第五章 2 实际问题中的函数模型.docx
- 文档编号:18495114
- 上传时间:2023-08-18
- 格式:DOCX
- 页数:25
- 大小:207.41KB
第五章 2 实际问题中的函数模型.docx
《第五章 2 实际问题中的函数模型.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《第五章 2 实际问题中的函数模型.docx(25页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
第五章2实际问题中的函数模型
§2 实际问题中的函数模型
学习目标
1.能利用已知函数模型求解实际问题.2.能自建确定性函数模型解决实际问题.
3.了解建立拟合函数模型的步骤,并了解检验和调整的必要性.
知识点一 实际问题的函数刻画
设自变量为x,函数为y,并用x表示各相关量,然后根据问题的已知条件,运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式,将实际问题转化为数学问题,实现问题的数学化,即所谓建立数学模型.
思考 世界上很多事物间的联系可以用函数刻画,在试图用函数刻画两个变量的联系时,需要关注哪些要点?
答案 先确定两个变量是谁;再看两个变量之间的对应关系是否满足函数定义;如果满足,就要考虑建立函数关系式.
知识点二 用函数模型解决实际问题
用函数模型解决实际问题的步骤:
(1)审题:
弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,用函数刻画实际问题,初步选择模型.
(2)建模:
将文字语言转化为数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型.
(3)求模:
求解数学模型,得到数学结论.
(4)还原:
利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中.
可将这些步骤用框图表示如下:
1.实际问题中两个变量之间一定有确定的函数关系.( × )
2.在选择实际问题的函数模型时,必须使所有的数据完全符合该函数模型.( × )
3.函数模型中,要求定义域只需使函数式有意义.( × )
4.用函数模型预测的结果和实际结果必须相等,否则函数模型就无存在意义了.( × )
一、用函数图象刻画变化过程
例1
(1)某工厂6年来生产某种产品的情况是:
前3年年产量的增长速度越来越快,后3年年产量保持不变,则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是( )
答案 A
解析 前3年年产量的增长速度越来越快,说明呈高速增长,只有A,C图象符合要求,而后3年年产量保持不变,故选A.
(2)(多选)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程.下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中错误的有( )
A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米
B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油量最多
C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油
D.某城市机动车最高限速80千米/小时,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油
答案 ABC
解析 根据图象所给数据,逐个验证选项.
根据图象知,当行驶速度大于40千米/小时时,消耗1升汽油,乙车最多行驶里程大于5千米,故选项A错误;以相同速度行驶时,甲车燃油效率最高,因此以相同速度行驶相同路程时,甲车消耗汽油最少,故选项B错误;甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升,行驶1小时,里程为80千米,消耗8升汽油,故选项C错误;最高限速80千米/小时,丙车的燃油效率比乙车高,因此相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油,故选项D正确.
反思感悟 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法:
当根据题意易构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选图象.
(2)验证法:
根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选择出符合实际情况的答案.
跟踪训练1 如图1是某公共汽车线路收支差额y(元)与乘客量x的图象.
(1)试说明图1中点A、点B以及射线AB上的点的实际意义;
(2)由于目前本条线路亏损,公司有关人员提出了两种扭亏为盈的建议,如图2,3所示.你能根据图象,说明这两种建议的意义吗?
(3)此问题中直线斜率的实际意义是什么?
(4)图1、图2、图3中的票价分别是多少元?
解
(1)点A表示无人乘车时收支差额为-20元,点B表示有10人乘车时收支差额为0元,线段AB上的点表示亏损,AB延长线上的点表示盈利.
(2)图2的建议是降低成本,票价不变,图3的建议是提高票价.
(3)斜率表示票价.
(4)图1,2中的票价是2元.图3中的票价是4元.
二、已知函数模型的实际问题
例2 声强级Y(单位:
分贝)由公式Y=10lg
给出,其中I为声强(单位:
W/m2).
(1)平常人交谈时的声强约为10-6W/m2,求其声强级;
(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝,求能听到的最低声强为多少?
