详解版九年级中考总复习华师大版精练精析二十一四边形222页考点+分析+点评.docx
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详解版九年级中考总复习华师大版精练精析二十一四边形222页考点+分析+点评
图形的性质——四边形2
一.选择题(共9小题)
1.如图,在▱ABCD中,点E是AD的中点,延长BC到点F,使CF:
BC=1:
2,连接DF,EC.若AB=5,AD=8,sinB=,则DF的长等于( )
A.
B.
C.
D.2
2.如图,在菱形ABCD中,M,N分别在AB,CD上,且AM=CN,MN与AC交于点O,连接BO.若∠DAC=28°,则∠OBC的度数为( )
A.28°B.52°C.62°D.72°
3.菱形的两条对角线长分别是6和8,则此菱形的边长是( )
A.10B.8C.6D.5
4.如图,菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,H为AD边中点,菱形ABCD的周长为28,则OH的长等于( )
A.3.5B.4C.7D.14
5.如图,在菱形ABCD中,E是AB边上一点,且∠A=∠EDF=60°,有下列结论:
①AE=BF;②△DEF是等边三角形;③△BEF是等腰三角形;④∠ADE=∠BEF,其中结论正确的个数是( )
A.3B.4C.1D.2
6.如图,在菱形ABCD中,AB=5,对角线AC=6.若过点A作AE⊥BC,垂足为E,则AE的长为( )
A.4B.
C.
D.5
7.如图,已知AC、BD是菱形ABCD的对角线,那么下列结论一定正确的是( )
A.△ABD与△ABC的周长相等
B.△ABD与△ABC的面积相等
C.菱形的周长等于两条对角线之和的两倍
D.菱形的面积等于两条对角线之积的两倍
8.如图,菱形ABCD的对角线AC=4cm,把它沿着对角线AC方向平移1cm得到菱形EFGH,则图中阴影部分图形的面积与四边形EMCN的面积之比为( )
A.4:
3B.3:
2C.14:
9D.17:
9
9.如图,两个连接在一起的菱形的边长都是1cm,一只电子甲虫从点A开始按ABCDAEFGAB…的顺序沿菱形的边循环爬行,当电子甲虫爬行2014cm时停下,则它停的位置是( )
A.点FB.点EC.点AD.点C
二.填空题(共7小题)
10.如图,在边长为3的菱形ABCD中,点E在边CD上,点F为BE延长线与AD延长线的交点.若DE=1,则DF的长为 _________ .
11.若菱形的周长为20cm,则它的边长是 _________ cm.
12.如图,在平面直角坐标系xOy中,若菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(﹣3,0),(2,0),点D在y轴上,则点C的坐标是 _________ .
13.如图,菱形ABCD中,E、F分别是BC、CD的中点,过点E作EG⊥AD于G,连接GF.若∠A=80°,则∠DGF的度数为 _________ .
14.如果菱形的两条对角线的长为a和b,且a,b满足(a﹣1)2+
=0,那么菱形的面积等于 _________ .
15.如图,在菱形ABCD中,AB=4cm,∠ADC=120°,点E、F同时由A、C两点出发,分别沿AB、CB方向向点B匀速移动(到点B为止),点E的速度为1cm/s,点F的速度为2cm/s,经过t秒△DEF为等边三角形,则t的值为 _________ .
16如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠A=60°,M是AD边的中点,N是AB边上的一动点,将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN,连接A′C,则A′C长度的最小值是 _________ .
三.解答题(共8小题)
17.已知:
如图,在平行四边形ABCD中,点E、F在AC上,且AE=CF.
求证:
四边形BEDF是平行四边形.
18.如图,在▱ABCD中,点O是对角线AC、BD的交点,点E是边CD的中点,点F在BC的延长线上,且CF=BC,求证:
四边形OCFE是平行四边形.
