运筹学课后练习答案熊伟第二版前五章.docx
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运筹学课后练习答案熊伟第二版前五章
运筹学课后练习答案(熊伟第二版,前五章)
教材习题答案
第1章线性规划
第2章线性规划的对偶理论第3章整数规划第4章目标规划第5章运输与指派问题第6章网络模型第7章网络计划第8章动态规划第9章排队论第10章存储论第11章决策论第12章对策论
目录
教材习题答案...................................................................................................................1
习题一......................................................................................................................1习题二....................................................................................................................29
习题三....................................................................................................................40习题四....................................................................................................................42习题五....................................................................................................................47
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习题一
讨论下列问题:
在例中,假定企业一周内工作5天,每天8小时,企业设备A有5台,利用率为,设备B有7台,利用率为,其它条件不变,数学模型怎样变化.
在例中,如果设xj(j=1,2,…,7)为工作了5天后星期一到星期日开始休息的营业员,该模型如何变化.
在例中,能否将约束条件改为等式;如果要求余料最少,数学模型如何变化;简述板材下料的思路.
在例中,若允许含有少量杂质,但杂质含量不超过1%,模型如何变化.
在例中,假定同种设备的加工时间均匀分配到各台设备上,要求一种设备每台每天的加工时间不超过另一种设备任一台加工时间1小时,模型如何变化.
工厂每月生产A、B、C三种产品,单件产品的原材料消耗量、设备台时的消耗量、资源
限量及单件产品利润如表1-22所示.
表1-22
产品资源材料(kg)设备(台时)利润(元/件)A310B14C412资源限量25001400根据市场需求,预测三种产品最低月需求量分别是150、260和1xx年内每年年初都有3万元可供投资:
方案一:
在三年内投资人应在每年年初投资,一年结算一次,年收益率是xx年可继续将本息投入获利;
方案二:
在三年内投资人应在第一年年初投资,两年结算一次,收益率是50%,下一年可继续将本息投入获利,这种投资最多不超过2万元;
方案三:
在三年内投资人应在第二年年初投资,两年结算一次,收益率是60%,这种投资最多不超过万元;
方案四:
在三年内投资人应在第三年年初投资,一年结算一次,年收益率是30%,这种投资最多不超过1万元.
投资人应采用怎样的投资决策使三年的总收益最大,建立数学模型.【解】是设xij为第i年投入第j项目的资金数,变量表如下
第1年第2年项目一x11x21项目二x12x23项目三x34项目四第3年x31数学模型为maxZx11?
x12?
30000x21?
x23?
30000x?
x?
3000012213134x12?
xx年份所需资金和净现值见表1-24.三个项目的投资方案是:
投资公司现在预付项目所需资金的百分比数,那么以后三年每年必须按此比例追加项目所需资金,也获得同样比例的净现值.例如,公司按10%投资项目1,现在必须支付400万,今后三年分别投入600万、900万和100万,获得净现值450万.
公司目前和预计今后三年可用于三个项目的投资金额是:
现有2500万,一年后xx年后xx年后1500万.当年没有用完的资金可以转入下一年继续使用.
IV公司管理层希望设计一个组合投资方案,在每个项目中投资多少百分比,使其投资获得的净现值最大.
表1-24
年份0123净现值项目140060090010045010%项目所需资金项目2项目3800800800700700900500xx年份012
每种活动单位资源使用量项目140100190项目280160240项目390140160累计可用资金(万元)250045006500
3净现值xx年份0123净现值项目2比例:
项目3比例:
项目1比例:
000000 累计投资(万元)
图解下列线性规划并指出解的形式:
maxZ?
?
2x1?
x2?
x1?
x2?
1
(1)?
x?
3x?
?
1?
12?
x,x?
02?
1【解】最优解X=;最优值Z=-1/2
minZ?
?
x1?
3x2?
2x1?
x2?
?
2
(2)?
2x?
3x?
12?
12?
x?
0,x?
02?
1【解】最优解X=;最优值Z=-45/4
minZ?
?
3x1?
2x2?
x1?
2x2?
11?
?
x1?
4x2?
10(3)2x1?
x2?
7?
x?
3x?
12?
1?
?
x1,x2?
0
【解】最优解X=;最优值Z=-10
maxZ?
x1?
x2?
3x1?
8x2?
12?
(4)?
x1?
x2?
2
?
?
2x1?
3?
x,x?
0?
12【解】最优解X=;最优值Z=7/4
minZ?
x1?
2x2?
x1?
x2?
2?
(5)?
x1?
3?
?
x2?
6?
x,x?
0?
12【解】最优解X=;最优值Z=3
maxZ?
x1?
