信号与系统第五章习题答案.pdf
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270第五章离散时间系统的时域与频域分析5.1学习重点1、深刻理解离散时间系统的基本概念,学会建立离散系统的数学模型差分方程。
2、掌握离散时间系统的时域分析方法,灵活应用迭代法、经典法求解单位响应、单位阶跃响应、零输入响应、零状态响应和全响应等。
3、理解卷积和的定义,掌握求解卷积和的方法,包括图解法、阵列表法和解析法等;会用卷积和求零状态响应。
4、了解周期离散时间信号的离散傅里叶级数的表示方法,非周期离散时间信号的离散时间傅里叶变换以及周期序列的离散时间傅里叶变换。
5、熟悉离散时间傅里叶变换的性质,并会灵活应用。
6、掌握离散时间LTI系统的频域分析方法。
7、用MATLAB进行离散时间系统的时域与频域分析5.2教材习题同步解析5.1设信号()tf为包含0m的频带有限信号,试确定()tf3的抽样频率。
【知识点窍】主要考察奈奎斯特频率的概念。
【逻辑推理】时域的信号的压缩,在频域中将会扩展。
时域中压缩多少培,频域中将扩展多少培。
另外,抽样频率等于奈奎斯特频率与2之比。
解:
因为信号()tf为包含0m的频带有限信号,则信号()tf3为包含03m的频带有限信号。
271则其奈奎斯特频率mN32=,故()tf3的抽样频率mNsf32=。
5.2若电视信号占有的频带为16MHz,电视台每秒发送25幅图像,每幅图像又分为625条水平扫描线,问每条水平线至少要有多少个抽样点?
【知识点窍】主要考察香农取样定理及理想取样点数求法。
【逻辑推理】最小取样频率msff2min=(等于2倍的信号最高频率)。
香农取样间隔minmax1ssfT=最小理想取样点数()maxminsTn时间间隔=解:
电视信号占有的频带为16MHz,即带宽为MHz5=mf,则抽样频率为MHz01sf。
抽样点的个数为400062525=sfn个5.3设有差分方程为nfnynyny=+2213,初始状态211=y,452=y,试求系统的零输入响应。
【知识点窍】主要考察系统零输入响应的概念,会用特征值求零输入响应。
【逻辑推理】首先由差分方程得到特征方程,由此求出特征根,然后代入初始条件求出零输入响应。
解:
由差分方程得其特征方程为0232=+由此解得其特征根2,121=。
故系统的零输入响应为()()nnziAAny2121+=将初始状态211=y,452=y代入上式,有:
()()2121111211=+=AAyyzi()()4521222221=+=AAyyzi272联立以上两式可解得:
21=A,32=A则系统的零输入响应为()()nnziny2312=5.4设有离散系统的差分方程为142314+=+nfnfnynyny,试画出其时域模拟图。
【知识点窍】主要考察由系统的差分方程画出系统的直接模拟图,掌握直接模拟图的意义。
【逻辑推理】将差分方程各个环节分别用加法器及延时器来表示。
解:
时域模拟图如图5.15.5设有一阶系统为nfnyny=18.0
(1)试求单位响应nh;
(2)试求阶跃响应ng。
【知识点窍】主要考察系统的单位响应和阶跃响应的概念及其求解方法。
【逻辑推理】利用选代法求解。
解:
(1)令输入激励nnf=,系统在冲激序列n的激励下的零状态响应就为单位响应nh。
即隐含初始条件为0n时0=nh则给定的差分方程变为nnhnh+=18.0可依次迭代得nynf图5.1-4-34DDD273nnhnhhhhhhh8.0018.08.0218.028.0108.011018.002=+=+=+=+=L该一阶系统的单位响应是nnhn8.0=
(2)令输入激励nnf=,系统在阶跃序列n的激励下的零状态响应就为单位阶跃响应ng。
即隐含初始条件为0n时0=ng。
则给定的差分方程变为nngng+=18.0可依次迭代得()112128.0158.018.0118.08.08.08.018.018.08.0218.0218.0108.011018.00+=+=+=+=+=+=+=+=nnnnnngngggggggLL则该一阶系统的单位响应是()nngn18.015+=5.6设离散系统的单位响应为nnhn=31,输入信号为nnf2=,试求nhnf。
【知识点窍】主要考察离散系统的卷积和概念及计算方法【逻辑推理】卷积和计算方法通常有:
1)图解计算法卷积和的图解计算法是把取卷积的过程分解为反褶、平移、相乘、求和四个步骤。
具体求序列的卷积和nfnf21按下述步骤进行:
将序列nf1、nf2的自变量用i替换,然后将序列if2以纵坐标为轴线反褶,成为if2;274将序列if2沿正n轴平移n个单位,成为inf2;求乘积infif21;按式=iinfifnfnf2121求出各乘积之和。
2)阵列表法3)解析法:
利用卷积和定义求解。
解:
iiniiniiiinfihnhnf=6122310上式是公比为61的等比无穷级数求和的问题,按求和公式aann=110所以nnnhnfnn1253562+=5.7已知系统的的响应()10=ananhn输入信号6=nnnf,试求系统的零状态响应。
【知识点窍】主要考察离散系统的零状态响应概念及求解。
【逻辑推理】利用系统的零状态响应的卷积和求解。
即:
nhnfnyzs=解:
因为naaainiannaniniiin=+=1110同理可得61166560=naaainiannaniniiin故系统的零状态响应为()66=nnannannnanhnfnynnnzs6111151=+naanaann2755.8描述某线性非时变离散系统的差分方程为nfnyny=12,若已知初始状态01=y,激励为单位阶跃序列,即nnf=,试求ny。
【知识点窍】主要考察系统的阶跃响应的概念及其求解方法。
【逻辑推理】利用选代法求解。
解:
由给定的差分方程变得nfnyny+=12因为激励为nnf=,所以当0n时0=nf可依次迭代得121121512237112231021101201=+=+=+=+=+=+nnynyyyyyyyyyL求得()nnyn121=+5.9如有齐次差分方程为0261=+nynyny,已知11,30=yy,试求其齐次解。
【知识点窍】主要考察系统的齐次解的概念及其求解方法。
【逻辑推理】首先通过差分方程得特征方程,由特征方程求得特征根,代入条件即可求得齐次解。
解:
其特征方程为062=+其特征根2,321=。
其齐次解为()()nnhAAny2321+=将初始状态11,30=yy代入上式,有:
()()323000201=+=AAyyh1231121=+=AAyyh联立以上两式可解得:
11=A,22=A于是齐次解为276()123+=nnhny5.10如有齐次差分方程为02414=+nynyny,已知210=yy,试求其齐次解。
【知识点窍】主要考察系统的齐次解的概念及其求解方法。
【逻辑推理】首先通过差分方程得特征方程,由特征方程求得特征根,代入条件即可求得齐次解。
解:
其特征方程为0442=+其特征根22,1=。
其齐次解为()()nnhAnAny2221+=将初始状态210=yy代入上式,有:
2002=Ayyh2221121=AAyyh联立以上两式可解得:
31=A,22=A于是齐次解为()()1223+=nnhnny5.11解下列非齐次差分方程
(1)()10,2,12=+fnnnfnfnyny
(2)00,2,12=ynnfnfnyny(3)()010,334,212=+yynnfnfnynynyn【知识点窍】主要考察系统差分方程的求解方法。
【逻辑推理】差分方程的解由齐次解nyh和特解nyp构成,即nynynyph+=。
解:
(1)首先,求方程的齐次解。
其特征方程为02=+其特征根2=。
方程的齐次解为277()nhAny21=根据激励()nnnf2=的形式,得方程的特解01PnPnyp+=将它代入到原差分方程中,得()2120101=+nPnPPnP等式左右对应,即得311=P,940=P于是方程的特解为9431=nnyp将齐次解与特解相加,得方程的全解()943121+=+=nAnynynynph因10=f,则有11200=yfy将初始状态10=y代入ny式,得9131=A所以方程的解为()94312913+=nnyn
(2)首先,求方程的齐次解。
其特征方程为02=其特征根2=。
方程的齐次解为()nhAny21=根据激励nnf2=的形式,得方程的特解Pnyp=将它代入到原差分方程中,得22=PP等式左右对应,即得2=P于是方程的特解为2=nyp将齐次解与特解相加,得方程的全解()221=+=nphAnynyny278将初始状态00=y代入上式,得21=A所以方程的解为()()122222=nnny(3)首先,求方程的齐次解。
其特征方程为0122=+其特征根12,1=。
方程的齐次解为()()nnhAnAny1121+=根据激励()nnfn334=的形式,得方程的特解()npPny3=将它代入到原差分方程中,得()()()()nnnnPPP334332321=+等式左右对应,即得43=P于是方程的特解为()npny343=将齐次解与特解相加,得方程的全解()()()nnnphAnAnynyny3431121+=+=将初始状态010=yy代入上式,得11=A,432=A所以方程的解为()()()nnnnny3431431+=5.12图5.2所示各系统
