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数学之美要细品
数学之美要细品
数学是宇宙的语言,数学是宇宙的诗篇;“宇宙是用数学语言写成的大书”;数学是抽象的艺术,数学是智慧的光环;数学是文化中的文化,数学是探索者的乐园;数学蕴含着老林中的人参,数学潜伏着冰山上的雪莲;数学风景艳丽,数学动人心弦!
数学是让人信服的,她的理性精神闪烁着人类智慧的火花,她的递进性使其永葆青春年华;她在揭示宇宙奥秘,她在浏览秋实春华;她的奇妙性让人赞不绝口,她的趣味性让人朝夕相挂。
数学世界就是天堂,就是完美。
数学的定义是研究数量关系和空间形式的一门科学。
但有句名言说:
数学比科学大得多,因为它是科学的语言。
数学不仅用来写科学,而且可用来写人生。
所以说数学是一切学科的基础,是核心学科,像人们知识金字塔的底部垫基石,所以数学被誉为科学的皇后。
数学分基础和应用两部分组成的,前者追求真和美,后者是把这种真和美应用到现实生活。
一切美的事物都有两条衡量标准:
一是绝妙的美都显示出奇异的均衡关系(培根);二是美是各部分之间以及各部分与整体之间都有一种协调一致的和谐(海森保)。
而数学的外在美和内在美无一不把上述的两种美感体现的淋漓尽致,而且它还另赋有真理美和一种峭严峻的美。
一、数学具有语言美
数学理论的迷人之处就在于它用最简洁的语言揭示了现实世界中的数量及其关系的规律。
数学语言也具有美的特点和形式,同样能吸引人,它突破了各国、各民族语言的隔阂而成为全人类共同的统一的表述工具。
同样一个符号公式,对世界各民族的人来说,只要具备了一定的科学素养,就可以明确地理解它的复杂含义。
因此数学比起其他科学更具有完美的语言形式,也正因为如此,当代利用机器代替人脑进行某些思维活动才成为可能。
数学语言美主要体现在它的确切性、简洁性和通用性上。
在中学教学中,与α角终边相同的所有角都可以表示为K·360°+α(K∈Z)的形式,其简洁一目了然,使人感到一种简洁美。
二、数学具有奇异美
客观世界错综复杂,无奇不有,在杂乱的自然现象中抽象出数学概念,用简洁的数学形式来阐明自然规律,解决实际问题,形成了色彩斑斓、经久不衰的各种数学方法,而各种独特数学方法都各有其不寻常性,构成各自独特的美。
法国数学家庞加莱说:
“数学的优美感不过是问题的解答适合我们心灵需要而产生的一种满足。
运算过于复杂,原因在于式子中的分母太繁,分子却比较简单,因此采用“先退后进”的策略,先求,多美的解法!
再如,解下面的年龄趣题的方法更是匠心独运,别出心裁。
姐姐现在的年龄是m年前妹妹年龄的2倍,妹妹现在的年龄与m年前姐姐的年龄相等。
AB∥CD AB、CD分别代表姐妹现在的年龄,依题意可得:
AB=2CG,CD=AB,CD+AB=56,所以CD=24,AB=32,即现在姐姐32岁,妹妹24岁。
数学使复杂问题变得抽象、直观。
三、数学具有形式美
作为研究现实世界空间形式与数量关系的数学,自然反映了井井有序的客观世界,渗透了客观世界有序、匀称、圆满的形式美。
亚里士多德强调美的主要形式是“秩序、匀称与明确”,而数学中数学方程与图形给人对称美,黄金分割至今还被人们称为最美的形体比例。
繁分式像岭脉蜿蜒,像波涛涟漪,给人一种匀称、节奏的美感。
四、数学具有统一美
美是客观与主观的统一,任何数学知识都是内容和形式相融合的统一体。
如立体几何中的辛普森公式:
V=H(S_1+4S_0+S_2)/6.