(3)比较理想的睡眠环境要求声强级Y≤50分贝,已知熄灯后两位同学在宿舍说话的声强为5×10-7W/m2,问这两位同学是否会影响其他同学休息?
解
(1)当声强为10-6W/m2时,
由公式Y=10lg
得Y=10lg
=10lg106=60(分贝).
(2)当Y=0时,由公式Y=10lg
得10lg
=0,
所以
=1,即I=10-12W/m2,
则最低声强为10-12W/m2.
(3)当声强为5×10-7W/m2时,声强级为
Y=10lg
=10lg(5×105)=50+10lg5(分贝),因为50+10lg5>50,
所以这两位同学会影响其他同学休息.
反思感悟 求解所给函数模型解决实际问题的关注点
(1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数.
(2)根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数.
(3)利用该模型求解实际问题.
跟踪训练2 有甲、乙两种商品,经营销售这两种商品所获得的利润依次为Q1万元和Q2万元,它们与投入的资金x万元的关系是Q1=
x,Q2=
.现有3万元资金投入使用,则对甲、乙两种商品如何投资才能获得最大利润?
解 设对甲种商品投资x万元,则对乙种商品投资(3-x)万元,总利润为y万元.
所以Q1=
x,Q2=
.
所以y=
x+
(0≤x≤3),
令t=
(0≤t≤
),则x=3-t2.
所以y=
(3-t2)+
t=-
2+
.
当t=
时,ymax=
=1.05(万元),
即x=
=0.75(万元),
所以3-x=2.25(万元).
由此可知,为获得最大利润,对甲、乙两种商品的资金投入分别为0.75万元和2.25万元,共获得利润1.05万元.
三、构建函数模型的实际问题
例3 已知某公司生产某款手机的年固定成本为40万美元,每生产1万只还需另投入16万美元.设该公司一年内共生产该款手机x万只并全部销售完,每万只的销售收入为R(x)万美元,且R(x)=
(1)写出年利润W(万美元)关于年产量x(万只)的函数解析式;
(2)当年产量为多少万只时,该公司在该款手机的生产中所获得的年利润最大?
并求出最大年利润.
解
(1)当0 W=xR(x)-(16x+40)=-6x2+384x-40, 当x>40时, W=xR(x)-(16x+40)=- -16x+7360. 所以W= (2)①当0 所以当x=32时,Wmax=6104; ②当x>40时,W=- -16x+7360, 由于 +16x≥2 =1600, 当且仅当 =16x,即x=50∈(40,+∞)时,取等号, 所以W取最大值5760. 综合①②,当年产量为32万只时,年利润最大为6104万美元. 反思感悟 自建模型时主要抓住四个关键: “求什么,设什么,列什么,限制什么”. 求什么就是弄清楚要解决什么问题,完成什么任务. 设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素,谁是核心因素,通常设核心因素为自变量. 列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来,可以是方程、函数、不等式等. 限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件,在实际问题中,除了要使函数式有意义外,还要考虑变量的实际含义,如人不能是半个等. 跟踪训练3 某摩托车生产企业,上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为1000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适度增加投入成本,若每辆车投入成本增加的比例为x(0 (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式; (2)为使本年度的年利润比上年有所增加,问投入成本增加的比例x应在什么范围? 解 (1)由题意得 y=[1.2×(1+0.75x)-1×(1+x)]×[1000×(1+0.6x)](0 整理,得y=-60x2+20x+200(0 (2)要保证本年度的利润比上年度有所增加, 根据题意必须满足 即 解不等式组,得0 . 故为保证本年度的年利润比上年度有所增加,投入成本增加的比例x的取值范围是0 . 与数据拟合有关的数学建模问题 典例 某学习小组在暑期社会实践活动中,通过对某商场一种品牌服装销售情况的调查发现: 该服装在过去的一个月内(以30天计)每件的销售价格P(x)(百元)与时间x(天)的函数关系近似满足P(x)=1+ (k为正常数).