全国初中数学联赛试题及答案(修正版).doc
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2008年全国初中数学联赛试卷
(第一试)
一、选择题
1.设a2+1=3a,b2+1=3b,且a≠b,则代数式+的值为()
(A)5.(B)7.(C)9.(D)11.
2.如图,设AD,BE,CF为三角形ABC的三条高,
若AB=6,BC=5,EF=3,则线段BE的长为()
(A).(B)4.(C).(D).
3.从分别写有数字1,2,3,4,5的5张卡片中依次取出两张,把第一张卡片上的数字作为十位数字,第二张卡片上的数字作为个位数字,组成一个两位数,则所组成的数是3的倍数的概率是()
(A).(B).(C).(D).
4.在△ABC中,∠ABC=12°,∠ACB=132°,BM和CN分别是这两个角的外角平分线,且点M,N分别在直线AC和直线AB上,则()
(A)BM>CN.(B)BM=CN.
(C)BM<CN.(D)BM和CN的大小关系不确定.
5.现有价格相同的5种不同商品,从今天开始每天分别降价10%或20%,若干天后,这5种商品的价格互不相同,设最高价格和最低价格的比值为r,则r的最小值为()
(A)()3.(B)()4.(C)()5.(D).
6.已知实数x,y满足(x-)(y-)=2008,则3x2-2y2+3x-3y-2007的值为()
(A)-2008.(B)2008.(C)-1.(D)1.
二、填空题
1.设a=,则=_________.
2.如图,正方形ABCD的边长为1,M,N为BD所在直线上的两点,
且AM=,∠MAN=135°,则四边形AMCN的面积为___________.
3.已知二次函数y=x2+ax+b的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为m,n,且│m│+│n│<1.设满足上述要求的b的最大值和最小值分别为p,q,则│p│+│q│=__________.
4.依次将正整数1,2,3,…的平方数排成一串:
149162536496481100121144…,排在第1个位置的数字是1,排在第5个位置的数字是6,排在第10个位置的数字是4,排在第2008个位置的数字是___________.
第二试
一、已知a2+b2=1,对于满足条件0≤x≤1的一切实数x,不等式
a(1-x)(1-x-ax)-bx(b-x-bx)≥0恒成立.当乘积ab取最小值时,求a,b的值.
二、如图,圆O与圆D相交于A,B两点,BC为圆D的切线,点C在圆O上,且AB=BC.
(1)证明:
点O在圆D的圆周上.
(2)设△ABC的面积为S,求圆D的的半径r的最小值.
三、设a为质数,b为正整数,且9(2a+b)2=509(4a+511b)求a,b的值.
参考答案
第一试
选择题
1.B2.D3.C4.B5.B6.D
填空题.
1.-22.3.4.1
第二试
一、已知,对于满足条件的一切实数,不等式
恒成立.当乘积取最小值时,求的值.
解:
设,则
==
当时,,当时,,故.
若,则,,不恒大于等于0,故即,同理.
当时,
(1)当,即时,
,故,即.
(2)当,即时,
综上所述,最小值是,此时或.
二、如图,圆与圆相交于两点,为圆的切线,点在圆上,且.
(1)证明:
点在圆的圆周上.
(2)设△的面积为,求圆的的半径的最小值.
解:
(1)连接,则,又,故等腰
,.由于为圆的切线,
故弦切角所夹劣弧长为所夹劣弧长的2倍,即半径所在直径通过弧的中点,即点在圆上.
(2)连接,则,故,又,故,即,且当为圆的直径时可以取等号,故的最小值是.
三、设为质数,为正整数,且求,的值.
解:
将原等式整理为关于的一元二次方程:
,由于为正整数,则方程判别式是完全平方数,即为完全平方数,设,则
,即,由于,故同为奇数或者同为偶数,且不同是被3整除.
当时,检验得不是完全平方数
当时,检验得不是完全平方数
当时,由上面分析可知共4种分解方式可能满足条件.
当时,不是整数,当时,不是整数,
当或时,不是质数,
当时,是质数,此时只有满足条件,
综上所述,,.
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