专升本高数真题及答案.docx
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专升本高数真题及答案
2005年河南省普通高等学校
选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试
高等数学试卷
题号
-一一
-——二
-——三
四
五
六
总分
核分人
分数
得分
评卷人
一、单项选择题(每小题2分,共计60分)
在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案,并将其代码写在题
干后面的括号内。
不选、错选或多选者,该题无分•
解:
对方程xy=exy两边微分得xdy•ydx=exy(dx•dy),
即(y—ex为)dx=(ex旳_x)dy,
(y-xy)dx=(xy-x)dy,所以主二必卫,应选A.
dyy(1-x)
8.设函数f(x)具有任意阶导数,且f(x)=[f(x)],则f(n)(x)=()
A.n[f(x)]n1B.n!
[f(x)]n1
C.(n1)[f(x)]n1D.(n1)!
[f(x)]n
解:
f(x)=2f(x)f(x)=2[f(x)]'二f(x)=23f2(x)f(x)=3[f(x)]4,……二f(n)(x)=n!
[f(x)]n\应选B.
9.下列函数在给定的区间上满足罗尔定理的条件是()
A.f(x)=1-x?
[-1,1]B.f(x)=xe»,[-1,1]
1
C.f(x)F,[-1,1]D•f(x)=|x|,[—1,1]
1-x
解:
由罗尔中值定理条件:
连续、可导及端点的函数值相等来确定,只有
f(x)=1-x2,[-1,1]满足,应选A.
10.设f(x)=(x-1)(2x1),x(」:
,:
:
),则在(丄,1)内,f(x)单调()
2
A.增加,曲线y=f(x)为凹的B.减少,曲线y=f(x)为凹的
C.增加,曲线y=f(x)为凸的D.减少,曲线y=f(x)为凸的
1
解:
在(孑1)内,显然有f(x)=(x-1)(2x•1):
:
:
0,而f(x)=4x-10,故函
11.
(
A.
C.
解:
12.
解:
)
只有垂直渐近线B.
.既有垂直渐近线,又有水平渐近线,
limy=1=y
X
只有水平渐近线
D.无水平、垂直渐近线应选C.
设参数
A.
-^D.
3比_I
dx
C.
b
_~~2~~3~
asint
b
a2sintcos21
bcost
—
x/asint
d2y
dx2
11
13.若f(x)exdx=ex
A.-1
B.
解:
14.
bcost「
i
b1 X ・2 asint f(x) C. 1 两边对x求导f(x)ex二ex( .f(x)dx二F(x)C 1 ~2 x -asint ( A. C. ) F(sinx)C F(cosx)C B. D. bcost「dt i汉—— \、asint丿tdx 2b3,应选sint B. D. )=f(x) 1 ~2 x 则 应选B. cosxf(sinx)dx= -F(sinx)C-F(cosx)C 解: cosxf(sinx)dx二f(sinx)d(sinx)二F(sinx)C,应选A. 15.下列广义积分发散的是 112dxB.0 -bo A.- 01x 1dxC. •1-x2 : : ^dxD.ex -be e"dx 解: 16. arcsinx 严lnx12 1dx=(lnx) ■bo. -bo /—x・—x =00。 [edx=—e ex2 0 e o 11 Kdx 0=1,应选 1〒dx=arctanx 1x2 七cJI 0匚 C. 1 _1x|x|dx二 242 2C.4D.-兰 333 解: 被积函数x|x|在积分区间[-1,1]上是奇函数,应选A. A.0 B. a 17.设f(x)在[_a,a]上连续,则定积分f(_x)dx二 J_a ( ) aaa A.OB.2qf(x)dxC.一卫f(x)dxD.』f(x)dx at=_u__aaa、 解: f(-x)dxf(u)d(-u)f(u)duf(x)dx,应选D. .a昭巴a巴a 18. 设f(x)的一个原函数是sinx,则f(x)sinxdx二() 11 A._xsin2xC B. 11 xsin2xC 22 24 C.】sin2x D. sinx'C 2 2 解: (sinx)二f(x)-■ f(x)二cosx= f(x)二-sinx 19.设函数f(x)在区间[a,b]上连续,则不正确的是() bx A.[f(x)dx是f(x)的一个原函数B.f(t)dt是f(x)的一个原函数 a C.xf(t)dt是-f(x)的一个原函数D.f(x)在[a,b]上可积 bb 解: ff(x)dx是常数,它的导数为零,而不是f(x),即Jf(x)dx不是f(x)的原 a■a 函数,应选A. 20.