日销售量Q(x)(件)与时间x(天)的部分数据如下表所示: x(天) 10 20 25 30 Q(x)(件) 110 120 125 120 已知第10天的日销售收入为121百元. (1)求k的值; (2)给出以下四种函数模型: ①Q(x)=ax+b,②Q(x)=a|x-25|+b,③Q(x)=a·bx,④Q(x)=a·logbx.请你根据上表中的数据,从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量Q(x)(件)与时间x(天)的关系,并求出该函数的解析式; (3)求该服装的日销售收入f(x)(1≤x≤30,x∈N+)(百元)的最小值. 解 (1)依题意知第10天的日销售收入为 P(10)·Q(10)= ×110=121,解得k=1. (2)由表中的数据知,当时间变化时,日销售量有增有减并不单调,故只能选②Q(x)=a|x-25|+b. 从表中任意取两组值代入可求得Q(x)=125-|x-25|(1≤x≤30,x∈N+),经检验,其他数据也符合该解析式,故该函数的解析式为Q(x)=125-|x-25|(1≤x≤30,x∈N+). (3)由 (2)知 Q(x)=125-|x-25| = ∴f(x)=P(x)·Q(x)= 当1≤x<25时,y=x+ 在[1,10]上单调递减,在[10,25)上单调递增,所以当x=10时,f(x)取得最小值,且f(x)min=121; 当25≤x≤30时,y= -x为减函数,所以当x=30时,f(x)取得最小值,且f(x)min=124. 综上所述,当x=10时,f(x)取得最小值,且f(x)min=121. 从而,该服装的日销售收入的最小值为121百元. [素养提升] 利用直观想象选择待建函数模型,通过数学运算检验数据的拟合效果,体现了直观想象,数据分析,函数建模的数学素养. 1.一辆汽车从甲地开往乙地,中途曾停车休息了一段时间,如果用横轴表示时间t,纵轴表示汽车行驶的路程s,那么下面四个图中,较好地反映了s与t的函数关系的是( ) 答案 C 解析 易知s随t的增大而增大,因在中途休息了一段时间,故这段时间s不变. 2.某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示,则可选择的模拟函数模型是( ) A.y=ax+bB.y=ax2+bx+c C.y=aex+bD.y=alnx+b 答案 B 3.若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%,设质量为1的镭经过x年后剩留量为y,则x,y的函数关系是( ) A. B.y=(0.9576)100x C.y= xD. 答案 A 4.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)= x2+2x+20(万元).一万件售价为20万元,为获取更大利润,该企业一个月应生产该商品数量为______万件. 答案 18 解析 利润L(x)=20x-C(x)=- (x-18)2+142, 当x=18时,L(x)有最大值. 5.用长度为24m的材料围一矩形场地,中间加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为________m. 答案 3 解析 设隔墙的长度为x(0 则y=x× =2x(6-x)=-2(x-3)2+18, ∴当x=3时,y最大. 1.知识清单: (1)实际问题的函数刻画. (2)用函数模型解决实际问题. (3)数据拟合与函数建模的优劣. 2.方法归纳: 数学建模. 3.常见误区: 实际问题中一是要注意自变量的取值范围,二是要检验所得结果,最后要将数学问题还原为实际问题. 1.一辆汽车在某段路途中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示,那么图象所对应的函数模型是( ) A.分段函数B.二次函数 C.指数型函数D.对数型函数 答案 A 2.某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示. 时间 1 2 3 4 利润(千元) 2 3.98 8.01 15.99 现构建一个销售这种空调的函数模型,应是下列函数中的( ) A.y=log2xB.y=2x C.y=x2D.y=2x 答案 B 解析 逐个检验可得答案为B. 3.拟定从甲地到乙地通话m分钟的话费由f(m)= 给出,其中[m]是不超过m的最大整数,如: [3.74]=3,从甲地到乙地通话5.2分钟的话费是(单位: 元)( ) A.3.71B.4.24C.4.77D.7.95 答案 C 解析 f(5.2)=1.06×(0.5×[5.2]+2)=4.77. 4.(多选)某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示,则下列说法中正确的有( ) A.收入最高值与收入最低值的比是3∶1 B.