考研数三真题与答案解析完整版.docx
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考研数三真题与答案解析完整版
2013年考研数三真题及答案解析
一、选择题
1
—8小题.每小题
4分,共32分.、
1.当x
0
时,用o(x)表示比x高阶的无穷小,则下列式子中错误的是(
)
(A)xo(x2)
o(x3)
(B)o(x)o(x2)o(x3)
(C)o(x2)
o(x2)
o(x2)
(D)o(x)o(x2)o(x2)
【详解】由高阶无穷小的定义可知(
A)(B)(C)都是正确的,对于(
D)可找出反例,例
如当x0
时f(x)
x2
x3
o(x),g(x)
x3
o(x2),但f(x)
g(x)
o(x)而不是
o(x2)故应该选(D).
x
x
2.函数f(x)
1
的可去间断点的个数为(
)
x(x
1)lnx
(A)0
(B)1
(C)2
(D)3
【详解】当xlnx
x
1
exlnx
1~xlnx,
0时,x
x
xlnx
lim
f(x)
lim
x
1
lim
1,所以x
0是函数f(x)的可去间断点.
x0
x0x(x1)lnx
x0xlnx
x
xlnx
lim
f(x)
lim
x
1
lim
1,所以x
1是函数f(x)的可去间断点.
x1
x1x(x1)lnx
x02xlnx
2
x
x
xlnx
lim
f(x)
lim
1
lim
,所以所以x
1不是函数f(x)的
(x1)lnx
x
1
x
1x(x1)lnx
x
1
可去间断点.
故应该选(C).
3.设Dk是圆域D
(x,y)|x2
y2
1的第k象限的部分,记Ik
(y
x)dxdy,则
Dk
(
)
(A)
I1
0
BI2
0
C
3
0
DI4
0
()
()I
()
【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知
k
2
1
2
1
Ik
(y
x)dxdy
(k
1)
d
(sincos)r
dr
Dk
0
3
2
1
k
cos
|k2
sin
1
3
2
所以I1
I3
0,I2
2
I4
2
,应该选(B).
3
3
4.设an
为正项数列,则下列选择项正确的是(
)
(A)若an
an1,则
(1)n1an收敛;
n1
k
2
(sin
sin)d
k1
2
(B)若
(1)n1an收敛,则an
an1;
n1
(C)若
an收敛.则存在常数
P1,使limnpan存在;
n1
n
(D)若存在常数P1,使limnpan存在,则
an收敛.
n
n1
【详解】由正项级数的比较审敛法,可知选项(
D)正确,故应选(D).
此小题的(A)(B)选项想考查的交错级数收敛的莱布尼兹条件,对于选项(
A),但少一
条件liman
0,显然错误.而莱布尼兹条件只是交错级数收敛的充分条件,
不是必要条件,
n
选项(B)也不正确,反例自己去构造.
5.设A,B,C均为n阶矩阵,若AB=C,且B可逆,则
(A)矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价.
(B)矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价.
(C)矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价.
(D)矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价.
【详解】把矩阵A,C列分块如下:
A
1,2,
n,C1,
2,,n,由于AB=C,
则可知ibi11bi22
binn(i
1,2,
n),得到矩阵
C的列向量组可用矩阵A的
列向量组线性表示.同时由于B可逆,即ACB1,同理可知矩阵A的列向量组可用矩阵
C的列向量组线性表示,所以矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价.应该选(B).
1
a
1
2
0
0
6.矩阵a
b
a
与矩阵
0
b
0
相似的充分必要条件是
1
a
1
0
0
0
()a
0,b
2
()
a
0
,
b
为任意常数
A
B
(C)a2,b
0
(D)a2
,b为任意常数
2
0
0
1
a
1
2
0
0
【详解】注意矩阵0
b
0
是对角矩阵,所以矩阵
A=a
b
a与矩阵
0
b
0
相
0
0
0
1
a
1
0
0
0
似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等.
1
a
1
EA
a
b
a
(2
(b2)
2b2a2)
1
a
1
从而可知2b2a2
2b,即a
0,b为任意常数,故选择(
B).
7.设X1,X2,X3
是随机变量,且X1
~N(0,1),X2
~N(0,22),X3
~N(5,32),
Pi
P2Xi
2,则
(A)P1
P2
P3
(B)P2
P1
P3
(C)P3
P2
P1
(D)P1
P3
P2
【详解】若X~N(
2),则X
~N(0,1)
P1
2
(2)1,P2
P
2
X2
2
P
X2
1
2
(1)1,
1
2
P3
P2X3
2
P
2
5
X3
5
25
7
7
3
3
3
(1)
1)
3
3
,
P3P21
7
3
(1)0.
3
(1)2
3
故选择(A).
8.设随机变量X和Y相互独立,且
X和Y的概率分布分别为
X
0
1
2
P
1/2
1/4
1/8
Y
-1
0
P
1/3
1/3
则PXY2
(
)
(A)1
(B)1
(C)1
(D)
12
8
6
3P
1/8
1
1/3
1
2
【详解】
PXY2PX1,Y
1PX2,Y0PX
1
1
1
1
3,Y1
24
24
6
12
,故选择(C).
二、填空题(本题共
6小题,每小题4
分,满分24
分.
