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710章课时卷
优化方案·课时作业 第7章 直线和圆的方程高三数学
作业33
第7章 直线和圆的方程
§7.1 直线的方程
1.直线xtan+y=0的倾斜角是( )
A.- B.
C.D.
解析:
选D.k=-tan=tanπ.
2.经过点P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正值,且截距之和最小,则直线的方程为( )
A.x+2y-6=0B.2x+y-6=0
C.x-2y+7=0D.x-2y-7=0
解析:
选B.直线过P(1,4),代入方程后舍去A、D,又在两坐标轴上的截距均为正值,故舍去C.
3.直线l经过第二、三、四象限,l的倾斜角为α,斜率为k,则( )
A.ksinα>0B.kcosα>0
C.ksinα≤0D.kcosα≤0
解析:
选B.由已知直线l经过二、三、四象限⇒l的倾斜角α∈(90°,180°),斜率k<0,所以kcosα>0.
4.(2009年高考安徽卷)直线l过点(-1,2)且与直线2x-3y+4=0垂直,则l的方程是( )
A.3x+2y-1=0B.3x+2y+7=0
C.2x-3y+5=0D.2x-3y+8=0
解析:
选A.所求直线的斜率为-.
∴y-2=-(x+1).
5.(2011年山东名校信息优化卷)已知一动直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积比直线l在纵、横坐标上的截距之和大1,则这个三角形面积的最小值为( )
A.4B.2+
C.4+3D.5+2
解析:
选D.设直线l的方程为+=1(a>0,b>0),则ab=a+b+1,∵a+b≥2,∴ab≥2+1,即()2-4-2≥0,解得≥2+,
∴ab≥×(2+)2,当a=b=2+时,三角形面积的最小值为5+2.
6.(2011年福州市质检)已知曲线y=上一点A(1,1),则该曲线在点A处的切线方程为___.
解析:
y′=()′=-,故曲线在点A(1,1)处的切线的斜率为-1,故所求的切线方程为y-1=-(x-1),即为x+y-2=0.
答案:
x+y-2=0
7.已知{an}是等差数列,a1=15,S5=55,则过点P(3,a2),Q(4,a4)的直线的斜率为___.
解析:
S5=×5=55⇒d=-2,知a2=13,a4=9,所以过点P(3,a2),Q(4,a4)的直线的斜率为=9-13=-4.
答案:
-4
8.若三点A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)共线,则+的值等于________.
解析:
A、B、C三点共线,则B、C所在直线的方程为+=1,故有+=1.∴+=.
答案:
9.△ABC的三个顶点为A(-3,0),B(2,1),C(-2,3),求:
(1)BC所在直线的方程;
(2)BC边上中线AD所在直线的方程;
(3)BC边上的垂直平分线DE的方程.
解:
(1)因为直线BC经过B(2,1)和C(-2,3)两点,由两点式得BC的方程为
=,即x+2y-4=0.
(2)设BC中点D的坐标(x,y),则
x==0,y==2.
BC边的中线AD过点A(-3,0),D(0,2)两点,由截距式得AD所在直线方程为+=1,即2x-3y+6=0.
(3)BC的斜率k1=-,则BC的垂直平分线DE的斜率k2=2,由斜截式得直线DE的方程为y=2x+2.
10.直线l过点P(1,4),分别交x轴的正方向和y轴的正方向于A、B两点.
(1)当|PA|·|PB|最小时,求l的方程;
(2)当|OA|+|OB|最小时,求l的方程.
解:
设直线l的斜率为k.
依题意,l的斜率存在,且斜率为负.
则:
y-4=k(x-1) (k<0).
令y=0,可得A(1-,0);
令x=0,可得B(0,4-k).
(1)|PA|·|PB|=·
=-(1+k2)
=4[()+(-k)]≥8(k<0).
∴当且仅当=k且k<0即k=-1时,
|PA|·|PB|取最小值.
这时l的方程为x+y-5=0.
(2)|OA|+|OB|=(1-)+(4-k)=5-(k+)
=5+(-k+)≥5+4=9.
∴当且仅当-k=且k<0,
即k=-2时,|OA|+|OB|取最小值.
这时l的方程为2x+y-6=0.
11.(探究选做)已知实数x、y满足2x+y=8,当2≤x≤3时,求的最大值与最小值.
解:
如图所示,由已知,点P(x,y)在线段AB上运动,其中A、B两点的坐标分别为A(2,4)、B(3,2),的几何意义是直线OP的斜率.因为kOA=2,kOB=,
所以的最小值为,最大值为2.
作业34
§7.2 两条直线的位置关系
1.(2009年高考上海卷)已知直线l1:
(k-3)x+(4-k)y+1=0与l2:
2(k-3)x-2y+3=0平行,则k的值是( )
A.1或3 B.1或5
C.3或5D.1或2
解析:
选C.∵l1∥l2,
∴-2(k-3)-2(k-3)(4-k)=0,(k-3)(5-k)=0,
∴k=3或5.
2.过点(1,)且与直线x-y=0所成角为60°的直线方程为( )
A.x+y-2=0B.x+y+2=0
C.x=1D.x+y-2=0或x=1
解析:
选D.作图可知x=1符合条件,又由对称性知应为两条,故应选D.
