全等三角形教材分析.docx

全等三角形教材分析.docx

《全等三角形教材分析.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《全等三角形教材分析.docx（24页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

全等三角形教材分析

教材分析第十一章全等三角形

一、课程学习目标：

1.了解全等三角形的概念和性质,

能够准确地辨认全等三角形中的对应元素;

2.探索三角形全等的判定方法,

能利用三角形全等进行证明,

掌握综合法证明的格式.

3.会作角的平分线,

了解角的平分线的性质,

能利用三角形全等证明角的平分线的性质,

会利用角的平分线的性质进行证明.

二、本章知识结构图：

三、主要内容：

学习概念和性质第一节全等三角形1课时

全等三角形掌握判定方法第二节三角形全等的判定6课时

利用全等三角形证明第三节角平分线的性质2课时

最后复习，共2课时.

四、本章的重点和难点：

理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式.

五、本章的地位和作用：

1.知识衔接：

第十一章全等三角形，是初中数学“空间与图形”领域当中的第四部分，前面分别为图形认识初步、相交线和平行线、三角形，在全等三角形后，将继续学习轴对称知识，八下开始学习勾股定理、四边形，九上学习旋转、圆，九下学习相似、锐角三角函数和投影与试图.

可以说，全等三角形的知识是承前启后的.

首先，它衔接了七下的三角形知识，把原来的简单证明，即三步推理的证明，扩充到了多步的复杂证明.在初次学习全等知识时，要求学生将表示对应元素的字母写在对应位置上，这也是比原来要求高的方面.

接着，在全等学习好的基础上，学生要利用全等的知识进一步接受其他新知.比如，利用全等三角形证明角平分线性质，利用全等三角形证明线段等或角相等，从而证明平行四边形的成立，等等.因此，将全等三角形知识学习好，是为后续很多知识做准备.

第三，从全等三角形开始，图形变得更复杂，因为证明全等，必然要两个三角形或更多，学生要从复杂图形中抽离出所需要的图形，挖掘已知条件，所以在训练这个内容时，要循序渐进，逐步训练.

2.认识过程：

从学习全等三角形的过程来看，跟学习平行线的过程基本一样，都遵循了这样一个过程：

今后学习其他几何图形，基本都遵照这一顺序.

针对本章具体来说：

首先是认识全等形，再认识到全等三角形，这是研究两个三角形之间数量关系的内容，与三角形位置无关.

然后了解全等三角形的性质后，可知“全等三角形的对应边相等，对应角也相等”.于是利用全等三角形可以证明两条线段相等，两个角相等.进一步，利用线段或角的数量关系，可以得到平行、垂直等位置关系.

第三步，掌握如何判定全等三角形.

第四步，开始掌握如何利用全等三角形进行证明，即全等三角形的应用部分.教材首先是用全等三角形证明了角平分线性质，而我们在给学生练习过程中，可以逐步加入证明线段相等，或角相等的例子，等学生掌握后，再添加证明平行或垂直等内容.这样逐步训练达到灵活运用.为了将来平行四边形的学习，现在也可以出些可衔接的例子.

六、教法建议：

根据以上的分析，我对每个小节提出以下的教学建议.

第11.1节全等三角形

【教学重点】

1.了解全等三角形的概念和性质.

2.能准确辨认全等三角形的对应元素.

【教学难点】

准确确定全等三角形的对应元素.

