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解方程
解简易方程之方法及难点归纳
重点概念:
方程,方程的解,解方程,等式的基本性质(详见“知识点汇总”)
要点回顾:
“解方程”就是要运用“等式的基本性质”,对“方程”的左右两边同时进行运算,以求出“方程的解”的过程。
(方程的解即是如同“X=6”的形式)
“解方程”就好像是要把复杂的绳结解开,因此一般要按照“绳结”形成的过程逆向操作(逆运算)。
过程规范:
先写“解:
”,“=”号对齐往下写,同时运算前左右两边要照抄,解的未知数写在左边。
注意事项:
以下内容除了标明的外,全都是正确的方程习题示例,且没有跳步,请仔细观看其中每步的解题意图。
带“*”号的题目不会考查,但了解它们有助于掌握解复杂方程的一般方法,对简单的方程也就自然游刃有余了。
一、一步方程
只有一步计算的方程,直接逆运算除未知数外的部分。
难点:
当未知数出现在减数和除数时,要先逆运算含未知数的部分。
二、两步方程
两步方程中,若是只有同级运算,也可以先计算,后当做一步方程求解。
注意要“带符号移动”,增添括号时还要注意符号的变化。
如果含有两级运算,就“逆着运算顺序”同时变化,如含有未知数的一边是“先乘后减”,则先逆运算减法(即两边同加),再逆运算乘法(即两边同时除以),依此类推。
难点:
当未知数出现在减数和除数时,要先把含有未知数的部分看作一个整体(可以看成是一个新的未知数),就相当于简化成了一步方程。
例题中,“64÷x”、“7.2-x”和“6÷x”被看成新的未知数(y),
因此原方程就可以看成是6+y=10,5y=6和10-y=8的形式。
三、三步方程
(1)应用乘法分配律,共同因数是已知数的
具有乘法分配律的形式,即两个有共同因数的乘积(或具有相同除数的除法式子)相加或相减,而共同因数(或除数)是已知数的,既可以逆用乘法分配律提取共同因数而将其简化为两步方程,也可以直接算出已知部分而化简。
通过比较可以看出,一般来说提取共同因数的方法确实计算量要少一些,不容易算错。
(2)应用乘法分配律,共同因数是未知数的
具有乘法分配律的形式,即两个有共同因数的乘积(或具有相同除数的除法式子)相加或相减,而共同因数(或除数)是未知数的,只能逆用乘法分配律提取共同因数而将其简化为两步方程。
难点:
隐藏的因数或错看的未知数容易成为此类问题的难点和易错点。
四、其它方程(方程两边都出现未知数的情况)
要解决两边都出现未知数的方程,就必须通过“等式的基本性质”,消去一边的未知数,成为我们熟悉的一般形式。
因此,常常要将若干个未知数看成整体,共同加上或者减去。
(1)方程两边都出现未知数的复杂情况(不作要求)
难点:
方程两边都有未知数,且未知数是除数(即非0),则可以同时乘以未知数(这时方程的两边都各看作一个整体,里面的每一项都要乘以
1.未知数在小括号里面的情况,注意,这种情况要分两种,第一种是根据乘法分配律先把小括号去掉
例如:
3(3x+4)=57
9x+12=57
9x=57-12
9x=45
x=5
第二种情况就是,要看括号前面的那个数跟等号后面的那个数是否倍数关系,如果是倍数关系,可以互相除一下,当然,用这一种方法的前提就是等号另一边的数只有一个数字,如果有多个,则先要计算成一个。
例如
3(3x+4)=572(4x-6)=30+9-3
3x+4=57÷32(4x-6)=36
3x+4=194x–6=36÷2
3x=19-44x-6=18
3x=154x=18+6
x=54x=24
x=6
2.第四种情况就是未知数在等号的两边都有,这种情况就是要把未知数都移项到一边,把其它的数字移项到另一边,具体规则,如果两个未知数前面的运算符号不一样,要把未知数前面是“-”的移到“+”这一边来,如果两个未知数前面的运算符号一样,则要把小一点的未知数移到大一点的未知数那一边去。
例如:
3x+12=48–6x3x+48=8+5x
3x+6x=48-1248-8=5x–3x
9x=3640=2x
x=4x=20
一.常规题目
3x+9=277x+5.3=7.4x+5.6=9.41.2x=81.6
3x-8=306x+6=123x-3=15x-3x=42x+16=19
5x+8=1915+6x=277x+8=154+5x=98x+9=17
9+6x=14x+9x=4+72x+9=176x-7=127x-9=8
x-56=11.2x=81.63200=450+5x+xx-0.8x=6
