第六讲相遇问题教案.docx
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第六讲相遇问题教案
四年级奥数教案
第六讲行程问题
(一)——相遇问题
从这一讲开始,我们讲涉及到“行程问题”,行程问题是研究速度、路程、时间三个量的关系问题。
行程问题的基本关系式为:
速度×时间=路程路程÷速度=时间路程÷时间=速度
行程问题按照运动方向来分,可分为反向运动(相向相遇和反向相离),同向运动(追及问题)。
这一讲我们先学习行程问题中一典型问题——反向运动问题,即在同一道路上的两个运动物体作方向相反的运动问题。
它包括相遇问题和相背问题。
所谓相遇问题,指的是上述两个物体以不同的点作为起点作反向运动的问题;所谓相背问题是指两个物体以同一点作为起点作背向运动的问题。
在解决反向运动问题时,要注意以下几点:
(1)弄清题意,要抓住速度和,时间,路程三者的关系来分析;
(2)对较复杂的反向运动问题,要借助直观图来帮助理解题意;
(3)解题时要注意运用假设,设数的思考方法;
(4)要善于从整体上把握题意,找准解题的突破口。
通过本讲学习,要求学生掌握相遇问题的解题方法,会借助线段图直观的解决各种复杂的相遇问题,为学好行程问题打下基础。
解题技巧:
要注意一些重点词语:
相向、相背、同向、同时、相遇、相遇又相距、相距等,从重点语句中理解题意画出线段图,分析数量关系,最终找到解题方法。
第一课时
教学时间:
教学内容:
掌握简单的相遇问题
教学目标:
理解和掌握简单的相遇问题
教学重点:
掌握相遇问题的基本公式
教学难点:
利用公式求简单的相遇问题
教学过程:
一、谈话导入。
今天我们来学习行程问题当中的相遇问题,它属于反向运动中的一种,下面我们就通过一个例子来给大家讲叙怎样解决相遇问题。
例子:
小明和小强家相距2400米,两人同时从家中出发相向而行,小强每分钟走50米,小明每分钟走70米,问:
他们经过多少时间相遇?
师:
这道题目就是典型的相遇问题。
已知路程、两人的速度、求相遇时间,而且题目中还有相遇问题常见的关键字:
相向而行。
即可判断是相遇问题。
那么我们该怎么解决这类问题呢?
这节课我们就来讨论相遇问题的解题方法。
二、新授课:
【例1】小明和小强家相距2400米,两人同时从家中出发相向而行,小强每分钟走50米,小明每分钟走70米,问:
(1)他们经过多少时间相遇?
(2)3分钟时,他们还相距多少米?
(3)30分钟时,他们还相距多少米?
【思路分析】
画线段图分析:
分析:
从图上很明显看出,这段2400米的路程是由小强和小明共同行走完成的,到达相遇点时两人相遇。
从题目中我们还知道,两人的速度不一样,而行走的时间是相同的,也就是两人相遇时所用的时间,即所求的相遇时间。
根据行程问题的基本公式:
时间=路程÷速度,可推导出:
相遇时间=相遇路程÷速度,,且速度是两人共同的速度,我们把它们称作“速度和”。
所以我们可得到相遇问题的基本关系式为:
相遇路程=速度和×相遇时间
相遇时间=相遇路程÷速度和
速度和=相遇路程÷相遇时间
解:
(1)已知相遇路程2400米,小强和下明两人的速度和50+70=120(米),由相遇问题的公式:
相遇时间=相遇路程÷速度和,可算出相遇时间为:
2400÷(50+70)=20(分钟)
(2)三分钟时他俩相距的距离,画图分析:
从图上可看出:
三分钟后小强和小明相距的路程,可用总路程—小强和小明3
分钟共同走的路程。
小强3分钟所走路程=50×3=150(米)
小明3分钟所走路程=70×3=210(米)
这样,两人还相距2400-(150+210)=2040(米)
(3)30分钟两人还相距多少米?