【教学建议】

一、教学流程

【教学设计举例】

因为本章的概念和性质在本节中开始体现，所以以这小节为例，我来详细谈谈如何落实以上各环节，即看看具体的教学设计，供大家参考。

教学环节

师生活动

设计意图和注意事项

课前预习

（1）教师可印发含有几何图形的卷子，并布置预习的问题；

（2）学生要带着问题去看书预习，并用彩纸按照下发的图形卷子，剪出几何图形，上课动手操作用。

（详细的看附件1---第11.1节预习作业）

这是培养学生带着问题读书，同时动手操作来参与学习，与课标中理念相符，所剪的图形是研究全等形和全等三角形概念所用。

环节一

引出全等形概念

（1）用一个五边形和一个正方形进行叠合，问学生是否完全重合？

得出结论：

形状不同的两个图形不能完全重合；

（2）用一个大正方形和一个小正方形进行叠合，问能否完全重合？

得出结论：

大小不同的两个图形也不能完全重合；

（1）、

（2）两个步骤是让学生动手操作得到结论---形状或大小不同的两个图形不能完全重合；

（3）如果满足形状和大小都相同的两个图形能完全重合吗？

（演示全等的五边形和三角形两组）得出肯定结论

（3）强调形状和大小都满足才能够完全重合，选五边形和三角形，是给学生全等形包含很多多边形，不要仅限于三角形.

（4）归纳全等形概念并板书：

能够完全重合的两个图形叫做全等形.

提问：

全等形是研究几个图形的？

（5）看生活中很多完全全等形的例子.

（5）是感知数学和生活的联系.

环节二

引出全等三角形的概念，并介绍对应边、对应角概念

（1）引言：

在全等形的众多图形中，我们遵循由简单到复杂的规律，重点研究全等三角形.同时，前面我们研究了三角形内的重要线段，现在也要研究两个三角形之间的关系了.

由全等形过度到全等三角形，告诉学生研究问题的一般规律.

（2）教师可以用事先剪裁好的三角形纸片在黑板上标记出它的三个顶点，再连成线段得到一个三角形，按照同样办法画出第二个三角形，然后给出已知条件，即这两个三角形是全等三角形，下面接着要用这两个图形研究问题；

要画一个三角形，可以找到它的三个顶点位置，再根据已知三角形各边的长度来画.今后介绍判定方法时可以回顾这个画法，点出其中的道理.

（3）标图：

△ABC与△DEF全等，今后用符号“≌”来表示，即△ABC≌△DEF.然后解释“≌”中的“S”表示形状相同，“=”表示数量相等.

（4）给出对应边和对应角的概念，同时问学生它们和原来学习的“对边”、“对角”有什么不同.

不同点在于：

研究的三角形个数不同；边与边的关系或边与角的关系等等.

这是本节课学生易错点之一.

（5）规定书写格式，即对应顶点写在对应位置.

本章的重点是证明格式，从第一小节开始规范格式，对后面的证明有好处，同时也为后面找对应边和对应角做准备.

环节三

研究全等三角形形质并给出规范格式

（1）当两个三角形全等时，它们的边、角分别具有怎样的性质？

---------引导学生归纳，由于全等三角形研究的是两个三角形的形状大小完全相同的情况，所以全等三角形的性质应该指图形的数量关系.板书文字和符号表达，即

全等三角形的对应边相等，

全等三角形的对应角相等.

用符号表达为：

如图，∵△ABC≌△DEF（已知），

∴AB=DE，AC=DF，BC=EF（全等三角形对应边相等），

∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形对应角相等）.

全等三角形的周长和面积也分别相等.

让学生明白全等三角形研究的是两个图形之间的数量关系.

（2）提出问题：

利用全等三角形的性质我们可以证明线段相等吗？

我们可以证明角相等吗？

如果可以，前提条件是什么？

（3）归纳：

我们还学习过哪些证明角相等或线段相等的方法？

利用全等三角形的性质可以证明线段或角的相等，进而可证明平行、垂直等很多内容，要注意帮学生随时总结、随时归纳，并为今后的学习树立意识.

环节四

介绍全等变换并探索如何准确找到全等三角形的对应边和对应角

（1）观察一对儿全等三角形纸片，教师演示平移、翻折和旋转，然后提问：

在上述过程中，两个三角形的形状、大小发生改变了吗？

得到结论：

平移、翻折和旋转，只改变图形的位置，但不改变图形的形状和大小，因此这些变换前后的两个图形全等。

我们把平移、翻折和旋转称为全等变换.经过全等变换的图形一定全等.

强调了全等是研究三角形的数量关系，与位置无关.