12x-8x=4.8x-0.7x=3.6x-30=126x-21=216x-3=6
9x=184x-18=135x+9=11x+8.3=10.715x=3
3x-8=163x÷5=4.8x+2x+18=780.5x+8=43
6x-3x=181.8x=0.972x÷0.756=909x-40=5
6x-12.8×3=0.06x÷5+9=2148-27+5x=3110.5+x+21=56
0.1(x+6)=3.3×0.43200=450+5x+xx-0.8x=612x-8x=4.8
7.5×2x=15x+5.6=9.4x-0.7x=3.6x+8.3=10.715x=3
3x-8=163x+9=277x+5.3=7.43x÷5=4.86x-12.8×3=0.06
0.5x+8=436x-3x=181.8x=0.972x÷0.756=909x-40=5
x÷5+9=2148-27+5x=3110.5+x+21=56x+2x+18=78
x+19.8=25.85.6x=33.65x+12.5=32.3x+3x+10=70
5x+15=600.3×7+4x=12.5x÷1.5-1.25=0.754x-1.3×6=2.66x+12.8=15.8
150×2+3x=6902x-20=43x+6=1813.2x+9x=33.3x+4.8=7.2
6x+18=4812x-9x=8.72x-97=34.23.4x-48=26.842x+25x=134
65x+7=429x+4×2.5=914.2x+2.5x=13410.5x+6.5x=51
89x-43x=9.25x-45=1001.2x-0.5x=6.34x-x=48.64.5x-x=28
x-5.7=2.155x-2x=183x+0.7=53.5×2=4.2+x26×1.5=2x+10
0.5×16―16×0.2=4xx+14x=651.8+6x=546.7x-60.3=6.7
9+4x=402x+8=1623x-14x=14x+7x=89x-3x=6
7x-12=96x-8=45x+x=92x-6=127x+7=146x-6=0
5x+6=112x-8=103x+7=283x-7=269x-x=1624x+x=50
x+4+8=23x-5.7=2.155x-2x=183x-0.7=526×1.5=2x
0.5×16-16×0.2=4xx÷0.5=2.69+4x=400.2x-0.4+0.5=3.7
9.4x-0.4x=16.26.7x-60.3=6.718x-14x=12
23x-5×14=2412+34x=56
二.未知数前面出现“-”或是“÷”的时候
91÷x=1.330÷x+25=851.4×8-2x=6410-3x=1700.273÷x=0.35
(27.5-3.5)÷x=491÷x=1.330÷x+25=851.4×8-2x=6410-3x=170
5×3-x÷2=80.273÷x=0.35(27.5-3.5)÷x=49.8-x=3.875.6÷x=12.6
3.5-5x=220-9x=1.2×6.2523.4-2x=56139.25-X=0.403
16.9÷X=0.33-5x=8014-6x=85-8x=49-2x=110-x=8
8-4x=68-7x=16-2x=119.25-X=0.40316.9÷X=0.33-5x=80
1.8-6x=5412-4x=2022-14x=12
三.未知数在小括号里面的情况
(0.5+x)+x=9.8÷22(X+X+0.5)=9.87(x-2)=2x+318(x-2)=270
(200-x)÷5=303(x+0.5)=214(x-5.6)=1.67(6.5+x)=87.5
(0.5+x)+x=9.8÷22(X+X+0.5)=9.87(x-2)=2x+3
18(x-2)=2703(x+0.5)=21(200-x)÷5=300.1(x+6)=3.3×0.4
4(x-5.6)=1.67(6.5+x)=87.55(x+8)=1023(x+3)=50-x+3
(x-3)÷2=7.52(2.8+x)=10.43x=x+1003(x+2.1)=10.5
13(x+5)=1691.5(x+1.6)=3.62(x-3)=5.8
四.未知数在等号的两边都有
25000+x=6x12x=300-4x1.5x+18=3x(x-140)÷70=4
23x=14x+14x-8=6x
解方程
一、基础类方程。
X-7.7=2.855X-3X=684X+10=5
320=45+6XX-0.6X=8x+8.6=9.4
