最新人教版高中数学必修3第一章《算法的概念》示范教案1.docx
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最新人教版高中数学必修3第一章《算法的概念》示范教案1
示范教案
教学分析
算法在中学数学课程中是一个新的概念,但没有一个精确化的定义,教科书只对它作了如下描述:
算法可以理解为由基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤,或者看成按要求设计好的有限的确切的计算序列,并且这样的步骤或序列能解决一类问题.
为了让学生更好地理解这一概念,教科书用两个例题(例1和例2)来说明算法的实质,并通过例3让学生体验算法的威力,以便加深对算法作用的理解.
值得注意的是:
教学中尽量借助于信息技术来显现算法的作用.
三维目标
1.了解算法的概念,体会算法的思想,培养学生的归纳能力.
2.经历、操作算法的具体步骤,表述每一步执行的算法含义,经过有限步会得出结果.
3.体会算法的作用,激发学生学习数学的兴趣.
重点难点
教学重点:
算法的含义及应用.
教学难点:
写出解决一类问题的算法.
课时安排
1课时
导入新课
思路1(情境导入).一个人带着三只狼和三只羚羊过河,只有一条船,同船可容纳一个人和两只动物,没有人在的时候,如果狼的数量不少于羚羊的数量狼就会吃羚羊.该人如何将动物转移过河?
请同学们写出解决问题的步骤,解决这一问题将要用到我们今天学习的内容——算法.
思路2(情境导入).大家都看过赵本山与宋丹丹演的小品吧,宋丹丹说了一个笑话,把大象装进冰箱总共分几步?
答案:
分三步,第一步:
把冰箱门打开;第二步:
把大象装进去;第三步:
把冰箱门关上.
上述步骤构成了把大象装进冰箱的算法,今天我们开始学习算法的概念.
思路3(直接导入).算法不仅是数学及其应用的重要组成部分,也是计算机科学的重要基础.在现代社会里,计算机已成为人们日常生活和工作中不可缺少的工具.听音乐、看电影、玩游戏、打字、画卡通画、处理数据,计算机是怎样工作的呢?
要想弄清楚这个问题,算法的学习是一个开始.
推进新课
讨论结果:
(1)代入消元法和加减消元法.
(2)回顾二元一次方程组
的求解过程,我们可以归纳出以下步骤:
第一步,①+②×2,得5x=1.③
第二步,解③,得x=.
第三步,②-①×2,得
5y=3.④
第四步,解④,得y=.
第五步,得到方程组的解为
(3)用代入消元法解二元一次方程组
我们可以归纳出以下步骤:
第一步,由①,得
x=2y-1.③
第二步,把③代入②,得2(2y-1)+y=1.④
第三步,解④,得
y=.⑤
第四步,把⑤代入③,得x=2×-1=.
第五步,得到方程组的解为
(4)对于一般的二元一次方程组
其中a1b2-a2b1≠0,可以写出类似的求解步骤:
第一步,①×b2-②×b1,得
(a1b2-a2b1)x=b2c1-b1c2.③
第二步,解③,得x=.
第三步,②×a1-①×a2,得
(a1b2-a2b1)y=a1c2-a2c1.④
第四步,解④,得y=.
第五步,得到方程组的解为
(5)算法的定义:
广义的算法是指完成某项工作的方法和步骤,那么我们可以说洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法,菜谱是做菜的算法等等.
在数学中,算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确有限的步骤.
现在,算法通常可以编成计算机程序,让计算机执行并解决问题.
(6)算法的特征:
①确定性:
算法的每一步都应当做到准确无误、“不重不漏”.“不重”是指不是可有可无的,甚至无用的步骤,“不漏”是指缺少哪一步都无法完成任务.②逻辑性:
算法从开始的“第一步”直到“最后一步”之间做到环环相扣,分工明确,“前一步”是“后一步”的前提,“后一步”是“前一步”的继续.③有穷性:
算法要有明确的开始和结束,当到达终止步骤时所要解决的问题必须有明确的结果,也就是说必须在有限步内完成任务,不能无限制地持续进行.
