学年高中数学全一册课件打包套新人教A版选择性必修第一册.pptx
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学年高中数学全一册课件打包套新人教A版选择性必修第一册.pptx
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1.1空间向量及其运算,第一章空间向量与立体几何,1.1.1空间向量及其线性运算,学习目标:
1.了解空间向量的概念,掌握空间向量的几何表示法和字母表示法;2.会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律;3.了解共面向量的意义,掌握其表示方法,理解共线向量定理和共面向量定理及其推论.教学重点:
空间向量的线性运算和运算律.教学难点:
共线向量定理及共面向量定理.,探究一空间向量的概念及表示,空间向量的定义:
在空间,我们把具有大小和方向的量叫做空间向量,空间向量的大小叫做空间向量的长度或模.空间向量用字母a,b,c,表示.,与平面向量一样,空间向量也用有向线段表示,有向线段的长度表示空间向量的模.如图1.1-1,向量a的起点是A,终点是B,则向量a也可以记作,其模记为|或.图1.1-2所示的正方体中,过同一个顶点O的三条棱上的三条有向线段表示的三个向量为,它们是不共面的向量,即它们是不同在任何一个平面内的三个向量.,长度为0的向量叫做零向量,记为0.当有向线段的起点A与终点B重合时,=.模为1的向量叫做单位向量.与向量a长度相等而方向相反的向量,叫做a的相反向量,记为-a.,如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么这些向量叫做共线向量或平行向量.,规定:
零向量与任意向量平行,即对于任意向量a,都有/.,方向相同且模相等的向量叫做相等向量.因此,在空间,同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.,空间向量是自由的,对于空间中的任意两个非零向量,可以通过平移使它们的起点重合.因为两条相交直线确定一个平面,所以起点重合的两个不共线向量可以确定一个平面,也就是说,任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内,成为同一平面内的两个向量.如图1.1-3,已知空间向量a,b,以任意点O为起点,作向量=,=,我们就可以把它们平移到同一个平面内.,问题1平面向量与空间向量有什么区别与联系?
(1)区别:
平面向量研究的是二维平面的向量,空间向量研究的是三维空间的向量.,
(2)联系:
空间向量的定义、表示方法及零向量、单位向量、相反向量、相等向量和共线向量(平行向量)的概念都与平面向量相同.,探究二空间向量的线性运算,问题2如图1.1-4和图1.1-5,计算+,.,
(1)+=+=;
(2)=;(3)当0时,=;当0时,=;当=0时,=.,问题3由此是否能得出空间向量线性运算的运算律?
空间向量线性运算的运算律:
(1)交换律:
+=+;,
(2)结合律:
+(+)=(+)+,()=();,(3)分配律:
+)=+,(+)=+.,问题4如图1.1-6,在平行六面体中,分别标出+,+表示的向量.从中体会向量加法运算的交换律和结合律.一般地,三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系?
在平行四边形ABCD中,+=;在平行四边形中,+=;在平行四边形中,+=;在平行四边形中,+=.故+=+=.一般地,对于三个不共面的向量a,b,c,以任意点O为起点,a,b,c为邻边作平行六面体,则a,b,c的和等于以O为起点的平行六面体对角线所表示的向量.利用向量加法的交换律和结合律,可以得到:
有限个向量求和,交换相加向量的顺序,其和不变.,探究三共线向量及共面向量,问题5对任意两个空间向量a与b,如果=(,a与b有什么位置关系?
反过来,a与b有什么位置关系时,=?
类似于平面向量共线的充要条件,对任意两个空间向量a,b0,/的充要条件是存在实数,使=.(共线向量定理),如图1.1-7,O是直线l上一点,在直线l上取非零向量a,则对于直线l上任意一点P,由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知,存在实数,使得=.,与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量.这样,直线l上任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示,也就是说,直线可以由其上一点和它的方向向量确定.,如图1.1-8,如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合,那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面或在平面内,那么称向量a平行于平面.平行于同一个平面的向量,叫做共面向量.,问题6我们知道,任意两个空间向量总是共面的,但三个空间向量既可能是共面的,也可能是不共面的.那么,什么情况下三个空间向量共面呢?
带着问题6来进行探究.,问题7对平面内任意两个不共线向量a,b,由平面向量基本定理可知,这个平面内的任意一个向量p可以写成=+,其中(x,y)是唯一确定的有序实数对.对两个不共线的空间向量a,b,如果=+,那么向量p与向量a,b有什么位置关系?