这类型的问题,要考虑这个时间是否超过了相遇时间,第一个问题我们已经算出了两人20分钟就相遇了,而题目给出30分钟,那么超出的30-20=10(分钟),两人将按什么方向运动呢?
两人应该先相遇,
然后再相背而行,画图分析:
小明
小强
20分钟相遇
小明家
小强家
从图上很容易看出,30分钟后两人相距的路程即为10分钟后两人所走路程和:
(50+70)×10=1200(米)
答:
两人30分钟相遇,3分钟后两人相距2040米,30分钟后两人相距1200米。
【小结】行程问题,我们要掌握有关的数量关系,此外,还要借助线段图来直观地分析和理解题意,以突破题目的难点。
【及时练习】一辆汽车和一辆摩托车同时从相距460千米的两地出发相向而行,汽车每小时行45千米,摩托车每小时行70千米,问
(1)两车几小时相遇?
(2)6小时后两车相距多少千米?
【例2】甲、乙两艘轮船分别从两港同时出发相向而行,甲船每小时行驶20千米,乙船每小时比甲船每小时慢7千米,经过8小时两艘船在途中相遇。
两船水路长多少千米?
【分析与解】从两船相向而行可看出:
这是一道相遇问题,已知两船的速度,和相遇时间,求相遇路程,可用公式:
相遇路程=速度和×相遇时间,首先先求出乙的速度。
综合算式:
[20+(20-7)]×8
=33×8
=264(千米)答:
两港间的水路长264千米。
【小结】这道相遇问题是求相遇路程,学生要灵活运用相遇问题的三个公式。
【及时练习】一辆客车和一辆货车分别从两地同时出发相向而行,客车每小时行60千米,比货车每小时多行10千米,经过9小时两车在途中相遇,两地相距多少千米?
【例3】甲、乙两人分别从相距30千米的两地同时出发相向而行,甲每小时行6千米,乙每小时行4千米。
问:
相遇时甲行了多少千米?
【分析与解】要求相遇时甲行了多少千米,就要知道甲的速度和甲行驶的时间。
由题意知甲的速度已知(每小时行6千米),甲行的时间未知,要先求,也就是求相遇时间,根据相遇时间=相遇路程÷速度和,可以先求甲的时间:
30÷(6+4)=3(小时)
综合算式:
6×[30÷(6+4)]
=6×(30÷10)
=6×3
=18(千米)答:
相遇时甲行了18千米。
【小结】这道题,是一道综合题目,首先先求相遇时间,然后再求一方的路程。
【及时练习】小军和小明两人骑车从相距180千米的两地同时出发相向而行,小军每小时行16千米,小明每小时行14千米。
相遇时小军行了多少千米?
三、课堂小结:
相遇问题的基本公式:
相遇路程=速度和×相遇时间
相遇时间=相遇路程÷速度和
速度和=相遇路程÷相遇时间
四、作业:
思维训练:
P601-4题。
五、课后反思:
第二课时
教学时间:
教学内容:
不同形式的相遇问题
教学目标:
掌握不同形式的相遇问题的解题思路和基本规律
教学重点:
通过线段图分析相遇问题
教学难点:
找准解决相遇问题的突破口
教学过程:
一、复习:
行程问题的三个基本公式。
二、新授课:
【例4】一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距450千米的两地相向而行,公共汽车每小时行40千米,小轿车每小时行50千米,问几小时后两车相距90千米?
【分析与解】两车在相距450千米的两地相向而行,距离逐渐缩短,在相遇前某一时刻两车相距90千米,这时两车共行的路程应为450-90=360(千米)。
需要注意的是还有一种情况:
当两车相距后继续行驶时,两车之间的距离又从0逐渐增大,到某一时刻,两车再一次相距90千米。
这时两车共行的路程为450+90=540(千米)
所以有:
(450-90)÷(40+50)=4(小时)
(450+90)÷(40+50)=6(小时)
答:
两车在出发后4小时相距90千米,在出发后6小时再一次相距90千米。
【小结】这类型的题目一定要提醒学生考虑两种情况,分为相遇前和相遇后各相距多少千米。
【及时练习】汽车和货车同时从相距506千米的两地相向开出,汽车每小时行52千米,货车每小时行40千米,那么多少小时后两车相距138千米?