19.如图,四边形ABCD是平行四边形,E,F为对角线AC上两点,连接ED,EB,FD,FB.给出以下结论:
①BE∥DF;②BE=DF;③AE=CF.请你从中选取一个条件,使∠1=∠2成立,并给出证明.
20.如图,BD是△ABC的角平分线,点E,F分别在BC、AB上,且DE∥AB,EF∥AC.
(1)求证:
BE=AF;
(2)若∠ABC=60°,BD=6,求四边形ADEF的面积.
21.如图,在平行四边形ABCD中,∠C=60°,M、N分别是AD、BC的中点,BC=2CD.
(1)求证:
四边形MNCD是平行四边形;
(2)求证:
BD=
MN.
22.如图,四边形ABCD是平行四边形,E、F是对角线BD上的点,∠1=∠2.
(1)求证:
BE=DF;
(2)求证:
AF∥CE.
23.如图,在矩形ABCD中,E,F分别为AD,BC的中点,连结AF,DF,BE,CE,AF与BE交于G,DF与CE交于H.求证:
四边形EGFH为菱形.
24.如图:
在▱ABCD中,AC为其对角线,过点D作AC的平行线与BC的延长线交于E.
(1)求证:
△ABC≌△DCE;
(2)若AC=BC,求证:
四边形ACED为菱形.
图形的性质——四边形2
参考答案与试题解析
一.选择题(共9小题)
1.如图,在▱ABCD中,点E是AD的中点,延长BC到点F,使CF:
BC=1:
2,连接DF,EC.若AB=5,AD=8,sinB=,则DF的长等于( )
A.
B.
C.
D.2
考点:
平行四边形的判定与性质;勾股定理;解直角三角形.
分析:
由“平行四边形的对边平行且相等”的性质推知AD∥BC,且AD=BC;然后根据中点的定义、结合已知条件推知四边形CFDE的对边平行且相等(DE=CF,且DE∥CF),即四边形CFDE是平行四边形.如图,过点C作CH⊥AD于点H.利用平行四边形的性质、锐角三角函数定义和勾股定理求得CH=4,DH=3,则在直角△EHC中利用勾股定理求得CE的长度,即DF的长度.
解答:
证明:
如图,在▱ABCD中,∠B=∠ADC,AB=CD=5,AD∥BC,且AD=BC=8.
∵E是AD的中点,
∴DE=AD.
又∵CF:
BC=1:
2,
∴DE=CF,且DE∥CF,
∴四边形CFDE是平行四边形.
∴CE=DF.
过点C作CH⊥AD于点H.
又∵sinB=,
∴sin∠CDH=
=
=,
∴CH=4.
在Rt△CDH中,由勾股定理得到:
DH=
=3,则EH=4﹣3=1,
∴在Rt△CEH中,由勾股定理得到:
EC=
=
=
,
则DF=EC=
.
故选:
C.
点评:
本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理和解直角三角形.凡是可以用平行四边形知识证明的问题,不要再回到用三角形全等证明,应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题.
2.如图,在菱形ABCD中,M,N分别在AB,CD上,且AM=CN,MN与AC交于点O,连接BO.若∠DAC=28°,则∠OBC的度数为( )
A.28°B.52°C.62°D.72°
考点:
菱形的性质;全等三角形的判定与性质.
分析:
根据菱形的性质以及AM=CN,利用ASA可得△AMO≌△CNO,可得AO=CO,然后可得BO⊥AC,继而可求得∠OBC的度数.
解答:
解:
∵四边形ABCD为菱形,
∴AB∥CD,AB=BC,
∴∠MAO=∠NCO,∠AMO=∠CNO,
在△AMO和△CNO中,
∵
,
∴△AMO≌△CNO(ASA),
∴AO=CO,
∵AB=BC,
∴BO⊥AC,
∴∠BOC=90°,
∵∠DAC=28°,
∴∠BCA=∠DAC=28°,
∴∠OBC=90°﹣28°=62°.
故选:
C.
