数值分析4-埃尔米特插值.pdf
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第一章插值埃尔米特插值埃尔米特插值埃尔米特插值问题问题描述多项式插值余项的表示形式多项式插值余项的表示形式从中我们可以发现多项式插值结果的余项组成规律:
从中我们可以发现多项式插值结果的余项组成规律:
如果已知条件有如果已知条件有n个,则在余项中分母为个,则在余项中分母为n!
;相应的,分子上的导数阶数也是相应的,分子上的导数阶数也是n;1ki)x-x0+(则在后面的因式中存在阶的导数值阶直到的从如果条件中出现某点(则在后面的因式中存在阶的导数值阶直到的从如果条件中出现某点kxi题题2求作次数2的多项式p(x),使满足插值条件求作次数2的多项式p(x),使满足插值条件0)0(,2)1(,1)0(=ppp解求解这个简单问题可直接由待定系数法。
解求解这个简单问题可直接由待定系数法。
令所求的插值多项式令所求的插值多项式2210)(xaxaaxp+=xaaxp212)(+=依所给插值条件可列出方程依所给插值条件可列出方程0)0(1ap=1)0(0ap=210)1(2aaap+=由此解出由此解出1.0,1210=aaa故有故有21)(xxp+=题题8求作次数5的多项式p(x),使满足下列插值条件:
求作次数5的多项式p(x),使满足下列插值条件:
ixiyiyiy012212-2-1-10解以泰勒公式,满足条件解以泰勒公式,满足条件10)0(,2)0(,2)0(=qqq的插值多项式的插值多项式225)(2+=xxxq令令)(225)(232cbxaxxxxxp+=)2()(3210)(322baxxcbxaxxxxp+=用剩下的插值条件列出方程用剩下的插值条件列出方程)(5)1(1cbap+=)2()(312)1(1bacbap+=)24(822)2(2cbap+=由此解出由此解出17,15,4=cba于是所求插值多项式于是所求插值多项式22517154)(2345+=xxxxxxp各种插值方法的总结?
待定系数法待定系数法?
基函数法基函数法?
承袭法承袭法)()()(1xcwxpxpnnn+=+承袭性公式的证明cnnxpxpxpnxcwxpxpxwnnxpnnnnnnnn个条件来确定系数因此,可以利用最后一个因为已知条件共有个条件满足这已知的即个条件下:
则在这又因为:
的值为个条件下则:
在这个条件满足已知的假设:
个条件来确定系数因此,可以利用最后一个因为已知条件共有个条件满足这已知的即个条件下:
则在这又因为:
的值为个条件下则:
在这个条件满足已知的假设:
21)()()
(1)()()(0)(11)(111+=+=+当剩余的条件多于一个时,应该如何处理当剩余的条件多于一个时,应该如何处理?
把常数把常数c改为一个多项式,此多项式采用待定系数法的形式。
改为一个多项式,此多项式采用待定系数法的形式。
多项式的次数如何确定多项式的次数如何确定?
剩余条件个数剩余条件个数-1问题:
分段低次插值分段低次插值例:
例:
在在5,5上考察的上考察的Ln(x)。
取。
取211)(xxf+=),.,0(105niinxi=+=+=-5-4-3-2-1012345-0.500.511.522.5n越大,端点附近抖动越大,称为越大,端点附近抖动越大,称为Runge现象现象Ln(x)f(x)分段线性插值分段线性插值在每个区间上,用在每个区间上,用1阶多项式阶多项式(直线直线)逼近逼近f(x):
1+iixx11111)()(+=iiiiiiiiyxxxxyxxxxxPxf,1+iixxx记,易证:
当时,记,易证:
当时,|max1iixxh=+0h)()(1xfxPh一致一致yxoy=f(x)y=p(x)失去了原函数的光滑性。
失去了原函数的光滑性。
分段线性插值的余项()()()xfhxxxfxxxxfxsxfxsxfiiiiiiiixxxiijxxxiiixxxxxx+1111max82!
2max)(!
2max)()(max)()(22111分段分段Hermite插值插值给定给定nnnyyyyxx,.,;,.,;,.,000导数一般不易得到。
导数一般不易得到。
余项余项()()xfhxxxfxsxfiiiixxxiijxxx)4(444111max3842!
4max)()(+样条函数插值样条函数插值
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