把
答案填在题中横线上)
9.设曲线y
f(x)和y
x2
x在点
1,0
处有切线,则
limnf
n
.
n
n
2
【详解】由条件可知f1
0,f'
(1)
1.所以
f
1
2
n
n
f
(1)
limnf
lim
2
2f'
(1)
2
n
2
2
n2
n
n
n
2
2n
10.设函数z
zx,y是由方程
z
yx
xy确定,则
z|(1,2)
.
x
【详解】
设
Fx,y,z
Fxx,y,z
(zy)xlzy)
当x1,y
2时,z
0,所以
11.
lnx
2dx
.
(1
x)
1
(
z
y
x
xy
,
则
)
y,Fz(x,ny,z)x(zy)x1,(
z|(1,2)
2
2ln2.
x
【详解】
1
lnx
2dx
1
lnxd
1
lnx|1
1
1
dx
ln
x
|1ln2
(1x)
1x
1
x
x(1x)
x
1
12.微分方程y
y
1y
0的通解为.
4
1
1
【详解】方程的特征方程为
r
0
,两个特征根分别为
4
1
2
,所以方程通
2
x
解为y(C1C2x)e2
,其中C1,C2
为任意常数.
13.设A
aij
是三阶非零矩阵,
A为其行列式,
Aij为元素aij
的代数余子式,且满足
Aijaij
0(i,j
1,2,3),则A=.
【详解】由条件
Aij
aij
0(i,j
1,2,3)可知A
A*T
0,其中A*为A的伴随矩阵,从
而可知
A*A*
T
31
A,所以A可能为
1或0.
A
n,r(A)
n
但由结论r(A*)
1,r(A)
n
1
可知,A
A*T
0
可知r(A)
r(A*),伴随矩阵的秩只
0,r(A)
n
1
能为3,所以A
1.
14.设随机变量
X服从标准正分布
X~N(0,1),则EXe2X
.
【详解】
EXe2X
1
x2
x
(x2)2
e
2
(x2)2
xe2x
e2
dx
e
2
dx
(x2
2)e2dx
2
2
2
2
e2
t2
t2
te2dt2
e2dt
e2E(X)2e2
2e2.
2
所以为2e2.
三、解答题
15.(本题满分10分)
当x
0时,1
cosxcos2xcos3x与axn是等价无穷小,求常数
a,n.
【分析】主要是考查x
0时常见函数的马克劳林展开式.
【
详
解
】
当
x0时
,
1
2
2
)
,
cxo1sx
o(x
1(2x)2
2
cos2x
1
o(x2)
1
2x2
o(x2)
,
2
cos3x
1
1(3x)2
o(x2)
1
9x2
o(x2),
2
2
所
以
1
cosxcos2xcos3x
1(1
1
x2
o(x2))(1
2x2
o(x2))(1
9
x2
o(x2))
7x2
o(x2)
2
2
,
由于1
cosxcos2xcos3x与axn是等价无穷小,所以a
7,n2
.
16.(本题满分
10分)
设D是由曲线y
3x,直线xa(a
0)及x轴所转成的平面图形,
Vx,Vy分别是D绕x
轴和y轴旋转一周所形成的立体的体积,若
10Vx
Vy
,求a的值.
【详解】由微元法可知
a
2
5
2dx
a
3a3
Vx
y
x3dx
;
0
0
5
a
a
4
7
x3dx
6a3
Vy
2
xf(x)dx2
0
;
0
7
由条件10VxVy,知a
7
7.
17.(本题满分
10分)
设平面区域D是由曲线x
3y,y
3x,x
y8所围成,求
x2dxdy.
D
【详解】
x2dxdy
x2dxdy
x2dxdy
2
x
2dxx
dy
x2dxx
dy
416
.
3x
6
8
x
D
D1
D2
0
3
2
3
3
18.(本题满分
10分)
设生产某产品的固定成本为
6000元,可变成本为
20元/件,价格函数为P
60
Q,(P
1000
是单价,单位:
元,Q是销量,单位:
件),已知产销平衡,求:
(1)该的边际利润.
(2)当P=50时的边际利润,并解释其经济意义.
(3)使得利润最大的定价P.
【详解】
(1)设利润为
Q
2
y,则yPQ(600020Q)40Q
6000,
1000
边际利润为y'
40
Q.
500
(2)当P=50时,Q=10000,边际利润为20.
经济意义为:
当P=50时,销量每增加一个,利润增加20.
(3)令y'
0,得Q
20000,P
20000
40.
60
10000
19.(本题满分10分)
设函数fx
在[0,
)上可导,
f
00,且lim
f(x)
2,证明
x
(1)存在a
0,使得fa
1;
(2)对
(1)中的a
,存在
(0,a),使得f'(
1
.
)
a
【详解】
证明
(1)由于
lim
(
)
2
,所以存在
X
0
,当x
X时,有
3
,
fx
5
x
f(x)
2
2
又由于f
x
在[0,
)上连续,且f0
0,由介值定理,存在a
0,使得fa1;
(2)函数f
x在[0,a]上可导,由拉格朗日中值定理,
存在
(0,a),使得f'(
)
f(a)
f(0)
1
.
a
a
20.(本题满分11分)
1
a
B
0
1
,问当a,b为何值时,存在矩阵
C,使得ACCA
B,并求出
设A
0
1
b
1
所有矩阵C.
【详解】
显然由AC
CA
B可知,如果C存在,则必须是
x1
x2
2阶的方阵.设C
,
x3
x4
则AC
CA
B变形为
x2
ax3
ax1
x2
ax4
01
,
x1
x3
x4
x2
ax3
1b
x2
ax3
0
即得到线性方程组
ax1
x2
ax4
1
,要使C存在,此线性方程组必须有解,于是对方
x1
x3
x4
1
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