(7)在解决某些问题时,需要设计出一系列可操作或可计算的步骤来解决问题,这些步骤称为解决这些问题的算法.也就是说,算法实际上就是解决问题的一种程序性方法.算法一般是机械的,有时需进行大量重复的计算,它的优点是一种通法,只要按部就班地去做,总能得到结果.因此算法是计算机科学的重要基础.
思路1
例1“一群小兔一群鸡,两群合到一群里,要数腿共48,要数脑袋整17,多少小兔多少鸡?
”
分析:
设未知数,列方程解决;也可用算术方法直接求解.
解:
算术方法:
如果没有小兔,那么小鸡应为17只,总的腿数应为2×17=34条.但现在有48条腿,造成腿的数目不够是由于假定小兔的数目为0,每有一只小兔便会增加2条腿,故应该有
=7
只小兔,相应的,小鸡则应有10只.
求解鸡兔同笼问题的上述方法简单直观,却包含着深刻的算法思想.
代数方法:
设有x只小鸡,y只小兔,则有
(Ⅰ)
将方程组(Ⅰ)中的第一个方程的两边同乘以-2加到第二个方程中去,得到
(Ⅱ)
解方程组(Ⅱ)中的第二个方程,得y==7,
将y代入第一个方程,得
x=17-y=17-7=10.
即有10只小鸡,有7只小兔.
点评:
上述两种算法,都可以用来求解“鸡兔同笼”这类问题.只要给出“总头数”和“总腿数”,就可以算出鸡和兔的数量.
从本题的算法可以知道,求解某个问题的算法不一定是唯一的.我们现在学习的算法不同于求解一个具体问题的方法,它有如下的要求:
(1)写出的算法,必须能解决一类问题(例如解任意一个二元一次方程组),并且能重复使用;
(2)算法过程要能一步一步执行,每一步执行的操作,必须确切,不能含混不清,而且经过有限步后能得出结果.
变式训练
鸡兔49头,100只腿往地里走,问鸡兔各多少?
分析:
求解鸡兔的问题简单直观,却包含着深刻的算法思想.应用解二元一次方程组的方法来求解鸡兔同笼问题.
解:
算法如下:
S1 设有小鸡x只,小兔y只,则有
S2 将方程组中的第一个方程两边乘以-2加到第二个方程中去,得到
解得y=1.
S3 将y=1代入①,得x=48.
即有鸡48只,兔1只.
例2写出一个求有限整数序列中的最大值的算法.
分析:
这个例子对你理解算法会有很好的帮助.你可能会觉得,求一个整数序列的最大值是很简单的事,事实上也并不简单.如果从10个、8个整数中找出最大值,你一眼就能看出结果.如果从100个整数中找出最大值,你花点时间也能够找出,如果你要从一个1000000人的年龄序列表中找出年龄最大的一个,要是没有算法那可就是一件困难的事了.如果在你的计算机内已有了100万人口的年龄登记表,用计算软件转瞬间就可找出最大值.计算机能快速找出是靠软件(程序)支持,编写程序要依赖算法.如何对这个问题写出一个算法呢?
解:
为了便于理解,算法步骤用自然语言叙述:
S1 先假定序列中的第一个整数为“最大值”.
S2 将序列中的下一个整数值与“最大值”比较,如果它大于此“最大值”,这时你就假定“最大值”是这个整数.
S3 如果序列中还有其他整数,重复S2.
S4 在序列中一直到没有可比的数为止,这时假定的“最大值”就是这个序列中的最大值.
点评:
如果让你去找,你可能不会这样做,可能认为,这样太机械、太枯燥.不要忘了,我们写的是算法.算法要求“按部就班地做”,每做一步都有唯一的结果,又要求写出的算法对任意整数序列都适用,并且在有限步之后,总能得出结果.所以上面写的,符合算法要求.
变式训练
用数学语言,写出对任意3个整数a,b,c求出最大值的算法.