式中,S_1和S_2是两底面的面积,S_0是中截面的面积(即平面γ与平面α之间距离h=H/2时得到的截面的面积)。
把棱、锥、台和球的体积解法统一起来,可把平行四边形、梯形和三角形的面积解法统一起来。
再如,在平面几何中的相交弦定理、切割线定理、切线长定理可统一于 定理,这些都体现了数学的统一美。
因此,在数学教学中,充分挖掘、揭示数学美,不但可以激发学生的求知识兴趣,还能增强学生的审美意识。
五、数学具有对称美
对称是美学的基本法则之一,数学中许多轴对称、中心对称图形,都赋予了平衡、协调的对称美。
就连一些数学概念本身都呈现了对称的意境——“整—分、奇—偶、和—差、曲—直、方—圆、分解—组合、平行—交叉、正比例—反比例”。
自然界中无数原生物也都具有先天性的对称美,例如树叶、花朵、蝴蝶等等。
人们根据数学这一美学,设计了许许多多具有这种特征美的产品来,例如房屋、饰品、服装等等。
这种美不仅应用在了人们直观视觉里,而且还引申到“非纯对称的相对对称”(以下简称“相对对称”)的文学作品里,文学创作结构讲究“头尾呼映”(即相对对称),情节人物身份或性格也大部分是有有着相对对称的特点。
中国的文学讲究对称,这点可以从历时百年的楹联文化中窥见一斑。
而更胜一筹的对称,就是回文了。
苏轼有一首著名的七律《游金山寺》,便是这方面的上乘之作:
《游金山寺》 潮随暗浪雪山倾,远浦渔舟钓月明。
/桥对寺门松径小,槛当泉眼石波清。
/迢迢绿树江天晓,霭霭红霞晚日晴。
/遥望四边云接水,碧峰千点数鸥轻。
不难看出,把它倒转过来,仍然是一首完整的七律诗:
轻鸥数点千峰碧,水接云边四望遥。
/晴日晚霞红霭霭,晓天江树绿迢迢。
/清波石眼泉当槛,小径松门寺对桥。
/明月钓舟渔浦远,倾山雪浪暗随潮。
这首回文诗无论是顺读或倒读,都是情景交融、清新可读的好诗。
而数学中,也不乏这样的回文现象,如:
12×12=144,21×21=441;
13×13=169,31×31=961;
102×102=10404,201×201=40401;
103×103=10609,301×301=90601; 9+5+4=8+7+3,92+52+42=82+72+32。
而数学中更为一般的对称,则体现在函数图象的对称性和几何图形上。
前者给我们探求函数的性质提供了方便,后者则运用在建筑、美术领域后给人以无穷的美感。
六、数学具有简洁美
世事再纷繁,加减乘除算尽;
宇宙虽广大,点线面体包完。
这首诗,用字不多,却到位地概括出了数学的简洁明了、微言大义。
数学和诗歌一样,有着独特的简洁美。
数学语言的微言大义,则是写实的,是简洁精确、抽象规范的,是严谨的科学态度的体现。
数学的简洁,不仅使人们更快、更准确地把握理论的精髓,促进自身学科的发展,也使数学学科具有了很强的通用性。
目前,数学作为自然科学的语言和工具,已经成了所有科学——包括社会科学在内的语言和工具。
最为典型的例子,莫过于二进制在计算机领域的的应用。
试想,任何一个复杂的指令,都被译作明确的01数字串,这是多么伟大的一个构想。
可以说,没有数学的简化,就没有现在这个互联网四通八达、信息技术飞速发展的时代。
七、数学具有自然美
数学存在的意义,在于理性地揭示自然界的一些现象规律,帮助人们认识自然,改造自然。
可以这样说,数学是取诸生活而用诸生活的。
数学最早的起源,大概来自古代人们的结绳记事,一个一个的绳扣,把数学的根和生活从一开始就牢牢地系在了一起。
后来出现的记数法,是牲畜养殖或商品买卖的需要,古代的几何学产生,是为了丈量土地。
中国古代的众多数学著作(如:
《九章算术》)中,几乎全是对于某个具体问题的探究和推广。
在中国,数学源于生活,在外国,历代数学家也都宗法自然。
阿基米德的数学成果,都用于当时的军事、建筑、工程等众多科学领域,牛顿见物象而思数学之所出,即有微积分的创作。
费尔玛和尤拉对变分法的开创性发明也是由探索自然界的现象而引起的。
八、数学具有神奇美
1的神奇等式!
1×1=1
11×11=121
111×111=12321
1111×1111=1234321
11111×11111=123454321
111111×111111=12345654321
1111111×1111111=1234567654321
11111111×11111111=123456787654321
111111111×111111111=12345678987654321
很炫的8!
9×9﹢7=88
98×9﹢6=888
987×9﹢5=8888
9876×9﹢4=88888
98765×9﹢3=888888
987654×9﹢2=8888888
9876543×9﹢1=88888888
98765432×9﹢0=888888888
神奇的和!
1×8﹢1=9
12×8﹢2=98
123×8﹢3=987
1234×8﹢4=9876
12345×8﹢5=98765
123456×8﹢6=987654
1234567×8﹢7=9876543
12345678×8﹢8=98765432
123456789×8﹢9=987654321
神奇的0.618!