【例5】甲、乙两列火车从相距770千米的两地相向而行,甲每小时行45千米,乙每小时行41千米,乙车出发2小时后,甲车才出发,甲车行几小时后与乙车相遇?
【分析与解】甲、乙两车出发时间有先有后,乙车先出发2小时,这段时间甲没有行驶,那么乙车这2小时所行的路程不是甲、乙两车同时相对而行的路程,所以要先求出甲、乙两车同时相对而行的路程,再除以速度和,才是甲、乙两车同时相对而行的时间。
乙车先行驶路程:
41=82(千米)
甲、乙两车同时相对而行的路程:
770-82=688(千米)
甲、乙两车的速度和:
45+41=86(千米)
甲车行的时间:
688×2÷86=8(小时)
综合算式:
(770-41×2)÷(45+41)
=688÷86
=8(小时)答:
甲车行8小时后与乙车相遇。
【小结】这类型的题目关键是先求出相对路程,然后再求相对时间。
【及时练习】甲、乙两人从相距36千米的两地相向而行,甲速度为每小时3千米,乙速度为每小时4千米,若乙先出发2小时后甲才出发,则甲经过几小时后与乙相遇?
【例6】甲、乙两人同时分别从两地骑车相向而行,甲每小时行20千米,乙每小时行18千米,两人相遇时距全程中点3千米,求全程长多少千米?
【分析与解】
从图上可以看出:
甲走了一半的路程多3千米,乙走了全程的一半少3千米,不能理解为甲比乙实际多走了3千米,应理解为甲比乙实际多走了3×2=6(千米),又已知甲每小时比乙多行20-18=2(千米),多少小时甲比乙多行6千米呢?
用6÷2=3(小时),这一时间也是甲乙两人相遇的时间,有了相遇时间,全程就好求了。
相遇路程=速度和×相遇时间
相遇时甲车比乙车多行多少千米?
3×2=6(千米)
甲车比乙车每小时多行多少千米?
3×2=6(千米)
甲每小时比乙多行20-18=2(千米)
甲、乙两车从出发到相遇需几小时?
6÷2=3(小时)
甲、乙两人相距多少千米?
(20+18)×3=114(千米)
综合算式:
(20+18)×[3×2÷(20-18)]=114(千米)
答:
全程长114千米。
【小结】这道题的关键是理解好怎么样求出相遇时间的,这是这题的突破口。
【及时练习】甲、乙两辆汽车同时从东西两地相向开出,甲车每小时行56千米,乙车每小时行48千米,两车在离中点32米处相遇,求两地间相距多少千米?
三、课堂总结。
这节课比上节课讨论的内容更深入一些,很多不能直接求出来的量,要通过间接的方法来求,所以必须找准每道题目的突破口。
四、作业:
思维训练P615—8题
五、课后反思:
第三课时
教学时间:
教学内容:
复杂的相遇问题
教学目标:
掌握复杂的相遇问题
教学重点:
相遇问题的
教学难点:
找准相遇问题的突破口
教学过程:
一、新授课:
【例7】两地相距900米,甲、乙二人同时、同地向同一方向行走,甲每分钟行走80米,乙每分钟走100米,当乙到达目标后,立即返回,与甲相遇,从出发到相遇共经过多少分钟?
【分析与解】甲、乙两人开始是同向行走,乙走得快,先到达目的地后,当乙返回时运动变成了同时相对而行,把相同方向行走时乙用的时间和返回时相对而行的时间相加,就是共同经过的时间。
乙到达目标时所用时间:
900÷100=9(分钟)
甲9分钟走的路程:
80×9=720(米)
甲距目标还有:
900-720=180(米)
相遇时间:
180÷(100+80)=1(分钟)
共用时间:
9+1=10(分钟)
答:
从出发到相遇共经过10分钟。
【小结】这道题目同样属于相遇问题,但与之前的相遇问题有所不同。
是同向而行后再反向而相遇。
要找准相遇路程以及相遇时间。
【及时练习】兄妹两人同时离家上学,哥哥每分钟走90米,妹妹每分钟走60米,哥哥到校门时,发现忘带课本,立即沿原路返回家去取,行至离学校180米处与妹妹相遇,他们家离学校多远?