解:
算法步骤如下:
S1 max=a.(max表示最大值,这个式子的意思是,假定最大值是第一个整数)
S2 如果b>max,则max=b.
S3 如果c>max,则max=c.
S4 max就是a,b,c中的最大值.
例3应用Scilab计算指令解方程组:
解:
用Scilab程序:
打开Scilab程序,在界面上按下图中的格式输入两个未知数的系数和常数项:
得到这个方程组的解是x=2,y=-4.
点评:
不论给出的是多少个未知数的线性方程组,只要按上面的格式,在Scilab界面上输入给定的数据,瞬间就会输出解答.
在计算机上能够求解方程组,是由于计算机安装有计算软件,而软件的核心是算法,只要有了解决问题的算法,不管借助的工具是纸笔、计算器,还是计算机,都能按照算法步骤求得相同的结果.
变式训练
应用Scilab计算指令解方程组:
解:
略
思路2
例1
(1)设计一个算法,判断7是否为质数.
(2)设计一个算法,判断35是否为质数.
分析:
(1)根据质数的定义,可以这样判断:
依次用2~6除7,如果它们中有一个能整除7,则7不是质数,否则7是质数.
解:
(1)算法如下:
S1 用2除7,得到余数1.因为余数不为0,所以2不能整除7;
S2 用3除7,得到余数1.因为余数不为0,所以3不能整除7;
S3 用4除7,得到余数3.因为余数不为0,所以4不能整除7;
S4 用5除7,得到余数2.因为余数不为0,所以5不能整除7;
S5 用6除7,得到余数1.因为余数不为0,所以6不能整除7.因此,7是质数.
(2)类似地,可写出“判断35是否为质数”的算法:
S1 用2除35,得到余数1.因为余数不为0,所以2不能整除35;
S2 用3除35,得到余数2.因为余数不为0,所以3不能整除35;
S3 用4除35,得到余数3.因为余数不为0,所以4不能整除35;
S4 用5除35,得到余数0.因为余数为0,所以5能整除35.因此,35不是质数.
点评:
上述算法有很大的局限性,用上述算法判断35是否为质数还可以,如果判断1997是否为质数就麻烦了,因此,我们需要寻找普适性的算法步骤.
变式训练
请写出判断n(n>2)是否为质数的算法.
分析:
对于任意的整数n(n>2),若用i表示2~(n-1)中的任意整数,则“判断n是否为质数”的算法包含下面的重复操作:
用i除n,得到余数r.判断余数r是否为0,若是,则不是质数;否则,将i的值增加1,再执行同样的操作.
这个操作一直要进行到i的值等于(n-1)为止.
解:
算法如下:
S1 给定大于2的整数n;
S2 令i=2;
S3 用i除n,得到余数r;
S4 判断“r=0”是否成立.若是,则n不是质数,结束算法;否则,将i的值增加1,仍用i表示;
S5 判断“i>(n-1)”是否成立.若是,则n是质数,结束算法;否则,返回第3步.
例2写出用“二分法”求方程x2-2=0(x>0)的近似解的算法.
分析:
令f(x)=x2-2,则方程x2-2=0(x>0)的解就是函数f(x)的零点.
“二分法”的基本思想是:
把函数f(x)的零点所在的区间[a,b]〔满足f(a)·f(b)<0〕“一分为二”,得到[a,m]和[m,b].根据“f(a)·f(m)<0”是否成立,取出零点所在的区间[a,m]或[m,b],仍记为[a,b].对所得的区间[a,b]重复上述步骤,直到包含零点的区间[a,b]“足够小”,则[a,b]内的数可以作为方程的近似解.
解:
S1 令f(x)=x2-2,给定精度d;
S2 确定区间[a,b],满足f(a)·f(b)<0;
S3 取区间中点m=;
S4 若f(a)·f(m)<0,则含零点的区间为[a,m];否则,含零点的区间为[m,b].将新得到的含零点的区间仍记为[a,b];
S5 判断[a,b]的长度是否小于d或f(m)是否等于0.若是,则m是方程的近似解;否则,返回第三步.