直线口二丄Z2与平面x-y-z•仁0的关系是 1-12 () A.垂直B.相交但不垂直C.直线在平面上D.平行 解: s={1,—1,2},n={1,_1,_1)=s_n,另一方面点(3,0,-2)不在平面内,所以应为平行关系,应选D.. 21.函数z=f(x,y)在点(X0,y°)处的两个偏导数.和一存在是它在该点处 excy 可微的 () A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.无关条件 解: 两个偏导数存在,不一定可微,但可微一定有偏导数存在,因此为必要条件,应选B. 应选B. 28. qQqQ 与「Vn收敛,则级数(UnVn)2收敛 n4ng D.若级数-UnVn收敛,则级数V叫与vV.都收敛 程的通解为x=6cosptC2sin伐,应选A. 1.设f(x+1)=x2+2,J则f(x-2)=___ 解: f(x1)=(x1)2-2(x1)3二f(x)=x2-2x3二 f(x-2)=x2-6x11. x2ax-6 2.lim x迄x-2 解: 因lim(x-2)=0=lim(x2ax-6)=0二a=1. xT^2 3.设函数y=arctanx在点(1,n)处的切线方程是 4 X=1 4,则切线方程为v冷(X-1), 即x「2y-1」=0. 2 1 =xXeX,贝qdy= InxInx. ux—XInx =e=dy=ed(- x 4.设y 解: y 1 •x)=x它[書1]dx. m1 解: y"=4x- Xi小 x>0 6.曲线y=e"的拐点是_ _1 解: yf=ex^—尸n 2Jx X3 5.函数y=2x2_Inx的单调递增区间是. 4—_丄0—1—1、卡「1、 X二x>_=(_,+划)或[_,+°°). 222 y,eCx-1)^。 二—=1,得拐点为(1,e). 4x(x 7.设f(x)连续,且qf(t)dt=x,则f(27)= 3 — 解: 等式[f(t)dt=x两边求导有f(x3)3x2=1,取x=3有f(27) 1 8.设f(0)=1,f (2)=2,f (2)=3,贝U°xf(2x)dx二 ,则 12.设—=InZzy 解: 令F=~-InZ zy Z: z 十= -: x: : y X-Inzlny,则z 11 F,_-F*_—F『_ xyz y z z -: zFx 「花 13.设D是由 .z : y y=.1 x1xz zz 一上 2z 2 z 所以竺+竺=z(y+z). Fzy(xz) -x2,y=x,y=0,所围成的第一象限部分,则 y2 ()dxdyD 3 14. 将f(x)=—J展开为x的幕级数是_ 2+x-x 3311111 解: f(x)y 2+x—x2(1+x)(2—x)1+x2—x1+x2[_? 2 远1辺x处1I 所以f(x)八(-X)n--£)n八(_1)nxn,(J n=02n=02n=0_2 15.用待定系数法求方程y”-4y*4y=(2x•1)e2x的特解时,特解应设为 解: 2是特征方程f-4「4=0的二重根,且(2x1)是一次多项式,特解应设为 22x x(AxB)e 解: lim 1.lim x50.1xsinx-、cosx xsinxcosx) =limlim(-1 xt1-xsinx-cosx 0 0 二2lim2lim x「°1xsinx-cosx2sinxxcosx x2 2x 0114 4lim4. x—03cosx_xsinx33 2.已知y= ‘‘3x-2'2卡dy Xz0 f(x)=arctanx,求一(5x+2丿dx 解: 令3x-2=u,则y=f(u), 5x+2 dydydu = dxdudx 所以包 dx 3.求不定积分 打/、’3x-2) =f(u)I l5x+2.丿 丄彳16人n =arctan124n 224 3 f.xdx. 、1x2 16 2, "rctani#— (5x+2丿(5x+2) 3 解: 一X—dx= "x2 =x21x2 Jx2亠 /+x2 x2 -.1x2d(x2).1x2-2(1x2)2 3 In(1+x),x=0 4.设f(x)二1 =x2,1x2i一1x2d(1x2) f(x-1)dx. x: 0 2x 2 解: 令X-1=t,则of(x-1)dx二 11——dt+(ln(1+t)dt 1tIdt01t 1)dt 1t 1 0-3ln2-1. 