反过来,向量p与向量a,b有什么位置关系时,=+?
可以发现,如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使=+.(共面向量定理),例1如图1.1-9,已知平行四边形ABCD,过平面AC外一点O作射线OA,OB,OC,OD,在四条射线上分别取点E,F,G,H,使=.求证:
E,F,G,H四点共面.,1.下列命题:
若向量a,b共线,则向量a,b所在的直线平行;若向量a,b所在的直线为异面直线,则向量a,b一定不共面;若三个向量a,b,c两两共面,则向量a,b,c共面;分别表示空间向量的两条有向线段所在的直线是异面直线,则这两个向量不是共面向量.其中正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.3,练一练,A,解析:
a与b共线,a,b所在直线也可能重合,故错误;根据向量的意义知,空间任意两向量a,b都共面,故错误;三个向量a,b,c中任意两个一定共线,但它们三个却不一定共面,故错误;因为空间任意两向量平移之后均可共面,所以空间任意两向量均共面,故错误.综上可知四个命题中正确的个数为0,故选A.,练一练,A,练一练,A,练一练,课堂小结你学到了那些新知识呢?
空间向量的概念;空间向量的线性运算;空间共线向量与共面向量.,1.1空间向量及其运算,第一章空间向量与立体几何,1.1.2空间向量的数量积运算,学习目标:
1.了解空间向量的夹角、模的概念及其表示;2.掌握空间向量的数量积及其运算律;3.能运用向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、距离或长度等问题.教学重点:
数量积的计算及其应用.教学难点:
将立体几何问题转化为向量的计算问题.,如下图,已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作=,=,则叫做向量a,b的夹角,记作.,如果=2,那么向量a,b互相垂直,记作.,已知两个非零向量a,b,则|cos叫做a,b的数量积,记作.即=|cos.,零向量与任意向量的数量积为0.,由向量的数量积定义,可以得到:
=0,=|cos=|2,也记作2.,如图
(1),在空间,向量a向向量b投影,由于它们是自由向量,因此可以先将它们平移到同一个平面内,进而利用平面上向量的投影,得到与向量b共线的向量c,=|cos|,向量c称为向量a在向量b上的投影向量.类似地,可以将向量a向直线l投影(如图
(2).,如图(3),向量a向平面投影,就是分别由向量a的起点A和终点B作平面的垂线,垂足分别为,得到向量,向量称为向量a在平面上的投影向量.这时,向量a,的夹角就是向量a所在直线与平面所成的角.,空间向量的数量积的运算律:
)=(),;,=(交换律);,+)=+(分配律).,练一练,B,练一练,B,练一练,D,练一练,310,练一练,课堂小结你学到了那些新知识呢?
空间向量数量积的概念;空间向量数量积的运算律.,1.2空间向量基本定理,第一章空间向量与立体几何,学习目标,1.理解空间向量基本定理的意义.2.理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表示.3.会在简单问题中选用空间三个不共面向量作基底,表示其他的向量.4.会用空间向量基本定理证明平行、垂直问题和求夹角.,我们知道,平面内的任意一个向量p都可以用两个不共线的向量a,b来表示(平面向量基本定理).类似地,任意一个空间向量能否用任意三个不共面的向量a,b,c来表示呢?
思考?
探究,在空间中,如果用任意三个不共面的向量a,b,c代替两两垂直的向量i,j,k,你能得出类似的结论吗?
空间向量基本定理,基底和基向量,单位正交基底,由空间向量基本定理可知,如果把三个不共面的向量作为空间的一个基底,那么所有空间向量都可以用三个基向量表示出来,进一步地,所有空间向量间的运算都可以转化为基向量间的运算,这为解决问题带来了方便.,课堂小练,课堂小结你学到了那些新知识呢?
本节课学习了空间向量基本定理,Thanks!
1.3.1空间直角坐标系,第一章空间向量与立体几何,学习目标,1.了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标系刻画点的坐标.2.会用坐标表示空间向量.,在平面向量中,我们以平面直角坐标系中与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j为基底,建立了向量的坐标与点的坐标的一一对应关系,从而把平面向量的运算化归为数的运算.类似地,为了把空间向量的运算化归为数的运算,能否利用空间向量基本定理和空间的单位正交基底,建立空间直角坐标系,进而建立空间向量的坐标与空间点的坐标的一一对应呢?