2x2?
x1?
x2?
2?
(6)?
x1?
3?
?
x2?
6?
x,x?
0?
12
【解】无界解。
minZ?
2x?
5x?
x1?
2x2?
6(7)?
?
x1?
x2?
2?
x,x?
0?
12【解】无可行解。
maxZ?
?
2x2?
2x1?
x2?
8?
(8)x1?
2x2?
10?
x,x?
0?
12
【解】最优解X=;最优值Z=13
将下列线性规划化为标准形式
maxZ?
x1?
4x2?
x3?
2x1?
x2?
3x3?
20
(1)?
?
5x1?
7x2?
4x3?
3?
?
10x1?
3x2?
6x3?
?
5?
x?
0,x?
0,x无限制23?
1
'''【解】令x3?
x3?
x3,x4,x5,x6为松驰变量,则标准形式为
maxZ?
x1?
4x2?
x3?
x3'''?
2x1?
x2?
3x3?
3x3?
x4?
20?
'''?
5x1?
7x2?
4x3?
4x3?
x5?
3?
'''?
10x?
3x?
6x?
6x?
x6?
51233?
?
x,x,x',x'',x,x,x?
0?
1233456'''minZ?
9x1?
3x2?
5x3?
|6x1?
7x2?
4x3|?
20?
(2)?
x1?
5
?
?
x1?
8x2?
?
8?
x?
0,x?
0,x?
023?
1【解】将绝对值化为两个不等式,则标准形式为
maxZ9x1?
3x2?
5x3?
6x1?
7x2?
4x3?
x4?
20?
?
6x1?
7x2?
4x3?
x5?
20?
?
?
x1?
x6?
5?
?
x?
8x?
82?
1?
?
x1,x2,x3,x4,x5,x6?
0maxZ?
2x1?
3x2?
1?
x1?
5(3)x1?
x2?
?
1?
x?
0,x?
02?
1【解】方法1:
maxZ?
2x1?
3x2?
x1?
x3?
1?
?
x1?
x4?
5?
?
x1?
x2?
1?
x,x,x,x?
0?
1234方法2:
令x1?
?
x1?
1,有x1=x1?
?
1,x1?
?
5?
1?
4maxZ?
2(x1?
?
1)?
3x2?
x1?
?
4(x1?
?
1)?
x2?
?
1?
x,x?
0?
12则标准型为
maxZ?
2?
2x1?
?
3x2?
x1?
?
x3?
4x1?
?
x2?
0?
x?
x,x?
0?
123maxZ?
min(3x1?
4x2,x1?
x2?
x3)?
x1?
2x2?
x3?
30?
(4)?
4x1?
x2?
2x3?
15?
?
9x1?
x2?
6x3?
?
5?
x无约束,x、x?
023?
1
?
?
x1?
?
,线性规划模型变为【解】令y?
3x1?
4x2,y?
x1?
x2?
x3,x1?
x1
maxZ?
y?
y?
3(x1?
?
x1?
?
)?
4x2?
y?
x1?
?
x1x2?
x3?
?
?
x1?
?
x12x2?
x3?
304(x1?
x1)?
x2?
2x3?
15?
9(x?
?
x?
?
)?
x?
6x?
?
51123x1?
x1?
?
x2、x3?
0标准型为
maxZ?
y?
y?
3x1?
?
3x14x2?
x4?
0?
y?
x1?
?
x1x2?
x3?
x5?
0?
?
?
x1?
?
x12x2?
x3?
x6?
304x1?
4x1?
x2?
2x3?
x7?
15?
?
9x?
?
9xx?
6x?
x?
511238x1?
x1?
?
x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8?
0
设线性规划
maxZ?
5x1?
2x2?
2x1?
3x2?
x3?
50?
4x?
2x?
x?
60?
124?
x?
0,j?
1,?
4?
j?
2取基B1?
(P1,P3)41?
?
2?
、B2=?
0?
?
40?
分别指出B1和B2对应的基变量和非基变量,?
,1?
求出基本解,并说明B1、B2是不是可行基.
【解】B1:
x1,x3为基变量,x2,x4为非基变量,基本解为X=T,B1是可行基。
B2:
x1,x4是基变量,x2,x3为非基变量,基本解X=T,B2不是可行基。
分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划,指出单纯形法迭代的每一步的基可行解对应于图形上的那一个极点.
maxZ?
x1?
3x2?
?
2x1?
x2?
2
(1)?
?
2x1?
3x2?
12?
x,x?
0?