1 4f(t)dt 01( 二」(t)dt0f(t)dt二 0 42t 0|1 =ln(2十t)|」+tln(1十叽 =2ln2—t 1 一0(1 ln(1t) 解: 令exsiny=u,x .z: z: u: z: v =X十X : x: u: x: v: x 二exsinyfu(u,v)2xfv(u,v), // -'z: z: u: z: V ——=——X——+——X—— : y_u;y: vjy 二excosyfu(u,v)2yfv(u,v). 2 x 6.求! ! -^dxdy,其中D是由xy=1,y二x及x=2所围成的闭区域. □y 解: 积分区域如图05-2所示,曲线xy=1,y=x在第一象限内的交点为(1,1),1 1_x_2,y_x. x 2xx22 1dx—dyJ xy 积分区域可表示为: 2 x 则2dxdy二dy f22-1L dx 1〔xj /42\ XX =— 42 -11 23 =1(x-x)dx 2 9 4* x x2(」) y 图05-2 7. 的收敛域(考虑区间端点)• 求幕级数、「CiLx2n nz02n+1 解: 这是缺项的规范的幕级数, un卅 —hm (―1严严 2n+1 : Un —1II11 n* 2n+3 /八n2n卅 (—1)x 因为p=” 二x2lim二x2, n厂2n3 当p: 1,即-1: : : x: : : 1时,幕级数绝对收敛;当p1,即x1或X: : : -1时,幕级数发散; 当p=1,即x=1时, 若x=1时,幕级数化为「上竺是交错级数,满足来布尼兹定理的条件, n卫2n+1 00/1)n+ 是收敛的,若x=-1时,幕级数化为上匚也是交错级数,也满足来布尼兹 心2n+1 C y=0的通解为、二―2. x+1 设非齐次线性微分方程的通解为y=字,则「2xC(x)2,代入 X2+1X2+1(X2+1)2 方程得C(x)=cosx,所以C(x)=sinx■C. x21 故原微分方程的通解为y二智-(C为任意常数). 50套公寓要出租,当月租金定为2000 100元时,就会多一套公寓租不出去, 最大收入是多少? 解: 设每套公寓租金为x元时,所获收入为y元, 贝Uy=[50-匕200),(x2000), 100 1 整理得y=丄(_x27200x-1400000), 100 1y(_2x7200)均有意义, 100 1 令y=0得唯一可能的极值点x=3600,而此时y—: : : 0,所以x二3600 50 是使y达到极大值的点,即为最大值的点. 最大收入为y二[50-36002000](3600一200)=343400=115600(元).100 故租金定为每套3600元时,获得的收入最大,最大收入为115600元. 2.平面图形由抛物线y2=2x与该曲线在点(*,1)处法线所围成,试求: (1)该平面图形的面积。 ⑵该平面图形绕x轴旋转所成的旋转体的体积. 1 解: 平面图形如图05-3所示,切点AC,1)处的切线斜率为k=y‘1, X 22 由y2=2x得y'丄,故A点处的切线斜率 y k二yx」二yy厂1, ■2 从而A点处的法线斜率为-1, 法线方程为x•y-3=0. 2 [y2=2x9 联立方程组<3得另一交点B(9, x+y__=02 -2 图05-3 y2=2x (1) 把该平面图形看作Y型区域,其面积为 13y2丨3y2y3 \|(—一y)——dy=(―y——一—) *22」226 根据抛物线的对称性知,该平面图形绕 16 x轴旋转所成的旋转体的体积等 于平面图形OBC绕x轴旋转所成旋转体的体积 993 故Vx=n02xdx-n3(x)2dx= 22 2 Tlx 有 /32 n—xx 42 -x3) 3 45 4 得分 评卷人 n81-9] 4 n. 五、证明题(6分) 试证: 当x0时,有: : : in-一: : : -. 1+xxx 证明: 构造函数f(X)=lnx,它在(0,•二)内连续, 1 当x0时,函数在区间[x,1x]上连续,且f(x)=—. x 故f(x)在[x,1x]上满足Lagrange中值定理,存在E(x,x1),使得f(1x)一f(x)=f(E,(x: : : Ex1). 11111 而: : f(E)=-: : -—,故有In(1x)-Inx, 1xEx1xx 11+x1 即x0时,丄.In「二成立. 1xxx 单纯的课本内容,并不能满足学生的需要,通过补充,达到内容的完善 2acosm 从而11f(x,y)d;「=°2d0f(rcosv,r D 26.设L为抛物线y=x2上从0(0,0)到B(1,1)的一段弧,丄2xydxx2dy=() A.-1B.1C.2D.-1 x=x,、” 2,x从0变到1, 解: 积分区域在极坐标系下表示为D={(r,0|0兰9<-,^r<1},则 4
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