下面我们就来研究这个问题.,思考,我们知道,平面直角坐标系由平面内两条互相垂直、原点重合的数轴组成.利用单位正交基底概念,我们还可以这样理解平面直角坐标系:
如图,在平面内选定一点O和一个单位正交基底i,j,以O为原点,分别以i,j的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立两条数轴:
x轴、y轴,那么我们就建立了一个平面直角坐标系.,类比如何得出空间直角坐标系呢?
类似地,在空间选定一点O和一个单位正交基底i,j,k(如图).以点O为原点,分别以i,j,k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:
x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴,这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz,O叫做原点,i,j,k都叫做坐标向量,通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为Oxy平面,Oyz平面,Ozx平面,它们把空间分成八个部分.,画空间直角坐标系Oxyz时,一般使xOy=135(或45),yOz=90.在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,如果中指指向z轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系.,探究,在平面直角坐标系中,每一个点和向量都可用一对有序实数(即它的坐标)表示.对空间直角坐标系中的每一个点和向量,是否也有类似的表示呢?
思考?
课堂小练,课堂小结你学到了那些新知识呢?
本节课学习了空间直角坐标系.,Thanks!
1.3.2空间向量运算的坐标表示,第一章空间向量与立体几何,学习目标,1.掌握空间向量坐标运算公式,并能解决相应问题.2.掌握平行向量、垂直向量的坐标表示,并能解决相关的向量的平行、向量的垂直问题.3.能熟练应用两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式.,有了空间向量的坐标表示,你能类比平面向量的坐标运算,得出空间向量运算的坐标表示并给出证明吗?
思考,空间向量运算的坐标表示,空间向量数量积运算的坐标表示,由上述结论可知,空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示是完全一致的.例如,我们有:
一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.,空间向量的平行、垂直、模和夹角余弦的坐标表示,空间两点间距离公式,课堂小练,课堂小结你学到了那些新知识呢?
本节课学习了空间向量坐标运算公式、空间平行向量、垂直向量的坐标表示以及两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式.,Thanks!
1.4空间向量的应用,第一章空间向量与立体几何,1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系(第二课时),学习目标:
1.能用向量语言描述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系;2.能用向量方法证明有关直线、平面位置关系的一些定理.教学重点:
用直线的方向向量和平面的法向量证明直线与平面的位置关系.教学难点:
建立立体图形与空间向量之间的联系,把立体几何问题转化为空间向量问题.,复习,直线的方向向量和平面的法向量.,问题由直线与直线、直线与平面或平面与平面的平行关系,可以得到直线的方向向量、平面的法向量间的什么关系?
如图,设1,2分别是直线1,2的方向向量.由方向向量的定义可知,如果两条直线平行,那么它们的方向向量一定平行;反过来,如果两条直线的方向向量平行,那么这两条直线也平行.所以1212,使得1=2.,类似地,如图,设u是直线l的方向向量,n是平面的法向量,则=0.,如图,设1,2分别是平面,的法向量,则12,使得1=2.,练一练,D,练一练,B,练一练,D,练一练,平行,练一练,课堂小结你学到了那些新知识呢?
用向量语言描述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.,1.4空间向量的应用,第一章空间向量与立体几何,1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系(第三课时),学习目标:
1.能用向量语言描述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系;2.能用向量方法证明有关直线、平面位置关系的一些定理.教学重点:
用直线的方向向量和平面的法向量证明直线与平面的位置关系.教学难点:
建立立体图形与空间向量之间的联系,把立体几何问题转化为空间向量问题.,思考,类似空间中直线、平面平行的向量表示,在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中,直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系?
一般地,直线与直线垂直,就是两直线的方向向量垂直;直线与平面垂直,就是直线的方向向量与平面的法向量平行;平面与平面垂直,就是两平面的法向量垂直.,1.用向量刻画线线垂直,如图,设直线1,2的方向向量分别为1,2,则,121212=0,2.用向量刻画线面垂直,如图,设直线l的方向向量为u,平面的法向量为n,则,,使得=.,3.用向量刻画面面垂直,如图,设平面,的法向量分别为1,2,则,1212=0.,练一练,A,练一练,C,练一练,3,练一练,练一练,课堂小结你学到了那些新知识呢?