(1)求单位响应;
(2)当nnf=时,求系统的零状态响应。
【知识点窍】主要考察系统模拟图与系统差分方程关系。
【逻辑推理】先将系统的模拟图转化为差分方程形式,再求该方程所示系统的单位响应,然后利用零状态响应与单位响应关系求其零状态响应。
即:
nhnfnyzs=279解:
(a)由图可得差分方程为nfnyny+=131
(1)令输入激励nnf=,系统在冲激序列n的激励下的零状态响应就为单位响应nh。
即隐含初始条件为0n时0=nh。
图5.2系统模拟图则给定的差分方程变为nnhnh+=131可依次迭代得nnhnhhhhhhh=+=+=+=+=310131312131231103111013102L该系统的单位响应是nnhn=31
(2)由激励为nnf=,可得0n时0=nf可依次迭代得101310=+=yyzs28013110311+=+=yyzs3113111313111311313111312112=+=+=+=+=+nnnzszsnynyyyLL求得nnynzs=+131123(b)由图可得差分方程为1121+=nfnyny
(1)令输入激励nnf=,系统在冲激序列n的激励下的零状态响应就为单位响应nh。
即隐含初始条件为0n时0=nh。
则给定的差分方程变为1121+=nnhnh可依次迭代得1221012121222132111212100211011210=+=+=+=+=+=nnhnhhhhhhhhhL该系统的单位响应是131=nnhn
(2)由激励为nnf=,可得0n时,0261161=+nynyny其特征方程为061612=+其特征根31,2121=。
系统的冲激响应为nnAAnh+=312121激励nnf=,在0=n时刻作用于系统,故初始状态01=h将01=h,10=h代入上式,得531=A,522=A综上可得,系统的零状态响应为282nnynnzs+=31522153
(2)若激励为nnf=,首先,求方程的齐次解。
其特征方程为061612=+其特征根31,2121=。
齐次解为nnhAAny+=312121根据激励nnf=的形式,得方程的特解Pnyp=将它代入到原差分方程中,得16161=+PPP等式左右对应,即得1=P于是方程的特解为1=nyp将齐次解与特解相加,得方程的全解1312121+=+=nnphAAnynyny激励nnnf=,在0=n时刻作用于系统,故初始状态为1y,2y,对零状态响应则有01=y,02=y。
将01=y,02=y代入上式,得511=A,512=A所以系统的零状态响应为nnynn+=131512151(d)由图可得差分方程为nfnyny+=24
(1)令输入激励nnf=,系统在冲激序列n的激励下的零状态响应就为单位响应nh。
即隐含初始条件为0n时0=nh。
283则给定的差分方程变为nnhnh+=24可依次迭代得()()L3240446003454024400143400420014110240=+=+=+=+=+=+=+=hhhhhhhhhhhhhh该系统的单位响应是()=为奇数为偶数nnnnhn042
(2)若激励为nnf=,首先,求方程的齐次解。
其特征方程为042=+其特征根jj2,221=。
方程的齐次解为()()nnhjAjAny2221+=根据激励nnf=的形式,得方程的特解Pnyp=将它代入到原差分方程中,得14=+PP等式左右对应,即得51=P于是方程的特解为51=nyp将齐次解与特解相加,得方程的全解()()512221+=+=nnphjAjAnynyny激励nnnf=,在0=n时刻作用于系统,故初始状态为1y,2y,对零状态响应则有01=y,02=y。
284将01=y,02=y代入上式,得521jA=,522jA+=所以系统的零状态响应为()()njjjjnynn+=512522525.13各序列的图形如图5.3所示,试求下列卷积和。
图5.3
(1)nfnf21
(2)nfnf32(3)nfnf43【知识点窍】主要考察卷积和定义及计算方法。
【逻辑推理】=iinfifnfnf2121,卷积和的计算是通过反褶、平移、相乘、叠加四步完成的。
解:
(1)根据卷积和的定义,可以得到当3n时,()()021=nfnf卷积和计算结果如图5.4(a)所示。
(2)根据卷积和的定义,可以得到当2n时,()()032=nfnf卷积和计算结果如图5.4(b)所示。