（2）观察下面的全等图形，找出对应边和对应角，并用符号表示出来：

平移的图形中：

重合的边是对应边；平行的边也是对应边；两条对应边的夹角是对应角；

旋转的图形中：

公共的顶点是对应顶点，对顶角是对应角，共线的两边是对应边；

翻折的图形中：

公共边是对应边，对应边所对的角是对应角，公共边两侧的角是对应角；

还有公共角是对应角，不共线的边是对应边.

从最简单的图形找起，归纳一般规律，这些内容无需背诵，学生能根据图形找对即可.

（3）变式识别：

全等变换有时不止一次，如果经过多次变换得到的图形，怎样找对应边和对应角：

看以下图形，先试着用手中的纸片摆摆，再来确定对应边和对应角：

这是经过翻折、平移得到；

这是经过了翻折、旋转得到的；

这是经过翻折、旋转和平移得到的.

等等，教师可让学生利用手中的纸片多摆放图形，

（4）归纳找对应边和对应角的其他方法：

最长（或最短）的边是对应边，最大（或最小）的角是对应角，对应边的夹角是对应角，对应角的对边也一定是对应边等.

动手操作，能加快理解图形的内在联系，为今后证明问题做好准备。

每一种位置都可以让学生说出对应顶点、对应边和对应角.

环节五

小节全课

知识小结：

1.全等形、全等三角形、对应顶点、对应边和对应角概念，2.全等变换概念，3.全等三角形性质；

能力小结：

1.利用图形的拼拼剪剪等操作可以帮助我们研究图形性质，2.根据图形的平移、翻折和旋转等变换找出全等三角形的对应顶点对应边和对应角，3.能用正确的符号表示图形的全等它们的性质；

方法小结：

1.证明线段相等的方法，2.证明角相等的方法，3.找对应顶点、对应边和对应角的方法等.

从知识、能力和方法等方面归纳总结，给学生理清脉络。

环节六

课堂检测

如图所示，已知△ABC绕点B旋转一定角度后得到△△DBE，已知点A和点D是对应顶点，

（1）这两个三角形全等吗？

如果全等，用符号表示出来；

（2）写出所有的对应顶点、对应边和对应角；

（3）如果AB=3cm，那么BD=cm，∠E=55°，那么∠C=°.

给一个或几个简单图形，检查全等的表示方法，检查如何找对应边和对应角，检查全等三角形的主要性质.

课后作业

略

注意：

本节内容很多，多数学生在一节课内完不成，而且前面的设计中还没有给出性质应用的例题（可参考教科书第4页第3题类型给例子），所以建议普通班学生将本节内容安排两节课完成：

课时1：

完成对全等形和全等三角形概念的认识，并探索出找对应顶点、对应边和对应角的方法.

课时2：

针对不同的全等变换，教师给学生多个图形辨认，并找出对应角对应边等，同时给出利用全等三角形性质解题的例题，参考教科书第4页第3题类型，程度好些的学生还可以进一步给出简单的证明线段平行或角相等的例题，但是不宜复杂，现在只需学生有初步认识即可（将课本的第3题进行变式练习，比如添加问题：

哪些线段平行？

为什么？

等等.）

二、其他要注意的内容：

1.书上的习题涉及的图形，都是可以利用平移、翻折或旋转来得到，有的图形是综合三种变换而得.

比如：

平移平移、翻折、旋转

旋转平移、翻折、旋转

旋转翻折、旋转

教师在利用全等三角形进行对应元素辨认时，可以引导学生动手操作，将平移、翻折和旋转充分融合，逐步将图形复杂化.

【突破难点】

如果学生能弄清两个图形是经过了怎样的变换才得到现在的位置，那么他也就能够将图形复原，从而准确找到对应元素.

除了以上各图，教师还可以更多的变换图形，让学生充分体会.

2.对应边、对应角和对边、对角的区别.

对应边或对应角，是指两个三角形之间的元素对应，而对边或对角，是针对同一个三角形内，边或角的对应.在教学中应注意给学生区分.

3.参考习题：

（1）下面是两个全等的三角形，按下列图形的位置摆放，指出它们的对应顶点、对应边、对应角.

【出题意图】

对变换后的不同位置图形进行简单训练找对应元素.