结余最高的月份是7月 C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同 D.前6个月的平均收入为40万元 答案 ABC 解析 由题图可知,收入最高值为90万元,收入最低值为30万元,其比是3∶1,故A正确;由题图可知,7月份的结余最高,为80-20=60(万元),故B正确;由题图可知,1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同,故C正确;由题图可知,前6个月的平均收入为 ×(40+60+30+30+50+60)=45(万元),故D错误. 5.某公司为激励创新,计划逐年加大研发奖金投入.若该公司2016年全年投入研发奖金130万元.在此基础上,每年投入的研发奖金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是(参考数据: lg1.12≈0.05,lg1.3≈0.11,lg2≈0.30)( ) A.2018年B.2019年 C.2020年D.2021年 答案 C 解析 设第x年的研发奖金为200万元, 则由题意可得130×(1+12%)x=200, ∴1.12x= , ∴x=log1.12 =log1.1220-log1.1213 = - = ≈ =3.8. 即3年后不到200万元,第4年超过200万元,即2020年超过200万元. 6.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为________________. 答案 -1 解析 设年平均增长率为x,则(1+x)2=(1+p)(1+q), ∴x= -1. 7.已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y=alog3(x+1),设这种动物第2年有100只,到第8年它们发展到________只. 答案 200 解析 由题意知100=alog3(2+1), ∴a=100,∴y=100log3(x+1). 当x=8时,y=100log39=200. 8.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运,据市场分析,每辆客车营运的总利润y(万元)与营运年数x的关系如图所示(抛物线的一段),则为使其营运年平均利润最大,每辆客车营运年数为________. 答案 5 解析 根据图象求得y=-(x-6)2+11, ∴年平均利润 =12- , ∵x+ ≥10,当且仅当x=5时等号成立. ∴要使平均利润最大,客车营运年数为5. 9.在经济学中,函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x).某公司每月最多生产100台报警系统装置,生产x台(x∈N+)的收入函数为R(x)=3000x-20x2(单位: 元),其成本函数为C(x)=500x+4000(单位: 元),利润是收入与成本之差. (1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)的解析式,并指出它们的定义域; (2)利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)是否具有相同的最大值? 说明理由. 解 (1)由题意知,P(x)=R(x)-C(x) =3000x-20x2-(500x+4000) =-20x2+2500x-4000, 其定义域为{x∈N+|1≤x≤100}; MP(x)=P(x+1)-P(x) =-20(x+1)2+2500(x+1)-4000-(-20x2+2500x-4000)=2480-40x, 其定义域为{x∈N+|1≤x≤99}. (2)因为P(x)=-20 2+74125, 所以当x=62或x=63时,P(x)取得最大值为74120. 因为MP(x)=2480-40x是减函数, 所以当x=1时,MP(x)取得最大值为2440. 所以利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)不具有相同的最大值. 10.根据市场调查,某种新产品投放市场的30天内,每件销售价格P(元)与时间t(天)的关系如图所示(折线部分),日销售量Q(件)与时间t(天)之间的对应关系如表所示. t/天 5 15 20 30 Q/件 35 25 20 10 (1)求出该产品每件销售价格P与时间t的函数解析式; (2)直接写出日销售量Q与时间t的一个函数解析式;(函数关系只限于一次函数、二次函数、反比例函数) (3)在这30天内,哪一天的日销售金额最大? 注: 日销售金额=每件销售价格×日销售量. 解 (1)由图象可知,当0≤t≤20时,每件销售价格P与时间t的关系为一次函数. 设P=at+b, 则 解得 所以P=t+30. 