点评:
本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质,注意掌握菱形对边平行以及对角线相互垂直的性质.
3.菱形的两条对角线长分别是6和8,则此菱形的边长是( )
A.10B.8C.6D.5
考点:
菱形的性质;勾股定理.
专题:
计算题.
分析:
根据菱形的性质及勾股定理即可求得菱形的边长.
解答:
解:
∵四边形ABCD是菱形,AC=8,BD=6,
∴OB=OD=3,OA=OC=4,AC⊥BD,
在Rt△AOB中,
由勾股定理得:
AB=
=
=5,
即菱形ABCD的边长AB=BC=CD=AD=5.
故选:
D.
点评:
本题考查了菱形的性质和勾股定理,关键是求出OA、OB的长,注意:
菱形的对角线互相平分且垂直.
4.如图,菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,H为AD边中点,菱形ABCD的周长为28,则OH的长等于( )
A.3.5B.4C.7D.14
考点:
菱形的性质;直角三角形斜边上的中线;三角形中位线定理.
分析:
根据菱形的四条边都相等求出AB,菱形的对角线互相平分可得OB=OD,然后判断出OH是△ABD的中位线,再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得OH=AB.
解答:
解:
∵菱形ABCD的周长为28,
∴AB=28÷4=7,OB=OD,
∵H为AD边中点,
∴OH是△ABD的中位线,
∴OH=AB=×7=3.5.
故选:
A.
点评:
本题考查了菱形的对角线互相平分的性质,三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半,熟记性质与定理是解题的关键.
5.如图,在菱形ABCD中,E是AB边上一点,且∠A=∠EDF=60°,有下列结论:
①AE=BF;②△DEF是等边三角形;③△BEF是等腰三角形;④∠ADE=∠BEF,其中结论正确的个数是( )
A.3B.4C.1D.2
考点:
菱形的性质;全等三角形的判定与性质;等腰三角形的判定;等边三角形的判定与性质.
专题:
几何图形问题.
分析:
首先连接BD,易证得△ADE≌△BDF,然后可证得DE=DF,AE=BF,即可得△DEF是等边三角形,然后可证得∠ADE=∠BEF.
解答:
解:
连接BD,∵四边形ABCD是菱形,
∴AD=AB,∠ADB=∠ADC,AB∥CD,
∵∠A=60°,
∴∠ADC=120°,∠ADB=60°,
同理:
∠DBF=60°,
即∠A=∠DBF,
∴△ABD是等边三角形,
∴AD=BD,
∵∠ADE+∠BDE=60°,∠BDE+∠BDF=∠EDF=60°,
∴∠ADE=∠BDF,
∵在△ADE和△BDF中,
,
∴△ADE≌△BDF(ASA),
∴DE=DF,AE=BF,故①正确;
∵∠EDF=60°,
∴△EDF是等边三角形,
∴②正确;
∴∠DEF=60°,
∴∠AED+∠BEF=120°,
∵∠AED+∠ADE=180°﹣∠A=120°,
∴∠ADE=∠BEF;
故④正确.
∵△ADE≌△BDF,
∴AE=BF,
同理:
BE=CF,
但BE不一定等于BF.
故③错误.
综上所述,结论正确的是①②④.
故选:
A.
点评:
此题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质.此题难度较大,注意掌握数形结合思想的应用.
6.如图,在菱形ABCD中,AB=5,对角线AC=6.若过点A作AE⊥BC,垂足为E,则AE的长为( )
A.4B.
C.
D.5
考点:
菱形的性质.
专题:
几何图形问题.
分析:
连接BD,根据菱形的性质可得AC⊥BD,AO=AC,然后根据勾股定理计算出BO长,再算出菱形的面积,然后再根据面积公式BC•AE=AC•BD可得答案.