52-2x=1513÷x=1.3X+8.3=19.7
15x=303x+9=367(x-2)=7
3x+9=1218(x-2)=2712x=320+4x
5.37+x=7.4715÷3x=530÷x=85
1.8+2x=6420-3x=1703(x+5)=18
0.5x+9=406x+3x=361.5x+6=3x
5×3-x=840-8x=5x÷5=21
48-20+5x=31x+2x+8=80200-x÷5=30
70÷x=445.6-3x=1.69.8-2x=3.8
5(x+5)=100x+3x=703(x+3)=50
二、提高类方程。
4(4x-1)=3(22-x)7(2x-6)=845(x-8)=3x
7x-7=6x+4(22-x)+2=68x8x-6x+30=12x+15
7(x+2)=5x+60240÷(x-7)=30(20-8x)÷3=2x+1
(6x-40)÷8=5x-812÷8x=3(21+4x)×2=10x+14
8x-15×6=3x-20(2x+7)×2=4x+14
练习一
【知识要点】学会解含有三步运算的简易方程。
1、判断。
①含有未知数的等式叫做方程。
---------------------------------()
②x+8是方程。
------------------------------------------------------()
③因为2=2×2,所以a=a×a。
------------------------------------()
④方程一定是等式。
-------------------------------------------------()
2、口算下面各题。
3.4a-a=a-0.3a=3.1x-1.7x=0.3x+3.5x+x=
15b-4.7b=6.7t-t=32x-4x-6x=x-0.5x-0.04x=
3、解方程。
2x+0.4x=48(并检验)8x-x=14.735x+13x=9.6
4、列出方程,并求出方程的解。
①x的7倍比52多25。
②x的9倍减去x的5倍,等于24.4。
【课外训练】
1、解方程。
5(x+3)=35x+3.7x+2=16.114x+3x-1.2x=158
x千克
2、苹果:
x千克270千克
梨子:
求苹果、梨子各多少千克?
★3、两个数的和是144,较小数除较大数,商是3,求这两个数各是多少?
练习二
【知识要点】进一步学会解含有三步运算的简易方程。
1、解方程。
(第1、2题写出检验过程)
0.52×5-4x=0.60.7(x+0.9)=42
1.3x+2.4×3=12.4x+(3-0.5)=127.4-(x-2.1)=6
2、列出方程,并求出方程的解。
①0.3乘以14的积比x的3倍少0.6。
②x的5倍比3个7.2小3.4。
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③一个数的3倍加上它本身④20202020xx
正好是9.6,求这个数。
360
【课外训练】
1、在下面□里填上适当的数,使每个方程的解都是x=2。
□+5x=255x-□=7.32.3x×□=922.9x÷□=0.58
2、列方程应用题。
①果园里有苹果树270棵,比梨树的3倍少30棵,梨树有多少棵?
②王阿姨买空11个暖瓶,付了200元,找回35元,每个暖瓶多少元?
③一个长方形的周长是35米,长是12.5米,它的宽是多少米?
★3、解方程:
5x+34=3x+547x-27=13-3x
练习三
【知识要点】更熟练地解含有三步运算的简易方程。
1、①学校有老师x人,学生人数是老师的20倍,20x表示,
20x+x表示。
②一本故事书的价钱是x元,一本字典的价钱是一本故事书的2.5倍。
一本字典元,3本故事书和2本字典一共是元。
③甲数是x,乙数是甲数的3倍,甲乙两数的和是。
④如果x=2是方程3x+4a=22的解,则a=。
2、解方程。
5x+2x=1.4+0.076x-3x=6÷5x-13.4+5.2=1.57
0.4×25-3.5x=6.57x+3×1.4x=0.2×565×(3-2x)=2.4×5
【课外训练】
1、出方程,并求出方程的解。
①8x与3x的差等于27.7与4.8的②0.3除6的商减去x的4倍,
差,求x。
得12.4,求x。
③学校书法组有168人,比美术组的2倍还多6人。
美术组有多少人?
④商店运来490千克水果,卖了7筐,还剩下147千克,每一筐水果是多
少千克?