（2）将

沿直线BC平移，得到

，

那么△ABC和△DEF全等吗？

指出他们的对应元素.

【引申】将本题改成翻折、旋转等变换，结论是什么？

分别找出他们的对应元素.

【出题意图】

让学生自己设计变换，将知识巩固.

（3）如图，

AB与AC，AD与AE分别是对应边，已知：

，

求

的大小。

【出题意图】

利用全等三角形的性质，求未知角的度数.

（4）教材第4页，习题11.1第3题，可补充以下问题：

图中有平行线吗？

为什么？

这两个三角形的面积有怎样的数量关系？

他们的周长呢？

【出题意图】

利用全等三角形的性质，求证两直线平行问题，并将周长、面积与全等的性质联系起来.

第11.2节三角形全等的判定

【教学重点】

1.探索三角形全等的条件.

2.利用全等三角形进行证明.

3.掌握综合证明法的格式.

【教学难点】

1.用规范的符号语言书写证明.

2.分析已知条件，得出证明思路.

3.理解探究的过程，接受三角形全等的判定.

【教学建议】

一、教学流程

教材注重让学生经历三角形全等的探索过程，所以先安排了七个探究，其中的一些成为三角形全等的判定方法，而另一些却不能.最后安排了探究8，得出了直角三角形的特殊判定方法.

总体说，每个探究都遵循了下面的流程：

二、其他要注意的内容：

1.在本章的教学中，要渗透分类思想，这8个探究就是最好的体现.但是，怎样让学生能顺利接受这些分类方法，是教师在引导时要注意的.

【突破难点】

问题1：

如果两个三角形全等，那么它们的三组边对应相等，三组角也对应相等，得到六组元素的相等.反之，如果六组元素相等，那么这两个三角形也全等.

问题2：

如果只保留六个条件中的一部分，那么能否保证它们全等？

问题3（即书上探究1）：

满足两个三角形中的一个条件或两个条件，它们能否一定全等？

-----------这里包含很多情况，教师要引导学生分别辨认.

（1）一组边对应相等；

（2）一组角对应相等；

（3）一组边和一组角分别对应相等------包含下面情况：

①一组边对应相等，它们的对角也对应相等；

②一组边对应相等，不是它们对角的一组角对应相等.

问题4：

根据以上分析，得出什么结论？

如果两个三角形只满足一个或两个条件，它们不一定全等.

问题5：

要让两个三角形全等，至少要满足几个条件？

有哪些情况要考虑？

至此，开始研究书上的8个探究.

2.本章的画图和作图.

由于三角形的很多判定都是用画图方法来得到的，因此教材中给出了很多规范的语言叙述，这是在上一学年未曾见过的，因此教师应该利用本章的学习，对几何语言的规范描述进行训练.在学习之初，可以先让学生看懂，然后在后续学习中逐渐应用.

本章涉及的画图或作图有以下一些：

（1）画一条线段等于已知线段；

（2）以一点为圆心，已知线段为半径，画弧；

（3）画一个角等于已知角；-----部分探究用到“画”

（4）在射线上截取一条线段等于已知线段；

（5）作一个角等于已知角.------要求掌握作图方法.在本章中，教学时只要求学生能作出图形，保留作图痕迹，并理解作图的依据是判定三角形全等的边边边条件即可.

（6）作已知角的平分线.---------在下一节中学习

3.推理能力的训练和符号语言的规范.

【突破难点】

本章的难点主要就是证明问题，包括推理的过程和符号语言的规范使用.解决的方法是：

（1）注重减缓坡度，循序渐进.由三步推理逐步扩大到四五步，在这个阶段，要求学生体会例题的证明思路及格式.

（2）在不同的阶段，安排不同的练习，突出一个重点.比如，先让学生证明两个三角形全等，再安排证明全等后，证明两条线段或两个角相等，从而熟悉证明的步骤和方法.

（3）注重分析思路，让学生书写格式，让学生会清楚地表达思考的过程.

分析的口诀是：

要证两条线段相等，可以考虑它们所在的三角形全等.

看已知有什么条件，还缺什么条件，缺什么就找什么.