3.(2011年湖南省十二校联考)已知过A(-1,a)、B(a,8)两点的直线与直线2x-y+1=0平行,则a的值为( )
A.5B.2
C.-10D.17
解析:
选B.k=2=,∴a=2.
4.设两直线(m+2)x-y-m-2=0,x+y=0与x轴围成三角形,则( )
A.m≠-2,m≠-3B.m≠-2,m≠-1
C.m≠-3,m≠-1D.m≠-2,m≠3
解析:
选A.两两相交且不可共点
由m=-2时均过(0,0),排除C;
而m=-3时有两条平行,排除B,D.
5.(2011年遵义市调研)若P(2,-1)为圆(x-1)2+y2=25的弦AB的中点,则直线AB的方程为( )
A.2x+y-3=0B.x-y-3=0
C.x+y-1=0D.2x-y-5=0
解析:
选B.圆心O(1,0),∴OP⊥AB.
kOP==-1,∴kAB=1,过P(2,-1)
∴AB:
y-(-1)=(x-2),即x-y-3=0.
6.直线2x+y+2=0与ax+4y-2=0垂直,则其交点坐标为________.
解析:
依题意得-=,a=-2.解方程组得x=-1,y=0,即两直线的交点坐标是(-1,0).
答案:
(-1,0)
7.已知点A(1,-1),点B(3,5),点P是直线y=x上的动点,当|PA|+|PB|的值最小时,点P的坐标是________.
解析:
要使|PA|+|PB|的值最小,P为AB与y=x的交点时取得:
直线AB:
=,∴y=3x-4.由解得P(2,2).
答案:
(2,2)
8.(2010年高考山东卷)已知圆C过点(1,0),且圆心在x轴的正半轴上.直线l:
y=x-1被圆C所截得的弦长为2,则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为________.
解析:
设圆心坐标为(x0,0)(x0>0),由于圆过点(1,0),则半径r=|x0-1|.圆心到直线l的距离为d=.由弦长为2可知:
()2=(x0-1)2-2,
整理得(x0-1)2=4,
∴x0-1=±2,∴x0=3或x0=-1(舍去).
因此圆心为(3,0),由此可求得过圆心且与直线y=x-1垂直的直线方程为y=-(x-3),即x+y-3=0.
答案:
x+y-3=0
9.已知两直线l1:
x+2=0,l2:
4x+3y+5=0及定点A(-1,-2),求过l1、l2的交点且与点A的距离等于1的直线l的方程.
解:
先利用“过l1、l2的交点”写出直线系方程,再根据“l与A点距离等于1”来确定参数.过l1、l2交点的直线系方程是x+2+λ(4x+3y+5)=0,λ是参数.化为(1+4λ)x+3λy+(2+5λ)=0①,由
=1,
得λ=0.代入方程①,得x+2=0.因为直线系方程①中不包含l2,所以应检验l2是否也符合已知条件.因A(-1,-2)到l2的距离为=1,l2也符合要求.
故直线l的方程为x+2=0和4x+3y+5=0.
10.光线沿直线l1:
x-2y+5=0射入,遇直线l:
3x-2y+7=0后反射,求反射光线所在的直线方程.
解:
由得
∴反射点M的坐标为(-1,2).
又取直线x-2y+5=0上一点P(-5,0),设P关于直线l的对称点P′(x0,y0),由PP′⊥l可知,kPP′=-=.
而PP′的中点Q的坐标为(,),
Q点在l上,
∴3·-2·+7=0.
由
得
根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x-2y+33=0.
11.(探究选做)若m,n,a,b∈R且a+2b=4,m+2n+1=0.求证:
≥.
证明:
可以视为点A(m,n)、B(a,b)之间的距离,而由题设得点A、B之间的距离的实质是:
直线x+2y+1=0上一点到直线x+2y=4上一点的距离,而两直线是平行直线,故上述距离的最小值就是两平行直线间的距离.
设A(m,n),B(a,b)分别为l1:
x+2y+1=0,l2:
x+2y=4上的点.
由l1∥l2知,l1,l2间的距离d==.
由两条平行直线上的任意两点的距离不小于两平行直线间的距离,得AB≥d.
故点A(m,n)与点B(a,b)之间的距离不小于,即≥.
作业35
§7.3 简单的线性规划
1.(2010年高考重庆卷)设变量x,y满足约束条件则z=3x-2y的最大值为( )
A.0 B.2
C.4D.6
解析:
选C.作出可行域如图所示,在B(0,-2)点z=3x-2y有最大值,∴z最大值=3×0-2×(-2)=4.
2.若不等式组,表示的平面区域是一个三角形,则a的取值范围是( )
A.a<5B.a≥7
C.5≤a<7D.a<5或a≥7
解析:
选C.由作出平面区域,要使平面区域为三角形,须使y=a界于y=5与y=7之间,但y≠7,故5≤a<7.
3.(2009年高考陕西卷)若x,y满足约束条件目标函数z=ax+2y仅在点(1,0)处取得最小值,则a的取值范围是( )
A.(-1,2)
B.(-4,2)
C.(-4,0]
D.(-2,4)
解析:
选B.作出可行域如图所示,直线ax+2y=z仅在点(1,0)处取得最小值,由图象可知-1<-<2,
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