12【解】图解法
单纯形法:
C(j)C(i)003031对应的顶点:
基可行解、X
(1)=1BasisX3X4X2X4X2X1X1-221-2[8]70103X2[1]331001000X31001-3-3--0X4010010-b21202667/23/4Ratio24M C(j)-Z(j)C(j)-Z(j)C(j)-Z(j)可行域的顶点(37,)42、X=X(3)=(3737、,,0,0)42454
(2)最优解X?
(,),Z?
42
minZ?
?
3x1?
5x2?
x1?
(2)?
x1?
?
x1?
x?
1?
2x2?
6?
4x2?
10?
x2?
4?
0,x2?
0
【解】图解法
单纯形法:
C(j)BasisX3X4X5C(j)-Z(j)X3X2X5C(j)-Z(j)X1X2X5C(j)-Z(j)X1X2X4C(j)-Z(j)
-3-50-3-500-50C(i)000-3X1111-3 -10001000-5X22[4]1-50100010001000X3100010002---11-320X40100---1-00100X50010001000102-121b610401-220-16220-16
Ratio342102M40
对应的顶点:
基可行解、X
(1)=可行域的顶点、X=X(3)=X(4)=最优解:
X=;最优值Z=-16该题是退化基本可行解,5个基本可行解对应4个极点。
用单纯形法求解下列线性规划
maxZ?
3x?
4x?
x?
2x1?
3x2?
x3?
1
(1)?
?
x1?
2x2?
2x3?
3?
x?
0,j?
1,2,3?
j【解】单纯形表:
(2)(2,2)
C(j)BasisX4X5C(j)-Z(j)X2X5C(j)-Z(j)X1X5C(j)-Z(j)3040C(i)003X1213[2/3]-1/31/31004X2[3]241003/21/2-1/21X31211/34/3-1/31/23/2-1/20X41001/3-2/3-4/31/2-1/2-3/20X5010010010R.H.S.1301/37/3-4/31/25/2-3/2Ratio1/33/21/2M 最优解:
X=;最优值Z=3/2
maxZ?
2x1?
x2?
3x3?
5x4?
x1?
5x2?
3x3?
7x4?
30?
(2)?
3x1?
x2?
x3?
x4?
10?
2x?
6x2?
x3?
4x4?
20?
1?
xj?
0,j?
1,?
4?
【解】单纯形表:
C(j)BasisX5X6X7C(i)0002X11321X25-1-6-3X33[1]-15X4-71[4]0X51000X60100X7001R.H.S.Ratio301020M105
C(j)-Z(j)X5X6X4C(j)-Z(j)X5X2X4C(j)-Z(j)01500529/21-350010001000001065M-11/25/45/21/2-1/23258-43[1/2]5/4-3/2-1/417/2-7/40100155/27/2-230100007/4-1/41/4-5/455120102010MM01011-12-1/23-1/2-17310M 因为λ7=3>0并且ai7maxZ?
3x1?
2x2?
1x83?
?
x1?
2x2?
3x3?
4(3)?
?
4x1?
2x3?
12?
?
3x1?
8x2?
4x3?
10?
x,x,x?
0?
123
【解】C(j)BasisX4X5X6C(j)-Z(j)X4X1X6C(j)-Z(j)X4X1X2032030C(i)0003X1-1[4]3301000102X2208220[8]2001-X33-24-- -0X41000100010000X4100034112720X50100----0X5--T0X600100010-0-0X6--374R.H.S.41210073193RatioM3 M 6M C(j)-Z(j)000X3进基、X2出基,得到另一个基本最优解。
BasisX4X1X3C(j)3X10100182742X2-0-X30010
(2)03-R.H.S. Ratio6M C(j)-Z(j)原问题具有多重解。
基本最优解X
(1)?
(3,,0,,0)及X?
(,0,1111,,0);Z?
最优解的通解可表
示为X?
aX
(1)?
(1?
a)XX?
(3411
(2)即
a,18a,211?
211a,7211?
7211a,0),(0?
a?
1)
T?
111
minZ?
?
2x1?
x2?
4x3?
x4?
x1?
2x2?
x3?
3x4?
8?
(4)?
?
x2?
x3?
2x4?
10
?
2x?
7x2?
5x3?
10x4?
20?
1?
xj?
0,j?
1,?
4?
【解】单纯形表:
C(j)X5X6X7X3X6X7X3X4X7X1X4X7000-400-410-210-2102-21-172[2/5]-1/52-1/5100-1X22-17-12-31771/5-3/52-4X3[1]1-5-4100010005/21X4-32-101-3[5]-25-1101000100X510001-1540X6010001000X70010001000100010BasisC(i)X1R.H.S.Ratio81020810MMM23M35 C(j)-Z(j)8260C(j)-Z(j)46/52/57023524C(j)-Z(j)2/51/2-1/212/5-1/509/510-23/51/5511/53/2C(j)-Z(j)01/202最优解:
X=;最优值Z=-41
maxZ?