点评:
算法一般是机械的,有时需要进行大量的重复计算,只要按部就班地去做,总能算出结果,通常把算法过程称为“数学机械化”.数学机械化的最大优点是它可以借助计算机来完成,实际上处理任何问题都需要算法.如:
中国象棋有中国象棋的棋谱、走法、胜负的评判准则;而国际象棋有国际象棋的棋谱、走法、胜负的评判准则;再比如申请出国有一系列的先后手续,购买物品也有相关的手续……
变式训练
求方程f(x)=x3+x2-1=0在[0,1]上的近似解,精度为0.01.
分析:
利用二分法求解.
解:
通过下列步骤求得方程的近似解:
S1 因为f(0)=-1,f
(1)=1,f(0)·f
(1)<0,则区间[0,1]为有解区间,精度1-0=1>0.01;
S2 取[0,1]的区间中点0.5;
S3 计算f(0.5)=-0.625;
S4 由于f(0.5)·f
(1)<0,可得新的有解区间[0.5,1],精度1-0.5=0.5>0.01;
S5 取[0.5,1]的区间中点0.75;
S6 计算f(0.75)=-0.01563;
S7 由于f(0.75)·f
(1)<0,可得新的有解区间[0.75,1],精度1-0.75=0.25>0.01;
……
当得到新的有解区间[0.75,0.757825]时,由于|0.757825-0.75|=0.007825<0.01,
该区间精度已满足要求,所以取区间[0.75,0.757825]的中点0.7539125,它是方程的一个近似解.
1.设计算法判断一元二次方程ax2+bx+c=0是否有实数根.
解:
算法步骤如下:
S1 输入一元二次方程的系数:
a,b,c;
S2 计算Δ=b2-4ac的值;
S3 判断Δ≥0是否成立.若Δ≥0成立,输出“方程有实根”;否则输出“方程无实根”,结束算法.
2.喝一杯茶需要这样几个步骤:
洗刷水壶、烧水、洗刷茶具、沏茶.问:
如何安排这几个步骤?
并给出两种算法,再加以比较.
分析:
本例主要为加深对算法概念的理解,可结合生活常识对问题进行分析,然后解决问题.
解:
算法一:
S1 洗刷水壶;
S2 烧水;
S3 洗刷茶具;
S4 沏茶.
算法二:
S1 洗刷水壶;
S2 烧水,烧水的过程当中洗刷茶具;
S3 沏茶.
3.一个人带着三只狼和三只羚羊过河,只有一条船,同船可容纳一个人和两只动物,没有人在的时候,如果狼的数量不少于羚羊的数量狼就会吃掉羚羊.该人如何将动物全部安全转移过河?
请设计算法.
分析:
任何动物同船不用考虑动物的争斗但需考虑承载的数量,还应考虑到两岸的动物都得保证狼的数量要小于羚羊的数量,故在算法的构造过程中尽可能保证船里面有狼,这样才能使得两岸的羚羊数量占到优势.
解:
算法步骤:
S1 人带两只狼过河,并自己返回;
S2 人带一只狼过河,自己返回;
S3 人带两只羚羊过河,并带两只狼返回;
S4 人带一只羊过河,自己返回;
S5 人带两只狼过河.
中国网通规定:
拨打市内电话时,如果不超过3分钟,则收取话费0.22元;如果通话时间超过3分钟,则超出部分按每分钟0.1元收取通话费,不足一分钟按一分钟计算.设通话时间为t(分钟),通话费用y(元),设计算法,计算通话的费用.
分析:
数学模型实际上为y关于t的分段函数.
关系式如下:
y=
其中[t-3]表示取不大于t-3的整数部分.
解:
算法步骤如下:
S1 输入通话时间t;
S2 如果t≤3,那么y=0.22,否则判断t∈Z是否成立,若成立执行
y=0.2+0.1×(t-3),否则执行y=0.2+0.1×([t-3]+1);
S3 输出通话费用y.