(3)根据卷积和的定义,可以得到当0n时,()()043=nfnf卷积和计算结果如图5.4(c)所示。
286(a)(b)(c)图5.4-2-15-143210123nfn565-3-2-1432101234nfn-4-3-2-1432101234nfn2875.14已知系统的激励nf和单位响应nh如下,试求系统的零状态响应nyzs,并画出其图形。
(1)nnhnf=
(2)3,=nnnhnnf(3)4=nnnhnf【知识点窍】主要考察图解法求系统卷积和及零状态响应的方法。
【逻辑推理】nhnfnyzs=,是通过反褶、平移、相乘、叠加四步完成的。
解:
(1)已知nnhnf=,则()nnininnnhnfnyninizs1100+=零状态响应nyzs的图形如图5.5(a)所示。
(2)已知3,=nnnhnnf则33=nnnnnnnhnfnyzs零状态响应nyzs的图形如图5.5(b)所示。
(3)已知4=nnnhnf则()()()()()874321444244+=+=nnnnnnnnnnnnnnnnnhnfnyzs零状态响应nyzs的图形如图5.5(c)所示。
5.15对于线性非时变系统,
(1)如已知系统的单位响应nh,如何求阶跃响应ng(阶跃响应是激励为单位阶跃序列时,系统的零状态响应);
(2)如已知系统的阶跃响应ng,如何求系统的单位响应nh。
【知识点窍】主要考察单位响应与阶跃响应之间关系。
【逻辑推理】利用系统的线性性质求解。
288(a)(b)(c)图5.5解:
(1)系统的单位响应nh是由激励n产生的,阶跃响应ng是由激励n产生的,因=niin,系统的单位响应nh已知,则根据线性非时变系统的累加和性质,得到阶跃响应765432101234nyzsn32101nyzsn565432101234nyzsn289()=niihng
(2)因1=nnnn,系统的阶跃响应ng已知,则根据线性非时变系统的差分性质,得到单位响应()1=ngngngnh5.16如图5.6为系统的模拟图,试求输入nf分别为
(1)nnf=;
(2)nnnf=时的零状态响应。
图5.6【知识点窍】主要考察系统模拟图与系统差分方程关系。
【逻辑推理】先将系统的模拟图转化为差分方程形式,再求该方程所示系统的单位响应,然后利用零状态响应与单位响应关系求其零状态响应。
即:
nhnfnyzs=解:
(a)由图可得差分方程为nfnyny+=121
(1)由激励为nnf=,可得0n时0=nf可依次迭代得=+=+=+=+=+=+=+=+211211121211121121211121212110211101210112nnnzszszszsnynyyyyyyyLL290求得nnynzs=+121132
(2)由图可得差分方程为nfnyny=+121首先求齐次解。
齐次差分方程为0121=+nyny其特征方程为021=+其特征根21=。
方程的齐次解为nhAny=211根据激励nnnf=的形式,得方程的特解01PnPnyp+=将它代入到原差分方程中,得()nPnPPnP=+0101121等式左右对应,即得92,3201=PP于是方程的特解为9232+=nnyp将齐次解与特解相加,得方程的全解9232211+=+=nAnynynynph激励nnnf=,在0=n时刻作用于系统,故初始状态为1y,对零状态响应则有01=y。
将01=y代入上式,得921=A所以系统的零状态响应为nnnynzs+=92322192(b)由图可得差分方程为nfnynyny+=221123291即nfnynyny=+221123首先求齐次解。
齐次差分方程为0221123=+nynyny其特征方程为021232=+其特征根1,2121=。
方程的齐次解为()nnhAAny12121+=根据激励的形式,确定方程的特解
(1)当激励nnf=时,方程的特解为nPnyp0=将它代入到原差分方程中,得()()1221123000=+nPnPnP等式左右对应,即得20=P于是方程的特解为nnyp2=将齐次解与特解相加,得方程的全解()nAAnynynynnph212121+=+=激励nnf=,在0=n时刻作用于系统,故初始状态为1y,2y,对零状态响应则有01=y,02=y。
将01=y,02=y代入上式,得11=A,02=A所以系统的零状态响应为nnnynzs+=221
(2)当nnnf=时,方程的特解为()01PnPnnyp+=将它代入到原差分方程中,得()()()()()()()nPnPnPnPnPnPn=+01010122211123292等式左右对应,即得1,101=PP于是方程的特解为()nnnnnyp=21将齐次解与特解相加,得方程的全解()nnAAnynynynnph+=+=221121激励nnnf=,在0=n时刻作用于系统,故初始状态为1y,2y,对零状态响应则有01=y,02=y。