【例8】甲、乙两人同时从两地出发,相向而行,距离是100千米,甲每小时走6千米,乙每小时走4千米,甲带着一条狗,狗每小时走10千米,这只狗同甲一道出发,碰到乙的时候,它又掉头朝甲这边走,碰到甲时又往乙那边走,直到两人相遇,问这只狗一共走了多少千米?
【分析与解】这道题目,狗在甲、乙之间跑了多少个来回,和每次来回所用的时间是多少,这些量都是无法知道的,所以我们要抓住题目中的不变量或不变的关系。
不难发现,无论狗在甲、乙两人间跑了多少个来回,狗走的路程所用的总时间等于甲、乙两人相遇所用的时间,这是不变的关系,所以要求狗跑的时间,也就是要求出甲、乙两人相遇所用的时间,就可以求出狗所走的路程。
这样原来的问题就转化成求甲、乙两人相遇的时间就可以求出来了。
甲、乙两人相遇所用的时间:
100×(6+4)=10(小时)
由于甲、乙两人相遇所用的时间等于狗来回所用的时间,所以,狗共跑路程是10×10=100(千米)
综合算式:
10×[100÷(6+4)]=100(千米)
答:
一共跑了100千米。
【小结】在一些复杂的相遇问题时,要抓住不变量来解题。
【及时练习】
1.小强和小丽同时从两地出发,相向而行,两地相距20千米,小强每小时走6千米,小丽每小时走4千米,小丽带着一只狗,狗每小时走8千米,这只狗同小丽一道出发,碰到小强的时候,它又掉头朝小丽这边走,碰到小丽又往小强那边走,直到两人相遇,问这只狗一共行了多少千米?
2.A、B两地相距440千米,甲、乙两车同时从两地相对开出,甲车每小时行35千米,乙车每小时行45千米,一只燕子以每小时50千米的速度和甲车同时出发,向乙车飞去,遇到乙车又折回向甲车飞去,遇到甲车又往回飞向乙车,这样一直飞下去,燕子飞行了多少千米,两车才能相遇?
【例9】甲每分钟走50米,乙每分钟走60米,丙每分钟走70米,甲、乙两人从A地,丙从B地三人同时相向出发。
丙先遇乙,再经过2分钟后遇到甲,问A、B两地相距多远?
【分析与解】
从图中可以看出,乙、丙相遇时,甲、乙的路程差为(50+70)×2=240(米),即乙比甲多行了240米,而乙速比甲速每分钟60-50=10(米),那么240米是在240÷10=24(分钟)内多行出来的,又知乙超越甲的时间也是乙,丙相遇的时间。
所以乙、丙的相遇距离,即A、B两地的距离。
(50+70)×2÷(60-50)
=240÷10
=24(分钟)
(60+70)×24
=130×24
=3120(米)
答:
A、B两地相距3120米。
【小结】这道题目涉及到三个运动物体,我们采用线段图来分析可让问题简化。
【例10】两个城市相距164千米,甲、乙两人骑自行车同时从两个城市出发,相向而行,甲每小时行14千米,乙每小时行11千米,乙在中途修车耽误一小时,然后继续行驶,与甲相遇,求从出发到相遇经过几小时?
【分析与解】乙在中途修车耽误1小时,甲没有停止,继续前进,也就是说,甲比乙多走1小时,如果从总路程中把甲单独行进的路程减去,余下的路程就是甲、乙二人行走的。
用甲、乙二人同时走的路程除以甲、乙两人的速度和,就可以求出同时走的时间。
甲、乙两人同时走了几小时?