例如：

课本第17页第12题

已知如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB.

问AE与CE有什么关系？

证明你的结论.

分析：

直观看，AE=CE，因此要证它们所在的三角形全等.已知满足一边相等，还缺一边一角或两角对应相等.但已知给出的是平行条件，因此找角容易，进一步分析得到用AAS或ASA都可证.

【说明】

推理的分析很重要，刚开始要给学生多做例子，并严格要求学生规范书写.这是本章的重点和难点.

4.参考习题：

（1）如图四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，你能把四边形ABCD分成两个相互全等的三角形吗?

你有几种方法?

你能证明你的方法吗?

试一试．

【出题意图】

对SSS判定方法的灵活应用.

（2）已知：

如图AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE

求证：

△ABD≌△ACE

思考：

求证：

1.BD=CE；

2.∠B=∠C；

3.∠ADB=∠AEC.

【出题意图】

可以在简单推理上，稍加难度，添加证明角相等的步骤.同时，引出全等三角形性质的应用.

（3）如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，

另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗

杆底部的距离相等吗？

请说明你的理由。

【出题意图】

利用直角三角形全等的判定，跟实际相结合，激发学习兴趣.

第11.3节角的平分线的性质

【教学重点】

1.会作角的平分线,

2.了解角的平分线的性质,

3.能利用三角形全等证明角的平分线的性质,

4.会利用角的平分线的性质进行证明.

【教学难点】

利用角平分线进行证明.

【教学建议】

一、教学流程

二、其他要注意的问题：

1.在本节中，要求学生能根据命题画出图形，写出已知、求证，并训练学生用符号语言进行规范格式的证明.

2.虽然角平分线的性质和它的逆命题都在教材中提到，但是互逆命题、互逆定理等内容，要在八下“勾股定理”一章中介绍，这是为了保证学生在本章学好简单证明的重点，所以这个可以暂时不提.

3.本节的例题，让学生证明了三角形两条平分线的交点到三角形三边的距离相等，并进一步让学生得出这个交点在第三条角平分线上，即得出三条角平分线交于一点的结论，既承前了原来介绍三角形角平分线概念时，通过画图得到的这一结果，又为后面学习圆那一章中，内心的知识作准备.

4.在习题11.3的第1题中，出现了三角板相关题目，而近几年中考题中也多次出现类似方法的题目，教师可以给学生多见些题目.

5.在处理书上习题时，可从各题的复杂图形中，剥离出基本图形，即角平分线分得的图形：

如图，BD是∠ABC的平分线.DA、DC分别垂直于AB、BC，垂足是A、C.

在这个基本图形中，最后的数量关系包括△ABD≌△CBD，进而很多角和线段就相等，然后周长、面积也相等.

三、参考习题：

1.三角形中，到三边距离相等的点是（）

（A）三条高线交点．（B）三条中线交点．

（C）三条角平分线交点．（D）三角形内任一点．

【出题意图】

将角平分线与三角形其他线段进行对比，突出性质，温故知新.

2.如图，在△ABC中，∠C＝90o，AM是∠CAB的平分线，CM＝20cm，那么M到AB的距离为．

【出题意图】

当出现非基本图形时，训练学生添加辅助线构造基本图形.

3.如图，BD＝CD，BF⊥AC，CE⊥AB．求证：

D在∠BAC的角平分线上．

【出题意图】

与教材例题互相补充，利用角平分线性质的逆命题解决.

七、中考链接：

在中考中，本章的地位很高，分值也很大，除了在中档题中会单独考，在后面的复杂题中，也会在某些线段或角的数量关系上利用全等来得，下面是近三年中考出现的有关全等的问题供老师们参考.

【2010北京中考】

15.已知：

如图，点

在同一条直线上，

，

，

，

．

求证：

．

【2009北京中考】

15.已知：

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，点E在AC上，CE=BC，过E点作AC的垂线，交CD的延长线于点F．

求证：

AB=FC．

【2008北京中考】

15．已知：

如图，

为

上一点，点

分别在

两侧．

，

，

．

求证：

．