文科数学解三角形专题高考题练习附答案.docx
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文科数学解三角形专题高考题练习附答案
解三角形专题练习
1、在b、c,向量m2sinB,3,
B
2
nB,且m//n。
cos2,2cos1
2
(I)求锐角B的大小;
(II)如果b2,求ABC的面积
S的最大值。
ABC
2、在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bcosC3acosBccosB.
(I)求cosB的值;
(II)若BABC2,且b22,求a和cb的值.
3、在ABC中,cos
5
A,
5
cos
10
B.
10
(Ⅰ)求角C;
(Ⅱ)设AB2,求ABC的面积.
4、在△ABC中,A、B、C所对边的长分别为a、b、c,已知向量m(1,2sinA),
n(sinA,1cosA),满足m//n,bc3a.
(I)求A的大小;
(II)求sin(B6)的值.
5、△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且有sin2C+3cos(A+B)=0,.
当a4,c13,求△ABC的面积。
6、在△ABC中,角A、B、C所对边分别为a,b,c,已知
11
tanA,tanB,且最长
23
边的边长为l.求:
(I)角C的大小;
(II)△ABC最短边的长.
7、在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,且
cosB
cosC
b
2ac
.
(I)求角B的大小;
(II)若b13,ac4,求△ABC的面积.
8、(2009全国卷Ⅱ文)设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,
3
2,求B.cos(AC)cosB,bac
2
9、(2009天津卷文)在ABC中,BC5,AC3,sinC2sinA
(Ⅰ)求AB的值。
(Ⅱ)求)
sin(2A的值。
4
B
1、
(1)解:
m∥n2sinB(2cos2-1)=-3cos2B
2
2sinBcosB=-3cos2Btan2B=-3⋯⋯4分
2π
π
∵0<2B<π,∴2B=
3,∴锐角B=
3
⋯⋯2分
(2)由tan2B=-3B=
π
或
3
5π
6
π
①当B=时,已知b=2,由余弦定理,得:
3
4=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac(当且仅当a=c=2时等号成立)⋯⋯3分
1
∵△ABC的面积S△ABC=
2acsinB=
3
4ac≤3
∴△ABC的面积最大值为3⋯⋯1分
5π
②当B=
6
时,已知b=2,由余弦定理,得:
4=a2+c2+3ac≥2ac+3ac=(2+3)ac(当且仅当a=c=6-2时等号成立)
∴ac≤4(2-3)⋯⋯1分
1
∵△ABC的面积S△ABC=
2acsinB=
1
4ac≤2-3
∴△ABC的面积最大值为2-3⋯⋯1分
2、解:
(I)由正弦定理得a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC,
则2RsinBcosC6RsinAcosB2RsinCcosB,
故sinBcosC3sinAcosBsinCcosB,
可得sinBcosCsinCcosB3sinAcosB,
即sin(BC)3sinAcosB,
可得sinA3sinAcosB.sinA0,
又
因此
cosB
1
3
.
⋯⋯⋯⋯6分
(II)解:
由BABC2,可得acosB2,
又cosB
1
3
故ac
6,
由
b
2
2
a
c
2
2ac
cos
B,
可得
a
2
2
c
12,
2
所以(ac)0,即ac,
所以a=c=6
cosA
5
5
,
cos
B
10
10
,得
A、B0,
2
3、(Ⅰ)解:
由
,所以
23
sinA,sinB.
510
⋯⋯3分
cosCcos[(AB)]cos(AB)cosAcosBsinAsinB
因为
2
2
⋯6分
且0C故
C.
4
⋯⋯⋯⋯7分
(Ⅱ)解:
根据正弦定理得
ABACABsinB6
AC
sinCsinBsinC10,⋯⋯⋯⋯..10分
16
ABACsinA.
所以ABC的面积为
25
2AA⋯⋯2分4、解:
(1)由m//n得2sin1cos0
2AA
即2coscos10
1
cosA或cosA
2
1
⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
A
A是ABC的内角cos1舍去3
A
⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
(2)bc3a
3
sinBsinC3sinA
由正弦定理,2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分
BC
2
3
2
sinBsin(B)
3
3
2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分
3
2
33
cosBsinB即
22
sin(B)
6
3
2
5、解:
由sin2C3cos(AB)0且ABC
3
2sinCcosC3cosC0所以,cosC0或sinC
有2
⋯⋯6分
3
a4,c13,有ca,所以只能sinC,则C
由23
,⋯⋯8分
2a2b2abCb2bbb由余弦定理2cos430,13
c有解得或
当
11
b3时,SabsinC33当b1时,SabsinC
22
3.
6、解:
(I)tanC=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)
11
tanAtanB23
1tanAtanB1
11
23
1
3
C
∵0C,∴4⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分
(II)∵0 ∴最短边为b,最长边长为c⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分 tanB 1 3 ,解得 sinB 10 10 由⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分 bc b 10 1 cB sin105 sinC25 由sinBsinC,∴ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分 2 ab c sinAsinBsin C 2R 7、解: (I)解法一: 由正弦定理 得 a2RsinA,b2RsinB,cR2sinC 将上式代入已知 cosB cosC bcosB 得 2accosC2 sinB sinAsinC 即2sinAcosBsinCcosBcosCsinB0 即2sinAcosBsin(BC)0 ∵ABC,∴sin(BC)sinA,∴2sinAcosBsinA0 ∵ 1 sinA≠0,∴cosB, 2 ∵B为三角形的内角,∴ B 2 3. 解法二: 由余弦定理得 222222 acbabc cosBcosC , 2ac2ab 将上式代入 cosB cosC 222 bacb 得× 2ac2ac 2ab 222 abc b 2ac 222 整理得acbac ∴ cosB 222 acb ac 2ac2ac 1 2 ∵B为三角形内角,∴ B 2 3 (II)将 b13ac4B ,, 2 3 2222cos得 代入余弦定理bacacB 2()222cos, bacacacB ∴ 1 13162ac (1),∴ac 2 3 ∴ 1 SABCacsinB △ 2 3 4 3 . 8、解析: 本题考查三角函数化简及解三角形的能力,关键是注意角的范围对角的三角 3 函数值的制约,并利用正弦定 理得到sinB=2(负值舍掉),从而求出B=3。 3 解: 由cos(AC)+cosB=及B=π(A+C)得 2 3 cos(AC)cos(A+C)= 2, 3 cosAcosC+sinAsinC(cosAcosCsinAsinC)= 2, 3 sinAsinC= 4. 又由 2 b=ac及正弦定理得 2 sinBsiAnsCin, 故 23 sinB 4 , sinB 3 2 或 sinB 3 2 (舍去), π2 π 于是B=3 3 或B=. 又由 2 bac知ba或bc π 所以B=3 。 ABBC 9、【解析】 (1)解: 在ABC中,根据正弦定理,A sinCsin,于是 AB BC sinC2BC sinA 2 5 22 ABACBC cosA (2)解: 在ABC中,根据余弦定理,得ABAC 2 2 5 2 于是sinAA=5 1cos , 43 sin2A2sinAcosA,cos2Acossin 2AA 2 从而55 sin(2A)sin2Acoscos2A 44 sin 4 2 10
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