2、解方程。
6×(3-2x)=1.2×51.12x+(x-3)+x=153(x-9)÷(98-x-9)=4
练习四
【知识要点】列方程解应用题的步骤与方法。
1、填空。
①一只家鼠的最长寿命是x年,一只猫的寿命是家鼠的5.5倍,一只猫的
最长寿命是年,一只猫的最长寿命比家鼠的寿命多年。
②假日少年宫活动中,绘画组有a人,足球组的人数是绘画组的3倍,舞
蹈组的人数是绘画组的4倍,三个组共有人,舞蹈组比绘画组多人。
2、先填空,再列方程解应用题。
①李明和王军共有邮票54张,王军的张数是李明张数的2倍,李明和王军
各有邮票多少张?
李明邮票的张数○=54
②两袋大米共重104千克,甲袋重量是乙袋的3倍,两袋面粉各多少千克?
○乙袋的千克数=104
3、学校买一台电脑和一台彩电共用去8860元,已知一台电脑的价格是彩电
的2倍,一台电脑和一台彩电各是多少元?
【课外训练】
1、同学们植树,五六年级一共植了560棵,六年级植的棵数是五年级的1.5
倍,两个年级各植多少棵?
2、①两袋面粉共88千克,甲袋的重量是乙袋的3倍,两袋各多少千克?
②两袋面粉,甲比乙重34千克,甲袋是乙袋的3倍,两袋各多少?
练习五
【知识要点】进一步学会列方程解稍复杂的两、三步计算的应用题。
1、填空。
甲数是乙数的4倍,乙数比甲数少6,甲、乙两数各是多少?
下面列出
了几个方程。
每个方程中的x分别表示什么?
①x-x÷4=6中的x表示。
②(x+6)÷x=4中的x表示。
③x÷(x-6)=4中的x表示。
2、列方程解应用题。
①少先队员在果园,上午摘了18筐苹果,比下午少摘了100千克,下午
摘了22筐,平均每筐苹果重多少千克?
②今年10月份李明家用电131度,王强家用电120度,王强家少缴电费5.5
元。
平均每度电多少元?
【课外训练】
1、公共汽车上原有一些人,又上来25人,然后再下去了8人,这时还剩34
人。
公共汽车上原来有多少人?
2、①王大爷准备用400米长的栅栏围一个长方形养鸡场,如果长是宽的
3倍,这个养鸡场的长和宽各是多少米?
②王大爷准备用400米长的栅栏围一个长方形养鸡场,如果长比宽多
80米,这个养鸡场的长和宽各是多少米?
★3、三、四年级共植树360棵,其中四年级植的棵数比三年级的2倍还多
30棵。
三年级植树多少棵?
练习六
【知识要点】进一步掌握列方程解稍复杂的两、三步计算的应用题的方法。
1、把下面各等量关系式填写完整。
①原有的重量-×卖出的袋数=剩下的重量
②前3天修的米数+后4天平均每天修的米数×=
③(+下底)×÷2=梯形的面积
2、列方程解应用题。
①a、动物园里猴子的只数是熊猫的6倍,猴子比熊猫多30只,猴子与熊
猫各有多少只?
b、动物园里猴子的只数是熊猫的6倍,猴子和熊猫共35只,猴子与熊
猫各有多少只?
②一枝钢笔的价钱是一枝圆珠笔的4倍,李老师买了一枝钢笔和5枝圆珠
笔,一共用了12.6元。
钢笔和圆珠笔的单价各是多少元?
③上海“东方明珠”电视塔高468米,比一座普通住宅楼的31倍多3米,
这幢普通住宅楼高多少米?
④爸爸的年龄是小明的3.7倍,小明比爸爸小27岁。
爸爸和小明各多少岁?
⑤小明买5本日记本比买1本故事书多用5.8元,已知一本故事书的价钱
正好是一本日记本价钱的3倍。
一本日记本的价钱是多少元?
★⑥长方形的周长是19.4米。
长比宽的2倍少0.8米,这个长方形的长、
宽各是多少米?
