱20个,白球原价10元钱30个.那
么,同样买花球和白球各30个,花球要比白球多花1025(元),共需要30230325(元).现在两种球的售价都是2元钱5个,花球和白球各买30个需要(305)2224(元),说明花球和白球各买30个能省下25241(元).现在共省了4元,说明花球和白球各有304120(个),共买了1202240(个).
例17】(2009“数学解题能力展示”中年级组复试题)幼儿园老师买了同样多的巧克力、奶糖和水果
糖.她发给每个小朋友2块巧克力,7块奶糖和8块水果糖.发完后清点一下,水果糖还剩15块,而巧克力恰好是奶糖的3倍.那么共有个小朋友.
解析】画线段图分析,由题意知:
巧克力L|J
奶餓晝』
水果糖L一J
从奶糖的
7份中取2份,那么剩下的5份就和上面的2小段相等.如图:
巧克力•专取、1
奶勲1f旳—nI
水果糖d
那么2小段和5份都看成10份量,那么总量就相当于19份量,水果糖中原有的8份就是现在的16份,则剩下的15块水果糖就占有3份,则1份就是5块,给小朋友们分出去的水果糖数量是:
16580(块),小朋友的人数是:
80810(人)•
方法二:
由上图知,设发完后奶糖剩下1份,则巧克力剩下3份,而巧克力与奶糖每人分得相差5块,对应剩下的糖相差2份,水果糖与奶糖每人分得相差1块,则对应剩下的糖应相差250.4份,所以水果糖最后应剩下10.40.6份,恰是15块,所以1份对应的是150.625,所以应用盈亏问题共有(2515)(87)10(人).
【例18】一盒咖啡中有若干袋,一包方糖中有若干块.小唐喝前两盒咖啡时每袋咖啡都放3块方糖,结
果共用了1包方糖和第2包中的24块;小唐喝后三盒咖啡时每袋咖啡都只放1块方糖,最后第
3包方糖还剩下36块,那么每盒咖啡有多少袋?
【解析】小唐喝前2盒咖啡,每袋放3块糖,相当于喝6盒咖啡每袋放1块糖;小唐喝后3盒咖啡,每袋放1块糖,所以喝后3盒用掉的方糖总量是前2盒用掉方糖量的一半.
同时,小唐喝前2盒咖啡一共用掉方糖一包又24块,喝后3盒咖啡用掉方糖一包差12块,因此
一包又24块方糖与两包差24块方糖一样多,一包方糖有(2424)(21)48(块).
于是喝前两盒咖啡用掉方糖482472(块),每盒咖啡的袋数为:
723212(袋).
【巩固】巧克力每盒9块,软糖每盒11块,要把这两种糖分发给一些小朋友,每种糖每人一块,由于又来了一位小朋友,软糖就要增加一盒,两种糖分发的盒数就一样多,现在又来了一位小朋友,巧克力还要增加一盒,则最后共有多少个小朋友?
【例19】有若干盒卡片分给一些小朋友,如果只分一盒,每人至少可以得到7张;如果每人分8张卡片,
则还缺少5张•现在把所有卡片都分完,每人分到60张,而且还多出4张•问:
共有多少个小
朋友?
【详解】首先由题意,一盒卡片每人分7张则有剩余,每人分8张则少5张,证明总人数多于5个.
如果一共有7盒卡片,则所有人每人要想分到8756(张)卡片,还缺35张,卡片张数比题
中所述要少.
如果一共有9盒卡片,则只要再添上5945(张)卡片,就能使所有人每人分到8972(张),
1
人数为(454)(7260)4丄5,不满足总人数多于5个的要求.
12
类似地,当卡片总盒数多于9时,都不满足总人数多于5个的要求.
因此卡片一共有8盒,添上5840(张)卡片,就能使所有人每人分到8864(张),所以
总人数为:
(404)(6460)11(人)•
(二解)6078L4,6087L4,说明卡片的盒数是8盒,“若都分8张则还缺少5张”即如果我们在每盒中加5张(8盒共加40张),每人就可以得到8864(张),现在实际每人得到
60张,即每人需要退出4张,其中要有4张是每人60张后多下来的,还有40张是我们一开始借来的要还出去,即要退出44张,44411(人),说明有11人.
【例20】有若干个苹果和若干个梨•如果按每1个苹果配2个梨分堆,那么梨分完时还剩2个苹果;如果按每3个苹果配5个梨分堆,那么苹果分完时还剩1个梨.苹果和梨各有多少个?
【解析】容易看出这是一道盈亏应用题,但是盈亏总额与两次分配数之差很难找到•原因在于第一种方案是
1个苹果“搭配”2个梨,第二种方案是3个苹果“搭配”5个梨•如果将这两种方案统一为1个苹果“搭配”若干个梨,那么问题就好解决了•将原题条件变为“1个苹果搭配2个梨,缺4个梨;
1个苹果搭配5/3个梨,多1个梨”,此时盈亏总额为415(个)梨,两次分配数之差为
25/31/3(个)梨•所以有苹果(41)(25⑶15(个),有梨152426(个).