解答:
解:
连接BD,交AC于O点,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=AD=5,
∴AC⊥BD,AO=AC,BD=2BO,
∴∠AOB=90°,
∵AC=6,
∴AO=3,
∴B0=
=4,
∴DB=8,
∴菱形ABCD的面积是×AC•DB=×6×8=24,
∴BC•AE=24,
AE=
,
故选:
C.
点评:
此题主要考查了菱形的性质,以及菱形的性质面积,关键是掌握菱形的对角线互相垂直且平分.
7.如图,已知AC、BD是菱形ABCD的对角线,那么下列结论一定正确的是( )
A.△ABD与△ABC的周长相等
B.△ABD与△ABC的面积相等
C.菱形的周长等于两条对角线之和的两倍
D.菱形的面积等于两条对角线之积的两倍
考点:
菱形的性质.
专题:
几何图形问题.
分析:
分别利用菱形的性质结合各选项进而求出即可.
解答:
解:
A、∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=AD,
∵AC<BD,
∴△ABD与△ABC的周长不相等,故此选项错误;
B、∵S△ABD=S平行四边形ABCD,S△ABC=S平行四边形ABCD,
∴△ABD与△ABC的面积相等,故此选项正确;
C、菱形的周长与两条对角线之和不存在固定的数量关系,故此选项错误;
D、菱形的面积等于两条对角线之积的,故此选项错误;
故选:
B.
点评:
此题主要考查了菱形的性质应用,正确把握菱形的性质是解题关键.
8.如图,菱形ABCD的对角线AC=4cm,把它沿着对角线AC方向平移1cm得到菱形EFGH,则图中阴影部分图形的面积与四边形EMCN的面积之比为( )
A.4:
3B.3:
2C.14:
9D.17:
9
考点:
菱形的性质;平移的性质.
专题:
计算题;压轴题.
分析:
首先得出△MEC∽△DAC,则
=
,进而得出
=
,即可得出答案.
解答:
解:
∵ME∥AD,
∴△MEC∽△DAC,
∴
=
,
∵菱形ABCD的对角线AC=4cm,把它沿着对角线AC方向平移1cm得到菱形EFGH,
∴AE=1cm,EC=3cm,
∴
=,
∴
=
,
∴图中阴影部分图形的面积与四边形EMCN的面积之比为:
=
.
故选:
C.
点评:
此题主要考查了菱形的性质以及相似三角形的判定与性质,得出
=是解题关键.
9.如图,两个连接在一起的菱形的边长都是1cm,一只电子甲虫从点A开始按ABCDAEFGAB…的顺序沿菱形的边循环爬行,当电子甲虫爬行2014cm时停下,则它停的位置是( )
A.点FB.点EC.点AD.点C
考点:
菱形的性质;规律型:
图形的变化类.
专题:
规律型.
分析:
观察图形不难发现,每移动8cm为一个循环组依次循环,用2014除以8,根据商和余数的情况确定最后停的位置所在的点即可.
解答:
解:
∵两个菱形的边长都为1cm,
∴从A开始移动8cm后回到点A,
∵2014÷8=251余6,
∴移动2014cm为第252个循环组的第6cm,在点F处.
故选:
A.
点评:
本题是对图形变化规律的考查,观察图形得到每移动8cm为一个循环组依次循环是解题的关键.
二.填空题(共7小题)
10.如图,在边长为3的菱形ABCD中,点E在边CD上,点F为BE延长线与AD延长线的交点.若DE=1,则DF的长为 .
考点:
菱形的性质;相似三角形的判定与性质.
专题:
几何图形问题.
分析:
求出EC,根据菱形的性质得出AD∥BC,得出相似三角形,根据相似三角形的性质得出比例式,代入求出即可.
解答:
解:
∵DE=1,DC=3,
∴EC=3﹣1=2,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AD∥BC,
∴△DEF∽△CEB,
∴
=
,
∴
=,
∴DF=,
故答案为:
.
点评:
本题考查了菱形的性质,相似三角形的性质和判定的应用,注意:
菱形的对边互相平行.
11.若菱形的周长为20cm,则它的边长是 5 cm.