3x1?
2x2?
x3?
5x1?
4x2?
6x3?
25?
8x?
6x?
3x?
24?
123?
x?
0,j?
1,2,3?
j【解】单纯形表:
1/2-51/21/225/2C(j)BasisX4X5C(j)-Z(j)
3C(i)00X15[8]32X24621X36310X41000X5010R.H.S.25240Ratio53
X400 -100--1039 X131C(j)-Z(j)0-最优解:
X=;最优值Z=9
maxZ?
5x1?
6x2?
8x3?
x1?
3x2?
2x3?
50(6)?
?
x1?
4x2?
3x3?
80?
x?
0,x?
0,x?
023?
1【解】单纯形表:
56X23463/2-1/2-6318X3[2]38100210X41001/2-3/2-41-1-50X5010010010C(j)BasisX4X5C(j)-Z(j)X3X5C(j)-Z(j)X1X55080C(i)00X1115[1/2]-1/2110R.H.S.50800255-2005030-250Ratio25 50M C(j)-Z(j)0-9-2最优解:
X=;最优值Z=250
分别用大M法和两阶段法求解下列线性规划:
maxZ?
10x1?
5x2?
x3?
5x1?
3x2?
x3?
10
(1)?
?
5x?
x?
10x?
15?
123?
x?
0,j?
1,2,3?
j【解】大M法。
数学模型为maxZ?
10x1?
5x2?
x3?
Mx5?
5x1?
3x2?
x3?
x5?
105x1?
x2?
10x3?
x4?
15?
x?
0,j?
1,2,?
5?
j
C(j)BasisX5X4C(j)-Z(j)*BigMX1X4
10C(i)-M05-510510010-531-5341X31-1011-90X4010001-MX51000X1X2R.H.S.Ratio1015002252M 3/51/51/51
C(j)-Z(j)*BigM最优解X=(2,0,0);Z=20两阶段法。
第一阶段:
数学模型为minw?
x500-110-1000-2-1200 ?
5x1?
3x2?
x3?
x5?
105x1?
x2?
10x3?
x4?
15?
x?
0,j?
1,2,?
5?
jC(j)BasisX5X4C(j)-Z(j)X1X4C(j)-Z(j)第二阶段C(j)BasisX1X4C(j)-Z(j)最优解X=(2,0,0);Z=20
minZ?
5x1?
6x2?
7x3C(i)10000C(i)100X1[5]-5-510010X11000X231-340-5X240X31-10-1-901X3-90X40100100X40101X5100R.H.S.1015225R.H.S.225Ratio2M Ratio2M3/51/51/5113/51/5-11-1?
x1?
5x2?
3x3?
15?
(2)?
5x1?
6x2?
10x3?
20
?
x?
x2?
x3?
5?
1?
xj?
0,j?
1,2,3?
【解】大M法。
数学模型为
minZ?
5x1?
6x2?
7x3?
MA1?
MA3?
x1?
5x2?
3x3?
S1?
A1?
15?
?
5x1?
6x2?
10x3?
S2?
20?
?
x1?
x2?
x3?
A3?
5?
所有变量非负?
C(j)BasisA1S2
5C(i)M0X115-6X2[5]-6-7X3-3100S1-100S201MA110MA300Ratio15203M
A3M15-21/531/54/531/5-4/51/231/21-6-61000010001-72-3/532/5[8/5]-53/5-8/500100001-1/5-6/51/5-6/5-1/5-1/8-21/81/8000001000010000001/56/5-1/56/56/51/82-1/8-1/81100001003/8-45/853/815 33825C(j)-Z(j)*BigMX2S2A3C(j)-Z(j)*BigMX2S2X3-60-7-60MM95/165/4 15/4305/4 C(j)-Z(j)23/20*BigM0两阶段法。
第一阶段:
数学模型为minw?
A1?
A3?
x1?
5x2?
3x3?
S1?
A1?
15?
?
5x1?
6x2?
10x3?
S2?
20?
?
x1?
x2?
x3?
A3?
5?
所有变量非负?
C(j)BasisA1S2A3C(j)-Z(j)X2S2A3C(j)-Z(j)X2S2X3C(j)-Z(j)第二阶段:
C(j)BasisX2S2X3C(j)-Z(j)
0C(i)101
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- 关 键 词:
- 运筹学 课后 练习 答案 第二 版前五章
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