用向量语言描述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.,1.4空间向量的应用,第一章空间向量与立体几何,1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系(第一课时),学习目标:
1.能用向量语言描述点、直线和平面;2.理解直线的方向向量和平面的法向量.教学重点:
理解直线的方向向量和平面的法向量.教学难点:
建立立体图形与空间向量之间的联系,把立体几何问题转化为空间向量问题.,问题1如何用向量表示空间中的一个点?
如图,在空间中,取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P就可以用向量来表示.我们把向量称为点P的位置向量.,问题2空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线l,如何用向量表示直线l?
用向量表示直线l,就是要利用点A和直线l的方向向量表示直线上的任意一点.,如图,a是直线l的方向向量,在直线l上取=,设P是直线l上的任意一点,由向量共线的条件可知,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使得=,即=.,如图,取定空间中的任意一点O,可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使=+,将=代入式,得=+.,式和式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.,证明上述结论:
设l是空间中的任意一条直线,点M为其上一点,点P为其上任意一点,b为其方向向量,=,=,=+,直线上任意一点P能用直线上一点M及直线的方向向量b表示,且一个实数t对应直线上唯一一个点P,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.,对直线的方向向量的理解:
(1)在空间中,一个向量成为直线的方向向量,必须具备两个条件:
不能为零向量;表示方向向量的有向线段所在的直线与该直线平行或重合.
(2)一条直线的方向向量有无数个.(3)直线的方向向量是空间中直线向量表示的关键量,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定,也就是说,给定空间直线上一点A和直线的方向向量a,就可以确定唯一一条过点A的直线.,问题3一个定点和两个定方向能否确定一个平面?
一个定点和一个定方向能否确定一个平面?
如果能确定,如何用向量表示这个平面?
平面可以由内两条相交直线确定.如下图,设两条直线相交于点O,它们的方向向量分别为a和b,P为平面内任意一点,由平面向量基本定理可知,存在唯一的有序实数对(x,y),使得=+.这样,点O与向量a,b不仅可以确定平面,还可以具体表示出内的任意一点.,如下图,取定空间任意一点O,可以得到,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x,y,使=+.,上式称为空间平面ABC的向量表示式.由此可知,空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.,给定空间一点A和一条直线l,则过点A且垂直于直线l的平面是唯一确定的.由此可以利用点A和直线l的方向向量来确定平面.,如下图,直线.取直线l的方向向量a,我们称向量a为平面的法向量.给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量a为法向量的平面完全确定,可以表示为集合|=0.,练一练,A,练一练,C,练一练,课堂小结你学到了那些新知识呢?
1.直线的方向向量及其求法;2.平面的法向量及其求法.,1.4空间向量的应用,第一章空间向量与立体几何,1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题,学习目标:
1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的直线与平面、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题;2.能描述解决这一类问题的程序,体会向量方法在研究几何问题中的作用.教学重点:
理解并掌握用向量方法解决距离、夹角问题的方法和步骤.教学难点:
辨析各种距离、夹角问题并能正确求出各种距离及夹角.,复习,上节课我们学习了用空间向量研究直线、平面的位置关系,包含哪几部分?
(1)空间中点、直线和平面的向量表示;
(2)空间中直线、平面的平行;(3)空间中直线、平面的垂直.,探究一用空间向量解决距离问题,问题1立体几何中的距离问题包括哪些?
包括点到直线、点到平面、两条平行直线以及两个平行平面的距离向题等.,1.点到直线的距离,问题2已知直线l的单位方向向量为u,A是直线l上的定点,P是直线l外一点.如何利用这些条件求点P到直线l的距离?
如图,向量在直线l上的投影向量为,则是直角三角形.因为A,P都是定点,所以,与u的夹角都是确定的.于是可求|.再利用勾股定理,可以求出点P到直线l的距离PQ.,设=,则向量在直线l上的投影向量=().,在Rt中,由勾股定理,得=|2|2=22.,问题3类比点到直线的距离的求法,如何求两条平行直线之间的距离?