(164-14)÷(14+11)=6(小时)
从出发到相遇经过几小时?
6+1=7(小时)
答:
从出发到相遇经过7小时。
【小结】这道题目要理解好“乙在中途修车耽误一小时”,分清楚相遇前与之后。
【及时练习】东西两站相距655千米,客车和货车两车同时从两站出发,相向而行,客车每小时行65千米,货车每小时行55千米,客车在途中修车耽误1小时,然后继续前进,与货车相遇,求从出发到相遇共经过几小时?
课后反思:
第四、五课时
教学内容:
相遇问题的练习题
教学目标:
掌握各种类型的相遇问题
教学重点:
会熟练解决基本的相遇问题
教学难点:
会解决复杂的相遇问题
教学过程:
1、甲、乙两地相距54千米,A、B两人同时从两地相向而行,A每小时行4千米,B每小时行5千米,两人经过几小时相遇?
2、甲、乙两人同时从学校向相反方向行驶,甲每分钟行52千米,乙每分钟行50千米,经过7分钟后他们相距多少米?
他们各自离学校有多少米?
3、甲、乙两地相距480米,客车和货车同时从两地相向而行,经过5小时相遇,客车的速度是每小时50千米,求货车的速度是每小时多少千米?
4、小明和小红两人从相距2280米的两地相向而行,小明每分钟行60米,小红每分钟行80米,小明出发3分钟后小红才出发,小红出发几小时后与小明相遇?
相遇时两人各行了多少米?
5、一列火车于下午4时30分从甲站开出,每小时行120千米,经过1小时后,另一辆火车以同样的速度从乙站开出,晚上9时30分两车相遇,问甲、乙两站铁路长多少千米?
6、A、B两地相距360千米,客车和货车从A、B两地相向而行,客车先行1小时,货车才开出,客车每小时行60千米,货车每小时行40千米,客车开出后几小时与货车相遇?
相遇地点离B地多远?
7、甲、乙两车从A、B两地同时相向而行,甲车每小时行40千米,乙车每小时行35千米,两车在距中点15千米处相遇,求AB两地相距是多少?
8、甲、乙两人同时从两地骑车相向而行,甲每小时行18千米,乙每小时行15千米,两人相遇距离中点3千米,起两地距离多少千米?
9、AB两地相900千米,甲、乙两人同时从A到B,甲每分钟行70米,乙每分钟行50米,当甲到达B后立即返回与乙在途中相遇,两人从出发到相遇共经过多少分钟?
10、学生甲和乙同时住一楼,有一次他们同时从家到相距540米的学校上学,甲每分钟行60米,乙每分钟行48米,甲到达学校后发现忘带文具盒,立即返回家去取,在途中遇到乙,那么从开始上学到两人相遇共用几分钟?
11、甲、乙两人从相距1800米的两地同时相向而行,甲每分钟行80米,乙每分钟行70米,乙带了一只小狗与他们同时行驶,狗以每分钟220米的速度向甲跑去,狗遇到甲时已行了多少米?
狗遇到甲后立刻回头向乙跑去,这样狗在甲、乙两人之间来回奔跑,直到两人相遇为止,这只狗一共跑了多少米?
12、一辆客车与一辆货车同时从A、B两地相对开出,经过6小时相遇,相遇后两车都以原速继续前进,又经过4小时客车到达B地,这时货车离A地还有188千米,A、B两地相距多少千米?
13、小玲和小明家相距600米,这天两人同时从家出发向对方家走去,小玲走完全程需要12分钟,小明走完全程需要20分钟,相遇时两人各走了多少米?
14、A、B两地相距460千米,甲列车同时从A地开出2小时后,乙列车从B地开出,经过4小时与甲列车相遇,已知甲列车比乙列车每小时多行10千米,问甲列车平均每小时行多少千米?
15、甲、乙两人在相距90米的路上来回跑步,甲的速度是每秒钟3米,乙的速度是每秒种2米,如果他们同时分别从支炉两端出发,跑了10分钟,那么在这段时间内共相遇几次?
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