当20 所以,每件销售价格P与时间t的函数解析式为 P= (2)日销售量Q与时间t的一个函数解析式为 Q=-t+40(0≤t≤30). (3)设日销售金额为y, 则y= 当0≤t≤20时, y=-t2+10t+1200=-(t-5)2+1225, 当t=5时,ymax=1225; 当20 综上可知,当t=5时,ymax=1225,即第五天日销售金额最大为1225元. 11.某位股民购进某只股票,在接下来的交易时间内,他的这只股票先经历了3次涨停(每次上涨10%),又经历了3次跌停(每次下降10%),则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( ) A.略有亏损 B.略有盈利 C.没有盈利也没有亏损 D.无法判断盈亏情况 答案 A 解析 由题意可得(1+10%)3(1-10%)3=0.970299≈0.97<1.因此该股民这只股票的盈亏情况为略有亏损. 12.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,如图,为降低消耗,开源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用,当截取的矩形面积最大时,矩形两边长x,y分别为________. 答案 15,12 解析 由三角形相似得 = , 得x= (24-y), ∴S=xy=- (y-12)2+180(8≤y<24). ∴当y=12时,S有最大值,此时x=15. 13.某种细菌经30分钟数量变为原来的2倍,且该种细菌的繁殖规律为y=ekt,其中k为常数,t表示时间(单位: 小时),y表示繁殖后细菌总个数,则k=________,经过5小时,1个细菌通过繁殖个数变为________. 答案 2ln2 1024 解析 由题意知,当t= 时,y=2,即2= ∴k=2ln2, ∴y=e2tln2=22t. 当t=5时,y=210=1024. 即经过5小时,1个细菌通过繁殖个数变为1024. 14.某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形,腰与底边夹角为60°(如图),考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其横断面要求面积为9 平方米,且高度不低于 米.记防洪堤横断面的腰长为x米,外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米.要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小),则防洪堤的腰长x=________米. 答案 2 解析 由题意可得BC= - (2≤x<6), ∴y= + ≥2 =6 . 当且仅当 = (2≤x<6),即x=2 时等号成立. 15.某农贸市场出售西红柿,当价格上涨时,供给量相应增加,而需求量相应减少,具体调查结果如下表: 表1 市场供给表 单价(元/kg) 2 2.4 2.8 3.2 3.6 4 供给量(1000kg) 50 60 70 75 80 90 表2 市场需求表 单价(元/kg) 4 3.4 2.9 2.6 2.4 2 需求量(1000kg) 50 60 65 70 75 80 根据上面提供的信息,市场供需平衡点(即供给量和需求量相等时的单价)应在下列哪个区间内( ) A.(2.3,2.4)B.(2.4,2.6) C.(2.6,2.8)D.(2.8,2.9) 答案 C 解析 当供给量与需求量均为70时,供给单价和需求单价相差最小为0.2,其他的均大于0.2,所以价格在(2.6,2.8)时最有可能达到供需平衡,故选C. 16.某医院研究开发了一种新药,据检测,如果成人按规定的剂量服用,服药后每毫升血液中的含药量y(单位: μg)与服药后的时间t(单位: h)之间近似满足图中的曲线,其中OA是线段,曲线ABC是函数y=kat(t≥1,a>0,且k与a是常数)的图象. (1)写出服药后y关于t的函数关系式; (2)据测定,每毫升血液中含药量不少于2μg时治疗疾病有效,假如某病人第一次服药为早上6: 00,为了保持疗效,第二次服药最迟应在当天几时? 解 (1)当0≤t<1时,y=8t; 当t≥1时,将A(1,8),B(2,4 )代入y=kat, 得a= ,k=8 . 所以y= (2)设第一次服药后最迟经过th第二次服药, 依题意有t≥1. 所以8 × t=2, 解得t=5. 因此第二次服药最迟应在第一次服药后5h,即当天上午11: 00服药.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 第五章 实际问题中的函数模型 第五 实际问题 中的 函数 模型
![提示](https://static.bingdoc.com/images/bang_tan.gif)