在其中一条直线上取点P,将求两条平行直线之间的距离转化为求点P到另一条直线的距离.,2.点到平面的距离,如图,已知平面的法向量为n,A是平面内的定点,P是平面外一点.过点P作平面的垂线l,交平面于点Q,则n是直线l的方向向量,且点P到平面的距离就是在直线l上的投影向量的长度.因此=|=|=|.,用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”:
(1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何向题转化为向量问题;
(2)通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题;(3)把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论.,探究二用空间向量解决夹角问题,1.异面直线所成的角及直线与平面所成的角,例2如图,在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形)ABCD中,M,N分别为BC,AD的中点,求直线AM和CN夹角的余弦值.,一般地,两条异面直线所成的角,可以转化为两条异面直线的方向向量的夹角来求得.也就是说,若异面直线1,2所成的角为,其方向向量分别是u,v,则,cos=|cos=|=.,类似地,直线与平面所成的角,可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角.如图,直线AB与平面相交于点B,设直线AB与平面所成的角为,直线AB的方向向量为u,平面的法向量为n,则,sin=|cos=|=.,2.两平面的夹角,如图,平面与平面相交,形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于90的二面角称为平面与平面的夹角.,类似于两条异面直线所成的角,若平面,的法向量分别是1和2,则平面与平面的夹角即为向量1和2的夹角或其补角.设平面与平面的夹角为,则,cos=|cos=1212|=1212.,探究三用空间向量解决实际问题及综合应用,例4下图为某种礼物降落伞的示意图,其中有8根绳子和伞面连接,每根绳子和水平面的法向量的夹角均为30.已知礼物的质量为1kg,每根绳子的拉力大小相同.求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小(重力加速度g取9.8m/s,精确到0.01N).,探究四解决立体几何问题的方法,解决立体几何中的问题,可用三种方法:
(1)综合法:
以逻辑推理作为工具解决问题;
(2)向量法:
利用向量的概念及其运算解决问题;(3)坐标法:
利用数及其运算来解决问题.,练一练,D,练一练,C,练一练,练一练,C,练一练,练一练,423,练一练,9114,课堂小结你学到了那些新知识呢?
用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的直线与平面、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题.,2.1.1倾斜角与斜率,第二章直线和圆的方程,学习目标,1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,经历用代数方法刻画直线斜率的过程.3.掌握过两点的直线斜率的计算公式.,直线的倾斜角,直线的斜率,小提示,斜率公式,课堂小结你学到了那些新知识呢?
本节课学习了直线的倾斜角和斜率的概念以及斜率的计算公式.,Thanks!
2.1.2两条直线平行和垂直的判定,第二章直线和圆的方程,学习目标,1.能根据直线的斜率判定两条直线平行或垂直.2.理解两条直线平行或垂直的判断条件.,思考?
两条直线平行的判定,探究?
两条直线垂直的判定,课堂小练,课堂小结你学到了那些新知识呢?
本节课学习了根据直线的斜率判定两条直线平行或垂直.,Thanks!
2.2直线的方程,第二章直线和圆的方程,2.2.1直线的点斜式方程,学习目标:
1.掌握直线方程的点斜式与斜截式方程;2.了解斜截式方程与一次函数的关系.教学重点:
直线的点斜式方程.教学难点:
直线的点斜式、斜截式方程的应用.,思考,问题1怎样确定一条直线?
除了两点确定一条直线,给定一点和一个方向也可以唯一确定一条直线.这样,在平面直角坐标系中,给定一个点0(0,0和斜率k(或倾斜角),就能唯一确定一条直线.也就是说,这条直线上任意一点的坐标(x,y)与点0的坐标(0,0)和斜率k之间的关系是完全确定的.那么,这一关系如何表示呢?
下面我们来研究这个问题.,如图,直线l经过点0(0,0,且斜率为k.设(,是直线l上不同于点0的任意一点,因为直线l的斜率为k,由斜率公式得=00,即0=(0.,验证
(2):
事实上,若点1的坐标1,1满足关系式0=(0,则10=(10.当1=0时,1=0,这时点1与0重合,显然有点1在直线l上;当10时,有=1010,这表明过点1,0的直线1的斜率为k.因为直线l,1的斜率都为k,且都过点0,所以它们重合.所以,点1在直线l上.,由上述推导过程可知:
(1)直线l上每一个点的坐标(x,y)都满足关系式0=(0;
(2)反过来,坐标满足关系式0=(0的每一个点都在直线l上.,由
(1)
(2)可得:
坐标满足关系式0=(0的点一定在直线l上;直线l上任意一点
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