考点:
菱形的性质.
分析:
由菱形ABCD的周长为20cm,根据菱形的四条边都相等,即可求得其边长.
解答:
解:
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=AD,
∵菱形ABCD的周长为20cm,
∴边长为:
20÷4=5(cm).
故答案为:
5.
点评:
此题考查了菱形的性质,注意掌握菱形四条边都相等定理的应用是解此题的关键,比较容易解答.
12.如图,在平面直角坐标系xOy中,若菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(﹣3,0),(2,0),点D在y轴上,则点C的坐标是 (5,4) .
考点:
菱形的性质;坐标与图形性质.
专题:
几何图形问题.
分析:
利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长,进而求出C点坐标.
解答:
解:
∵菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(﹣3,0),(2,0),点D在y轴上,
∴AB=5,
∴DO=4,
∴点C的坐标是:
(5,4).
故答案为:
(5,4).
点评:
此题主要考查了菱形的性质以及坐标与图形的性质,得出DO的长是解题关键.
13.如图,菱形ABCD中,E、F分别是BC、CD的中点,过点E作EG⊥AD于G,连接GF.若∠A=80°,则∠DGF的度数为 50° .
考点:
菱形的性质;全等三角形的判定与性质;直角三角形斜边上的中线.
分析:
延长AD、EF相交于点H,根据线段中点定义可得CF=DF,根据两直线平行,内错角相等可得∠H=∠CEF,然后利用“角角边”证明△CEF和△DHF全等,根据全等三角形对应边相等可得EF=FH,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得GF=FH,根据等边对等角可得∠DGF=∠H,根据菱形的性质求出∠C=∠A,CE=CF,然后根据等腰三角形两底角相等求出∠CEF,从而得解.
解答:
解:
如图,延长AD、EF相交于点H,
∵F是CD的中点,
∴CF=DF,
∵菱形对边AD∥BC,
∴∠H=∠CEF,
在△CEF和△DHF中,
,
∴△CEF≌△DHF(AAS),
∴EF=FH,
∵EG⊥AD,
∴GF=FH,
∴∠DGF=∠H,
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠C=∠A=80°,
∵菱形ABCD中,E、F分别是BC、CD的中点,
∴CE=CF,
在△CEF中,∠CEF=(180°﹣80°)=50°,
∴∠DGF=∠H=∠CEF=50°.
故答案为:
50°.
点评:
本题考查了菱形的性质,全等三角形的判定与性质,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质,作辅助线构造出全等三角形和直角三角形是解题的关键,也是本题的难点.
14.如果菱形的两条对角线的长为a和b,且a,b满足(a﹣1)2+
=0,那么菱形的面积等于 2 .
考点:
菱形的性质;非负数的性质:
偶次方;非负数的性质:
算术平方根.
专题:
代数几何综合题.
分析:
根据非负数的性质列式求出a、b,再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解.
解答:
解:
由题意得,a﹣1=0,b﹣4=0,
解得a=1,b=4,
∵菱形的两条对角线的长为a和b,
∴菱形的面积=×1×4=2.
故答案为:
2.
点评:
本题考查了非负数的性质,菱形的性质,主要利用了菱形的面积等于对角线乘积的一半,需熟记.
15.如图,在菱形ABCD中,AB=4cm,∠ADC=120°,点E、F同时由A、C两点出发,分别沿AB、CB方向向点B匀速移动(到点B为止),点E的速度为1cm/s,点F的速度为2cm/s,经过t秒△DEF为等边三角形,则t的值为 .
考点:
菱形的性质;全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质.
专题:
动点型.
分析:
延长AB至M,使BM=AE,连接FM,证出△DAE≌EMF,得到△BMF是等边三角形,再利用菱形的边长为4求出时间t的值.