【巩固】有若干个苹果和梨,如果按1个苹果配3个梨分一堆,那么苹果分完时,还剩2个梨;如果按
半个苹果配2个梨分一堆,那么梨分完时,还剩半个苹果•问梨有多少个?
例21】幼儿园老师给小朋友分糖果.若每人分8块,还剩10块;若每人分9块,最后一人分不到9块,但至少可分到一块.那么糖果最多有多少块?
分析】最后一人分不到9块,那么最多可以分到8块,即若每人分9块,还差1块.根据盈亏计算公式,人数有(110)(98)11(人),糖果最多有911198(块);最后一人分不到9块,但至少可分到一块,即最少是最后一人差8块,根据盈亏计算公式,人数有(810)(98)18(人),糖果最多有9188154(块);所以,这批糖果最多有154块.
例22】幼儿园有三个班,甲班比乙班多4人,乙班比丙班多4人,老师给小孩分枣,甲班每个小孩比乙班每个小孩少分3个枣,乙班每个小孩比丙班每个小孩少分5个枣,结果甲班比乙班共多分3个枣,乙班比丙班总共多分5个枣.问:
三个班总共分了多少个枣?
解析】设丙班有x个小孩,那么乙班就有(x4)个小孩,甲班有(x8)个小孩.
乙班每个小孩比丙班每个小孩少分5个枣,那么x个小孩就少分5x个枣,而乙班比丙班总共多分
5个枣,所以多出来的那4个小孩分了(5x5)个枣.
同样的道理,甲班每个小孩比乙班每个小孩少分3个枣,那么(x4)个小孩就少分(3x12)个枣,而甲班比乙班总共多分3个枣,所以多出来的那4个小孩分了3x1233x15个枣.甲班每个小孩比乙班每个小孩少分3个枣,4个小孩就少3412个枣,因此我们得到:
5x53x1512,解得x11.
所以,丙班有11个小朋友,乙班有15个小朋友,甲班有19个小朋友;甲班每人分12个枣,乙班每人分15个枣,丙班每人分20个枣.—共分了121915152011673(个)枣.
巩固】有48本书分给两组小朋友,已知第二组比第一组多5人.如果把书全部分给第一组,那么每人
4本,有剩余;每人5本,书不够.如果把书全分给第二组,那么每人3本,有剩余;每人4本,
书不够.问第二组有多少人?
例23】“六一”儿童节,小明到商店买了一盒花球和一盒白球,两盒内的球的数量相等.花球原价1
元钱2个,白球原价1元钱3个.因节日商店优惠销售,两种球的售价都是2元钱5个,结果
小明少花了4元钱,那么小明共买了多少个球?
解析】花球原价1元钱2个,白球原价1元钱3个.即花球原价10元钱20个,白球原价10元钱30个.那么,同样买花球和白球各30个,花球要比白球多花1025(元),共需要30230325
元).现在两种球的售价都是2元钱5个,花球和白球各买30个需要(305)2224(元),
说明花球和白球各买30个能省下25241(元).现在共省了4元,说明花球和白球各有
304120(个),共买了1202240(个).
巩固】有红、黄、绿3种颜色的卡片共有100张,其中红色卡片的两面上分别写有1和2,黄色卡片的两面上分别写着1和3,绿色卡片的两面上分别写着2和3.现在把这些卡片放在桌子上,让每
张卡片写有较大数字的那面朝上,经计算,各卡片上所显示的数字之和为234.若把所有卡片正反面翻转一下,各卡片所显示的数字之和则变成123.问黄色卡片有多少张?
例24】四
(2)班在这次的班级评比中,获得了“全优班”的称号.为了奖励同学们,班主任刘老师买了一些铅笔和橡皮.刘老师把这些铅笔和橡皮分成一小堆一小堆,以便分给几位优秀学生.如果每堆有1块橡皮2支铅笔,铅笔分完时橡皮还剩5块;如果每堆有3块橡皮和5支铅笔,橡皮分完时还剩5支铅笔.那么,刘老师一共买了多少块橡皮?
多少支铅笔?
解析】如果增加10支铅笔,则按1块橡皮、2支铅笔正好分完;而按3块橡皮、5支铅笔分,则剩下
10+5=15(支)铅笔,但如果按3块橡皮、6支铅笔分,则正好分完,可以分成:
15十(6—5)=15(堆),
所以,橡皮数为:
15X3=45(块),铅笔数为:
15X6—10=80(支).
巩固】小白兔和小灰兔各有若干只.如果5只小白兔和3只小灰兔放到一个笼子中,小白兔还多4只,小灰兔恰好放完;如果7只小白兔和3只小灰兔放
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