第3章-模糊集合的度量.pdf
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研究生模糊数学研究生模糊数学第三章模糊集合的度量第三章模糊集合的度量3.1模糊集之间的度量模糊集之间的度量在模糊数学实际应用中在模糊数学实际应用中,有时需要比较两个模糊集合之间的差异或相近程度有时需要比较两个模糊集合之间的差异或相近程度,例如模糊数学在模糊识别中的应用。
例如模糊数学在模糊识别中的应用。
以计算机手写文字识别为例。
若将一个标准方块字分解成为许多小格子以计算机手写文字识别为例。
若将一个标准方块字分解成为许多小格子,而这些小格子构成一个标准字模集合而这些小格子构成一个标准字模集合,所有标准字模集合组成了论域所有标准字模集合组成了论域X。
将用手写的一个文字看成为该论域中的一个模糊集合。
将用手写的一个文字看成为该论域中的一个模糊集合,则手写文字识别问题便成为则手写文字识别问题便成为:
此模糊集合与哪个标准字模集合最接近此模糊集合与哪个标准字模集合最接近?
这个问题需要涉及到模糊集之间的距离概念。
这个问题需要涉及到模糊集之间的距离概念。
再讨论一个具体问题:
假设有再讨论一个具体问题:
假设有A,B两位顾客选购家具两位顾客选购家具,并且他们主要考虑的因素是并且他们主要考虑的因素是:
x1:
美观程度美观程度;x2:
耐用程度耐用程度;x3:
价格高低。
价格高低。
在选购时在选购时,两位顾客将根据自己的观点两位顾客将根据自己的观点,分别给这三因素分别给这三因素“评分评分”。
事实上。
事实上,这种评分是模糊的这种评分是模糊的,用模糊数学的术语讲用模糊数学的术语讲,是要确定对这些因素是要确定对这些因素“满意满意”的隶属度。
然而的隶属度。
然而,由于两位顾客个人的经验、审美观、经济状况等都可能不尽相同由于两位顾客个人的经验、审美观、经济状况等都可能不尽相同,所以他们对某件家具的评分结果很可能是不一致的所以他们对某件家具的评分结果很可能是不一致的,比如比如:
美观程度美观程度x1耐用程度耐用程度x2价格高低价格高低x3顾客顾客A0.80.40.7顾客顾客B0.60.60.5从而根据顾客从而根据顾客A,B的评分可得到两个模糊集合的评分可得到两个模糊集合:
A=(x1,0.8),(x2,0.4),(x3,0.7)B=(x1,0.6),(x2,0.6),(x3,0.5)如何描述顾客如何描述顾客A,B的评分的接近程度呢?
这就要涉及到模糊集之间接近程度的度量问题。
的评分的接近程度呢?
这就要涉及到模糊集之间接近程度的度量问题。
3.1.1模糊集合之间的距离模糊集合之间的距离度量模糊集合的关系密切程度可以用两者之间的距离来描述度量模糊集合的关系密切程度可以用两者之间的距离来描述,即距离越大即距离越大,关系越稀疏关系越稀疏;而距离越小而距离越小,关系越密切。
关系越密切。
若若X=x1,x2,xn,AF(X)。
则。
则:
A=(A(x1),A(x2),A(xn)这时这时(A(x1),A(x2),A(xn)可解释为可解释为n维欧氏空间中的点维欧氏空间中的点,因此可仿照欧氏空间中距离来定义模糊集之间的距离。
因此可仿照欧氏空间中距离来定义模糊集之间的距离。
当当X=a,b时时A(x)可解释为可解释为a,b上的有界函数上的有界函数,从而可使借鉴函数空间中距离的概念。
从而可使借鉴函数空间中距离的概念。
定义定义3.1.1设设X=x1,x2,xn或或X=a,b,A,BF(X),p为正实数。
则称如下定义的为正实数。
则称如下定义的dM(A,B)为为A,B之间的闵可夫斯基之间的闵可夫斯基(Minkowski)距离距离:
11(,)|()()|nppMiiidABAxBx=()1(,)|()()|bppMadABAxBxdx=特别地特别地,当当p=1时时dM(A,B)称为模糊集称为模糊集A,B之间的海明之间的海明(Hamming)距离距离;当当p=2时时dM(A,B)称为模糊集称为模糊集A,B之间的欧几里德之间的欧几里德(Euclid)距离。
距离。
有时为了方便有时为了方便,需要限制模糊集间的距离为需要限制模糊集间的距离为0,1中的数中的数,因此定义相对因此定义相对Minkowski距离如下:
距离如下:
111(,)|()()|nppMiiidABAxBxn=11(,)|()()|pbpMadABAxBxdxba=定义定义3.1.2(加权距离加权距离)设设w:
X0,1满足归一条件满足归一条件,即当即当X=x1,x2,xn或或X=a,b时时,i=1nw(xi)=1或或abw(x)dx=1.则称如下定义的则称如下定义的dMw(A,B)为模糊集为模糊集A,B之间的加权闵可夫斯基距离之间的加权闵可夫斯基距离:
11(,)()|()()|nppMwiiiidABwxAxBx=()1(,)()|()()|bppMwadABwxAxBxdx=假设在无限论域假设在无限论域X中有两个模糊集合中有两个模糊集合A,B,并且它们的隶属函数都是连续的并且它们的隶属函数都是连续的,则绝对海明距离的几何意义是两隶属函数间的面积则绝对海明距离的几何意义是两隶属函数间的面积:
例以前面两顾客购家具为例例以前面两顾客购家具为例,求模糊集合求模糊集合A,B的距离。
的距离。
A=(x1,0.8),(x2,0.4),(x3,0.7),B=(x1,0.6),(x2,0.6),(x3,0.5)。
(1)海明绝对距离和相对距离分别为:
海明绝对距离和相对距离分别为:
dH(A,B)=|0.80.6|+|0.40.6|+|0.70.5|=0.6,dH(A,B)=dH(A,B)/3=0.2。
(2)欧几里得绝对和相对距离分别为:
欧几里得绝对和相对距离分别为:
dE(A,B)=(|0.80.6|2+|0.40.6|2+|0.70.5|2)=0.346,dE(A,B)=dE(A,B)/3=0.1998。
例欲将在例欲将在A地生长良好的某农作物移植到地生长良好的某农作物移植到B地或地或C地地,判断判断B,C两地哪里最适宜。
两地哪里最适宜。
适当的气温、湿度、土壤是农作物生长的必要条件。
因而适当的气温、湿度、土壤是农作物生长的必要条件。
因而A,B,C三地的情况可以表示为论域三地的情况可以表示为论域X=x1(气温气温),x2(湿度湿度),x3(土壤土壤)上的模糊集。
上的模糊集。
经测定经测定A=(x1,0.8),(x2,0.4),(x3,0.6),B=(x1,0.9),(x2,0.5),(x3,0.3),C=(x1,0.6),(x2,0.6),(x3,0.5)。
设加权系数为。
设加权系数为w=(0.5,0.23,0.27),计算计算A与与B,A与与C的加权海明距离如下:
的加权海明距离如下:
dHw(A,B)=0.5|0.80.9|+0.23|0.40.5|+0.27|0.60.3|=0.154。
dHw(A,C)=0.5|0.80.6|+0.23|0.40.6|+0.27|0.60.5|=0.173。
由于由于dHw(A,B)0,则得如下模糊度则得如下模糊度(称为称为Minkowski模糊度模糊度,p=2时称为时称为Euclid模糊度模糊度)1/0.51/12()|()()|pnpiipidAAxAxn=注意注意,当当p=1时即为前述的时即为前述的Hamming模糊度。
事实上模糊度。
事实上,x0,1,|0.5|0.5x|=x(1x)。
因为当。
因为当x1x时时,左左=右右=x;当当x1x时时,左左=右右=1x。
谢谢
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