0.618…这是被中世纪学者、艺术家达·芬奇誉为“黄金数”的重要数值,它也曾被德国科学家开卜勒赞为几何学中两大“瑰宝”之一(另一件即为“勾股定理”)。
顾名思意,黄金数当有着黄金一样的价值,人们喜欢它。
事实上,黄金比值一直统治着中世纪西方建筑艺术,无论是古埃及的金字塔,还是古雅典的他侬神庙;无论是印度的泰姬陵,还是今日的巴黎埃菲尔铁塔,这些世人瞩目的建筑中都蕴藏着0.618…这一黄金比数(这显然展示着数学美感)。
一些著名的艺术佳作也处处体现了黄金比值——许多名画的主题都是在画面的黄金分割点处,不少著名乐章的高潮在全曲的0.618…处,……
更有趣的是,人体中有着许多黄金分割的例子,比如:
人的肚脐是人体长的黄金分割点,而膝盖又是人体肚脐以下部分体长的黄金分割点。
在口腔比较解剖学范畴内,符合0.618…这个比例的六龄牙(六岁时萌出的第一颗大磨牙),由于其牙冠大、牙尖多、咀嚼面积广、牙根分叉结实等特点,显出它“与众不同来”,它不仅在咀嚼食物时发挥作用最集中、担负咀嚼压力最大,同时它在维持颜面下三分之一部位的端正(面容),和保持上、下牙弓间的咬合关系,均起着重要的作用。
德国天文学家开卜勒研究植物叶序问题(即叶子在茎上的排列顺序)时发现:
叶子在茎上的排列也遵循黄金比。
我们知道:
植物叶子在茎上的排布是呈螺旋状的,你细心观察一下,不少植物叶状虽然不同,但其排布却有相似之处。
比如相邻两张叶片在与茎垂直的平面上的投影夹角是137°28',科学家们经计算表明:
这个角度对植物叶子通风、采光来讲,都是最佳的(正因为此,建筑学家们仿照植物叶子在茎上的排列方式设计、建造了的新式仿生房屋,不仅外形新颖、别致、美观、大方,同时还有优良的通风、采光性能)。
有趣的是:
这个角度正是把圆周分为1∶0.618…的两条半径的夹角。
开卜勒还发现:
叶子在茎上环绕的圈数和它绕一个周期时茎上叶数之比ω随植物不同而异。
他观察后发现了许多种树的ω值,比如榆树为 1/2,山毛榉为1/3,樱桃为2/5,梨为3/8,柳为5/13,……
请注意它们的分子和分母分别是:
1,1,2,3,5,……
2,3,5,8,13,……
这恰恰是两列斐波那契数列(这个数列的特点是从第三项起,每项均为其前面两项之和)。
有人还从花的瓣数中,找到了这个数列(花瓣通常只是2,3,5,……瓣)。
在股票分析中,美国人艾略特于1934年在研究股指(股票指数)变化规律时,提出了所谓“波浪理论”(他于1942年出版了《宇宙奥秘之自然规律》一书),该理论可对许多经济活动作出预测和估计,而其中重要结论是:
这类经济活动的指数波动中遵循斐波那契数列规律而变化。
此外,人们还在许多领域中发现了该数列的身影,比如在晶体结构研究中,人们对某些准晶体中结点分布规律里,也发现与该数列有关。
更为有趣的是:
这个数列前后两项之比,越来越接近黄金比值0.618… 。
数学的确是一门艺术
九、数学具有简洁美
数学中所谓美的问题,是指一个难以解决的问题;而所谓美的解答,则是指对于困难和复杂问题的简单回答。
简洁本身就是一种美,而数学的首要特点在于它的简洁。
在数学里美的各个属性中,首先要推崇的大概是简单性了。
自然界原本就是简洁的:
光是直线方向传播——这是光传播的最捷路线;植物的叶序排布(比如我们介绍过的某些植物相邻两叶片在茎上排布夹角为137°28')是植物叶子通风、采光最佳的布局;某些攀缘植物如藤类,它们绕着攀依物螺旋式的向上延长,它们所选的螺线形状对于植物上攀路径来讲是最节省的。
大雁迁徙时排成的人字形一边与其飞行方向夹角54°44'8″,这从空气动力学角度看,这个角度对于大雁队伍飞行是最佳的,即阻力最小,金刚石晶体中也蕴含这种角度。
生物学家和数学家们(比如著名科学家开卜勒、数学家列厄木、寇尼希等)在研究蜂房构造时发现:
在体积一定的条件下,蜂房的构造是最省材料的。
这些最佳、最好、最省、……的事实,来自生物的进化与自然选择,然而它同时展现了自然界的简洁,而且也展现了自然界的和谐。
宇宙万物如此,描述宇宙的文字与工具的数学也应如此。
数学中人们对于简洁的追求是永无止境的:
建立公理体系人们试图找出最少的几条;命题的证明人们力求完整、简练;计算的方法尽量简捷、明快。
意大利经济学家维弗利度曾据犹太经济学家巴特莱发现的法则(从正方形与其内切圆以外部分面积比为78∶22而得到),提出一个琐碎多数与重要少数之比为80∶20的宇宙大法则,其意义为:
在任何群体中,重要的因子通常只占少数,不重要的因子通常占大多数。