练习七
【知识要点】进一步掌握列方程解相遇问题的有关应用题。
1、根据题意把方程补充完整。
①小明看一本153页的书,他每天看x页,看了5天后还剩63页没看。
=63;=53。
②妈妈买了20千克大米,每千克2.80元,又买了15千克面粉,每千克x
元,一共用去131.80元。
=131.80=2.80×20
2、列方程解应用题。
①甲、乙两个工程队共同开凿一具隧道。
15天共开凿了2070米,甲
队每天开凿65米,乙队每天开凿多少米?
②甲、乙两个工程队共同开凿一个隧道。
开凿了15天,甲队比乙队少
开凿了120米,甲队每天开凿65米,乙队每天开凿多少米?
③甲、乙两个工程队共同开凿一个隧道。
甲队每天开凿65米,乙队每
天开凿73米,铺了多少天后,甲队比乙队少铺120米?
【课外训练】
1、粮站有大米64吨,要求一次运往某地,大卡车每辆装5吨,小卡车每辆
装3吨,现有大卡车8辆,还需要小卡车几辆?
2、甲、乙两地相距420千米,一辆汽车从甲地开往乙地,每小时行60千米,
行了240千米后遇到从乙地开来的另一辆汽车。
如果从乙地开往甲地的
汽车每小时行40千米,算一算,这两辆汽车是不是同时开出的?
★3、甲乙两队合修一条63.2千米的路,两队共同修7天后,剩下的由乙按原来每天3.4千米的速度完成,又修了5天,甲队每天修多少千米?
练习八
【知识要点】用算术方法和方程方法解应用题的对比。
1、根据条件写出数量关系式。
①8箱苹果和10箱梨共重820千克。
+=
-=-=
②一个书包的价钱比一本笔记本的4倍多5元。
○=书包价钱○=5元
2、先用方程解,再用算术方法解。
①食堂买来大米800千克,吃10天后,还剩200千克,每天吃多少千克?
②一批大米,每天吃60千克,吃10天后还剩200千克,大米共多少千克?
③有36米布,正好做10件成人衣服和8件童装,成人衣服每件用布2.4
米,童装每件用布多少米?
【课外训练】
选择适当的方法解下面各题。
1、丰华村原有8户装了电话,现在装电话的户数比原来的13倍还多2户。
现在有多少户装了电话?
2、华村现有106户装了电话,比原来装电话户数的13倍多2户,原来有
多少户装了电话?
★3、小方买5盒糖,小明买4盒饼干,共用去44元。
如果两人对换一盒,两人物品的价值就相等。
一盒糖、一盒饼干各多少元?
练习九
【知识要点】灵活运用算术方法或方程方法解应用题。
1、解方程。
3(x-0.2)=9.610x+45×8=810
x-0.35x=0.910.3÷0.15+25x=12
选择适当的方法解答。
1、每本练习本0.16元,每枝铅笔0.25元,买9本练习本和8枝铅笔共付
多少元?
2、①畜牧场有羊的头数是牛的4倍,羊和牛一共有175头。
羊和牛各有
多少头?
②畜牧场有羊的头数是牛的4倍,牛有35头,羊和牛一共有多少头?
3、小明买2元的邮票和5元的邮票共用69元,买5元的9张,买2元的几
张?
4、用长120厘米的铁丝围成一个长方形,长是宽的1.5倍,求它的宽是多
少厘米?
★5、甲、乙两个修路队,共同修一段长125千米的路,甲每天修4千米,修2天后,乙加入又共同修了13天后全部完工,乙队每天修多少千米?
练习十
【知识要点】复习解两三步计算的方程和列方程方法解应用题。
1、解方程。
7.5x+x=10.2(1.5+x)×2=915x-5x+16=80
15.6÷4-3.5x=1.15x-4×12=22.514x÷3=6.3×4
2、列方程,并求出方程的解。
①一个数的8倍减去这个数②甲数是100,比乙数的3倍还多
的5倍是33.6,求这个数。
40,求乙数。
③一个数的3倍加上4.5乘以3的积,和是36.9,求这个数。
3、列方程解应用题。
①商店卖出的白糖和红糖共240千克,卖出的白糖是红糖的4倍,红糖和
白糖各卖出多少千克?
②水果店运来的苹果比香蕉多480千克,苹果的重量是香蕉的1.8倍,运
来苹果和香蕉各多少千克?
★③师徒两人做零件,师傅工作8小时,徒弟工作6小时,一共做了312个零件,已知徒弟5小时做的零
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