1.正确理解算法这一概念.
2.结合例题掌握算法的特点,能够写出常见问题的算法.
本节练习A 1、2、3.
本节的引入精彩独特,让学生在感兴趣的故事里进入本节的学习.算法是本章的重点也是本章的基础,是一个较难理解的概念.为了让学生正确理解这一概念,本节设置了大量学生熟悉的事例,让学生仔细体会反复训练.本节的事例有古老的经典算法,有几何算法等,因此这是一节很好的课例.
备选习题
1.设计一个算法,求840与1764的最大公因数.
分析:
我们已经学习了对自然数进行素因数分解的方法,下面的算法就是在此基础上设计的.解答这个问题需要按以下思路进行.
首先,对两个数分别进行素因数分解:
840=23×3×5×7, 1764=22×32×72.
其次,确定两数的公共素因数:
2,3,7.
接着,确定公共素因数的指数:
对于公共素因数2,22是1764的因数,23是840的因数,因此22是这两个数的公因数,这样就确定了公共素因数2的指数为2.同样,可以确定出公因数3和7的指数均为1.这样,就确定了840与1764的最大公因数为22×3×7=84.
解:
算法步骤如下:
S1 先将840进行素因数分解:
840=23×3×5×7;
S2 然后将1764进行素因数分解:
1764=22×32×72;
S3 确定它们的公共素因数:
2,3,7;
S4 确定公共素因数的指数:
公共素因数2,3,7的指数分别为2,1,1;
S5 最大公因数为22×31×71=84.
2.在给定素数表的条件下,设计算法,将936分解成素因数的乘积.
分析:
1.查表判断936是否是素数:
(1)如果936是素数,则分解结束;
(2)如果936不是素数,则进行第2步.
2.确定936的最小素因数:
2 (936=2×468).
3.查表判断468是否是素数:
(1)如果468是素数,则分解结束;
(2)如果468不是素数,则重复上述步骤,确定468的最小素因数.
重复进行上述步骤,直到找出936的所有素因数.
解:
算法步骤如下:
S1 判断936是否为素数:
否;
S2 确定936的最小素因数:
2 (936=2×468);
S3 判断468是否为素数:
否;
S4 确定468的最小素因数:
2 (936=2×2×234);
S5 判断234是否为素数:
否;
S6 确定234的最小素因数:
2 (936=2×2×2×117);
S7 判断117是否为素数:
否;
S8 确定117的最小素因数:
3 (936=2×2×2×3×39);
S9 判断39是否为素数:
否;
S10 确定39的最小素因数:
3 (936=2×2×2×3×3×13);
S11 判断13是否为素数:
13是素数,所以分解结束.
分解结果是936=2×2×2×3×3×13.
3.一位商人有9枚银元,其中有1枚略轻的是假银元.你能用天平(不用砝码)将假银元找出来吗?
分析:
最容易想到的解决这个问题的一种方法是:
把9枚银元按顺序排成一列,先称前2枚,若不平衡,则可找出假银元;若平衡,则2枚银元都是真的,再依次与剩下的银元比较,就能找出假银元.
解:
按照下列步骤,就能将假银元找出来:
S1 任取2枚银元分别放在天平的两边.如果天平左右不平衡,则轻的一边就是假银元;如果天平平衡,则进行第2步;
S2 取下右边的银元,放在一边,然后把剩余的7枚银元依次放在右边进行称量,直到天平不平衡,偏轻的那一枚就是假银元.
图1
这种算法最少要称1次,最多要称7次.是不是还有更好的办法,使得称量次数少一些?
我们可以采用下面的方法:
S1 把银元分成3组,每组3枚;
S2 先将两组分别放在天平的两边.如果天平不平衡,那么假银元就在轻的那一组;如果天平左右平衡,则假银元就在未称的第3组里;
S3 取出含假银元的那一组,从中任取两枚银元放在天平的两边.如果左右不平衡,则轻的那一边就是假银元;如果天平两边平衡,则未称的那一枚就是假银元.
图2
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