解答:
解:
延长AB至M,使BM=AE,连接FM,
∵四边形ABCD是菱形,∠ADC=120°
∴AB=AD,∠A=60°,
∵BM=AE,
∴AD=ME,
∵△DEF为等边三角形,
∴∠DAE=∠DFE=60°,DE=EF=FD,
∴∠MEF+∠DEA═120°,∠ADE+∠DEA=180°﹣∠A=120°,
∴∠MEF=∠ADE,
∴在△DAE和△EMF中,
∴△DAE≌EMF(SAS),
∴AE=MF,∠M=∠A=60°,
又∵BM=AE,
∴△BMF是等边三角形,
∴BF=AE,
∵AE=t,CF=2t,
∴BC=CF+BF=2t+t=3t,
∵BC=4,
∴3t=4,
∴t=
故答案为:
.
点评:
本题主要考查了菱形的性质,全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质等知识,解题的关键是运用三角形全等得出△BMF是等边三角形.
16.如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠A=60°,M是AD边的中点,N是AB边上的一动点,将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN,连接A′C,则A′C长度的最小值是
﹣1 .
考点:
菱形的性质;翻折变换(折叠问题).
分析:
根据题意得出A′的位置,进而利用锐角三角函数关系求出A′C的长即可.
解答:
解:
如图所示:
∵MA′是定值,A′C长度取最小值时,即A′在MC上时,
过点M作MF⊥DC于点F,
∵在边长为2的菱形ABCD中,∠A=60°,M为AD中点,
∴2MD=AD=CD=2,∠FDM=60°,
∴∠FMD=30°,
∴FD=MD=,
∴FM=DM×cos30°=
,
∴MC=
=
,
∴A′C=MC﹣MA′=
﹣1.
故答案为:
﹣1.
点评:
此题主要考查了菱形的性质以及锐角三角函数关系等知识,得出A′点位置是解题关键.
三.解答题(共8小题)
17.已知:
如图,在平行四边形ABCD中,点E、F在AC上,且AE=CF.
求证:
四边形BEDF是平行四边形.
考点:
平行四边形的判定与性质.
专题:
证明题.
分析:
根据平行四边形的性质,可得对角线互相平分,根据对角线互相平分的四边形式平行四边形,可得证明结论.
解答:
证明:
如图,连接BD设对角线交于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD.
∵AE=DF,OA﹣AE=OC﹣DF,
∴OE=OF.
∴四边形BEDF是平行四边形.
点评:
本题考查了平行四边形的判定与性质,利用了平行四边形的对角线互相平分,对角线互相平分的四边形是平行四边形.
18.如图,在▱ABCD中,点O是对角线AC、BD的交点,点E是边CD的中点,点F在BC的延长线上,且CF=BC,求证:
四边形OCFE是平行四边形.
考点:
平行四边形的判定与性质;三角形中位线定理.
专题:
证明题.
分析:
利用三角形中位线定理判定OE∥BC,且OE=BC.结合已知条件CF=BC,则OE
CF,由“有一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”证得结论.
解答:
证明:
如图,∵四边形ABCD是平行四边形,
∴点O是BD的中点.
又∵点E是边CD的中点,
∴OE是△BCD的中位线,
∴OE∥BC,且OE=BC.
又∵CF=BC,
∴OE=CF.
又∵点F在BC的延长线上,
∴OE∥CF,
∴四边形OCFE是平行四边形.
点评:
本题考查了平行四边形的性质和三角形中位线定理.此题利用了“平行四边形的对角线互相平分”的性质和“有一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”的判定定理.
19.如图,四边形ABCD是平行四边形,E,F为对角线AC上两点,连接ED,EB,FD,FB.给出以下结论:
①BE∥DF;②BE=DF;③AE=CF.请你从中选取一个条件,使∠1=∠2成立,并给出证明.
考点:
平行四边形的判定与性质;全等三角形的判定与性质.
专题:
证明题.
分析:
欲证明∠1=∠2,只需证得四边形EDFB是平行四边形或△ABF≌△CDE即可.
解
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