因而,只要控制重要的少数,即能控制全局。
因此,数学是上帝用来书写宇宙的文字 。
人总想给客观事物赋于某种意义和价值,利用符号认识新事物,研究新问题,从而使客观世界秩序化,这便创造了科学、文化、艺术,符号就是某种事物的代号,人们总是探索用简单的记号去表现复杂的事物,符号也正是这样产生的。
文字是用声音和形象表达事物的符号,一个语种就是一个“符号系统”。
这些符号的组合便是语言。
人们试图用“精密”的方法研究艺术,这在很大程度上依靠符号,“艺术符号学”这门新兴学科应运而生了,它是美学的一个部分。
1961年,苏联数学家科尔莫哥洛夫把统计学分析应用到诗歌语言研究中,把语言中的转换和其他符号学系统中的转换相比较,论述了符号学的一般意义。
符号对于数学的发展来讲更是极为重要的,它可使人们摆脱数学自身的抽象与约束,集中精力于主要环节,这在事实上增加了人们的思维能力。
没有符号去表示数及其运算,数学的发展是不可想象的。
数是科学的语言,符号则是记录、表达这些语言的文字。
正如没有文字,语言也难以发展一样。
几乎每一个数学分支都是靠一种符号语言而生存,数学符号是贯穿于数学全部的支柱。
古代数学的漫长历程、今日数学的飞速发展;十七、十八世纪欧洲数学的兴起、我国几千年数学发展进程的缓慢,这些在某种程度上也都归咎于数学符号的运用得当与否,简练、方便的数学符号对于书写、运算、推理来讲,都是何等方便!
反之,没有符号或符号不恰当、不简练,是必影响到数学的推理和演算。
然而,数学符号的产生(发明)、使用和流传(传播)却经历了一个十分漫长的过程。
这个过程的始终贯穿着自然、和谐与美。
数学符号的发明和使用,确实经过了漫长的过程(而时至今日,这个过程仍在继续),这里面由于人们审美观念(当然包括使用上的方便、简洁)的变化,使得数学符号本身也不断地变化——直至它们被世人所接受。
虽然我们还只能说,它发展成今天的符号系统尚并不完美,但人们深信:
随着数学的发展,随着人们审美观念的发展,数学符号将不断地得以完善。
附:
辛普森公式
辛普森(Simpson)公式是牛顿-科特斯公式当n=2时的情形,也称为三点公式。
辛普森公式是利用区间二等分的三个点来进行积分插值。
其科特斯系数分别为1/6,4/6,1/6.
立体几何中用来求拟柱体体积的公式。
公式内容
设拟柱体的高(两底面α,β间的距离)为H,如果用平行于底面的平面γ去截该图形,所得到的截面面积是平面γ与平面α之间距离h的不超过3次的函数,那么该拟柱体的体积V为
V=H(S_1+4S_0+S_2)/6.
式中,S_1和S_2是两底面的面积,S_0是中截面的面积(即平面γ与平面α之间距离h=H/2时得到的截面的面积)。
事实上,不光是拟柱体,其他符合条件(所有顶点都在两个平行平面上、用平行于底面的平面去截该图形时所得到的截面面积是该平面与一底之间距离的不超过3次的函数)的立体图形也可以利用该公式求体积。
计算实例
例1:
计算底面积为S、高为h的柱体的体积。
解:
此题中S_1=S_0=S_2=S,H=h,所以V=H(S_1+4S_0+S_2)/6=h(S+4S+S)/6=Sh。
例2:
计算底面积为S、高为h的锥体的体积。
解:
此题中S_1=S,S_0=S/4,S_2=0,H=h,所以V=H(S_1+4S_0+S_2)/6=h(S+4S/4+0)/6=Sh/3。
例3:
计算半径为r的球的体积。
解:
此题中S_1=S_2=0,S_0=πr^2,H=2r,所以V=H(S_1+4S_0+S_2)/6=2r(0+4πr^2+0)/6=4πr^3/3。
公式证明
只需要证明根据公式算出来的体积和用积分算出来的体积相等即可。
设截面面积是截面高h的不超过3次的函数:
f(h)=ah^3+bh^2+ch+d。
那么,
利用积分计算体积,可以得到(积分限为0~h):
V=∫f(x)dx
=ah^4/4+bh^3/3+ch^2/2+dh;
利用公式计算体积,可以得到:
V=H(S_1+4S_0+S_2)/6
=h(f(0)+4f(h/2)+f(h))/6
=h[d+4(ah^3/8+bh^2/4+ch/2+d)+(ah^3+bh^2+ch+d)]/6
=ah^4/4+bh^3/3+ch^2/2+dh。
因此两式相等,公式得证。
Remark:
当函数f(h)次数高于或等于4次时,公式一般不成立。
这只需验证f(h)=h^4时公式不成立即可。
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