将01=y,02=y代入上式,得21=A,22=A所以系统的零状态响应为nnnnynzs+=222125.17如已知某线性非时变系统的输入为=其余,02,1,40,1nnnf时,其零状态响应为=0,90,0nnnyzs试求此系统的单位响应。
【知识点窍】主要考察系统单位响应与系统零状态响应关系。
【逻辑推理】nhnfnyzs=解:
因22110+=nhfnhfnhfinhifnhnfnyizs由已知条件42,41,10=fff,nnyzs9=,故得差分方程为nnhnhnh92414=+其特征方程为0442=+故得特征根22,1=,差分方程的齐次解为()()nPnPnhnnx2221+=293设差分方程的特解为nPnhP0=,故nPnhnhPP021=代入差分方程,得:
944000=+PPP解之得10=P,故得nnhP=()()nPnPnhnn12221+=又()()012211211=+=PPh()()0122222221=+=PPh联解求得61=P,82=P故得此系统的单位响应()()nnnhnn12826+=5.18已知离散时间系统的差分方程为nfnyny=15.0,试用叠代法求其单位响应。
【知识点窍】主要考察利用叠代法求解系统的单位响应。
【逻辑推理】先将差分方程的nf和ny分别用n和nh形式代入,再利用冲激信号的特性逐步进行求解。
解:
令输入激励nnf=,系统在冲激序列n的激励下的零状态响应就为单位响应nh。
即隐含初始条件为0n时,032313=+nynynyny其特征方程为013323=+其特征根13,2,1=。
系统的冲激响应为()()()nnnAnAnAnh1113221+=激励nnf=,在0=n时刻作用于系统,故初始状态01=h,02=h将01=h,02=h,10=h代入上式,得211=A,232=A,13=A综上可得,系统的单位响应为nnnnh+=1232125.20已知系统的差分方程模型为232615=+nfnfnynyny,求系统的单位响应。
【知识点窍】主要考察利用经典法求解系统的单位响应。
【逻辑推理】利用单位响应定义进行求解。
它是零状态响应,但其解的形式与零输入响应相同。
解:
求单位响应,即求输入激励nnf=时的响应。
当0=n时,12326150=+=nnyyy当1=n时,513116051=+=yyy当2=n时,1603206152=+=yyy当3n时,032313=+nynynyny其特征方程为0652=+其特征根3,221=。
系统的冲激响应为295()()nnAAnh3221+=将162=h,51=h代入上式,得211=A,22=A于是()()132221+=nnhnn当0=n时,10=y综上可得,系统的单位响应为()()nnnhnn+=32221215.21已知如下两个序列=其余,02,11,20,3nnnnf=0,00,21nnnhn试用“阵列表”法求它们的卷积。
【知识点窍】主要考察卷积和“阵列表”求解法。
【逻辑推理】首先画出序列阵表图,左部放nf,上部放nh,然后以nf的每个数去乘nh各数,并将结果放入相应的行,最后把虚斜线上的数分别相加即得卷积和结果序列。
解:
如题可得表5.1,由此可求得表5.10h11h212h413h814h1610f332343831631f2212141812f112141811613f000000M296=L,1621,811,411,27,3nhnfny5.22系统的单位响应为nanhn=,其中10=NknNjkkecnx)/2(比较,可得*11102/12/3,2/12/32/12/3,1cjcjjcc=+=+=2/12jc=*222/1cjc=而在长度为N的周期内,其余系数均为0。
这些系数是周期的,其周期为N。
例如,NNNNNNNNNcccjcccccccc+=222212121102,2/12/3,12/12jc=等等。
5.24某离散系统的系统函数115.011)(+=zzzH,试求其系统频率响应。
【知识点窍】主要考察离散系统频率响应。
【逻辑推理】系统函数与系统频率响应关系为TjezTjzHeH=)()(。
解
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- 信号 系统 第五 习题 答案
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