19高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.6双曲线学案文.doc
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8.6 双曲线
[知识梳理]
1.双曲线的定义
平面内与两个定点F1,F2(|F1F2|=2c>0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a,c为常数且a>0,c>0:
(1)当a (2)当a=c时,P点的轨迹是两条射线; (3)当a>c时,P点不存在. 2.双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 -=1(a>0,b>0) -=1(a>0,b>0) 图形 续表 3.必记结论 (1)焦点到渐近线的距离为b. (2)等轴双曲线: 实轴长和虚轴长相等的双曲线叫等轴双曲线,其方程可写作: x2-y2=λ(λ≠0). (3)等轴双曲线⇔离心率e=⇔两条渐近线y=±x相互垂直. [诊断自测] 1.概念思辨 (1)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.( ) (2)双曲线方程-=λ(m>0,n>0,λ≠0)的渐近线方程是-=0,即±=0.( ) (3)等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于.( ) (4)若双曲线-=1(a>0,b>0)与-=1(a>0,b>0)的离心率分别是e1,e2,则+=1(此结论中两条双曲线为共轭双曲线).( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)√ 2.教材衍化 (1)(选修A1-1P53T3)已知椭圆+=1和双曲线-y2=1有公共的焦点,那么双曲线的渐近线方程是( ) A.x=±y B.y=±x C.x=±y D.y=±x 答案 D 解析 由椭圆+=1和双曲线-y2=1有公共的焦点,得m+1=8-5.所以m=2,所以双曲线方程为-y2=1,所以双曲线的渐近线方程为y=±x.故选D. (2)(选修A1-1P51例3)已知中心在原点,焦点在y轴的双曲线的渐近线方程为y=±x,则此双曲线的离心率为________. 答案 解析 因为焦点在y轴的双曲线的渐近线方程为y=±x,所以=,即b=2a.由c2=a2+b2,得c2=a2+4a2=5a2,即=5,所以e==. 3.小题热身 (1)(2014·全国卷Ⅰ)已知F为双曲线C: x2-my2=3m(m>0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为( ) A. B.3 C.m D.3m 答案 A 解析 由题意知,双曲线的标准方程为-=1,其中a2=3m,b2=3,故c==,不妨设F为双曲线的右焦点,故F(,0).其中一条渐近线的方程为y=x,即x-y=0,由点到直线的距离公式可得d==,故选A. (2)(2016·山东高考)已知双曲线E: -=1(a>0,b>0).若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是________. 答案 2 解析 由已知得|AB|=|CD|=,|BC|=|AD|=|F1F2|=2c. 因为2|AB|=3|BC|,所以=6c, 又b2=c2-a2,所以2e2-3e-2=0,解得e=2或e=-(舍去). 题型1 双曲线的定义及应用 (2017·湖北武汉调研)若双曲线-=1的左焦点为F,点P是双曲线右支上的动点,A(1,4),则|PF|+|PA|的最小值是( ) A.8 B.9 C.10 D.12 利用双曲线定义得到|PF|+|PA|=2a+|PB|+|PA|,再利用|PA|+|PB|≥|AB|求出最小值. 答案 B 解析 由题意知,双曲线-=1的左焦点F的坐标为(-4,0),设双曲线的右焦点为B,则B(4,0),由双曲线的定义知|PF|+|PA|=4+|PB|+|PA|≥4+|AB|=4+=4+5=9,当且仅当A,P,B三点共线且P在A,B之间时取等号. ∴|PF|+|PA|的最小值为9.故选B. (2018·河北邯郸模拟)设动圆C与两圆C1: (x+)2+y2=4,C2: (x-)2+y2=4中的一个内切,另一个外切,则动圆圆心C的轨迹方程为________. 根据圆与圆相切关系求动圆圆心到两个定圆圆心的距离之差,然后用定义法求解. 答案 -y2=1 解析 设圆C的圆心C的坐标为(x,y),半径为r,由题设知r>2, 于是有或 ∴||CC1|-|CC2||=4<2=|C1C2|,即圆心C的轨迹L是以C1,C2为焦点,4为实轴长的双曲线, ∴L的方程为-=1, 即-y2=1. 方法技巧 1.“焦点三角形”中常用到的知识点及技巧 (1)常用知识点: 在“焦点三角形”中,正弦定理、余弦定理、双曲线的定义经常使用. (2)技巧: 经常结合||PF1|-|PF2||=2a,运用平方的方法,建立它与|PF1|·|PF2|的联系. 2.应用双曲线定义需注意的问题 (1)在双曲线的定义中一是不能漏掉“绝对值”,否则轨迹是双曲线的一支;二是“常数”小于|F1F2|,否则轨迹是线段或不存在. (2)求双曲线方程时,注意用标准形式. 冲关针对训练 1.(2017·衡水模拟)已知△ABP的顶点A,B分别为双曲线C: -=1的左、右焦点,顶点P在双曲线上,则的值等于( ) A. B. C. D. 答案 A 解析 由-=1得a=4,b=3,c=5.结合双曲线定义及正弦定理得===,故选A. 2.已知双曲线-=1上有一点P,F1,F2是双曲线的焦点,且∠F1PF2=,则△PF1F2的面积为________. 答案 9 解析 由题意,得|F1F2|=2=10. 因为 所以|PF1|·|PF2|=36. 所以S△PF1F2=|PF1|·|PF2|sin=9. 题型2 双曲线的标准方程及应用 (2018·兰州检测)已知双曲线-=1(b>0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,D四点,四边形ABCD的面积为2b,则双曲线的方程为( ) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 本题采用方程法. 答案 D 解析 不妨设A(x0,y0)在第一象限,由题意得 由①③得x=,④ 所以y=×=,⑤ 由②④⑤可得b2=12. 所以双曲线的方程为-=1.故选D. [条件探究1] 若将典例中条件变为“以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)”,求双曲线的方程. 解 因为以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4),所以c=5,=.又c2=a2+b2,所以a=3,b=4,所以此双曲线的方程为-=1. [条件探究2] 若将典例中变为“双曲线过点(2,1),且双曲线与椭圆+y2=1共焦点”,求双曲线的方程. 解 椭圆+y2=1的焦点坐标是(±,0).设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),所以-=1,a2+b2=3,解得a2=2,b2=1,所以所求双曲线方程是-y2=1. 方法技巧 双曲线标准方程的求解方法 1.定义法. 2.待定系数法. 提醒: 利用求待定系数法求双曲线标准方程的关键是: 设出双曲线方程的标准形式,根据已知条件,列出关于参数a,b,c的方程并求出a,b,c的值.与双曲线-=1,有相同渐近线时可设所求双曲线方程为-=λ(λ≠0). 冲关针对训练 1.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的焦距为2,且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直,则双曲线的方程为( ) A.-y2=1 B.x2-=1 C.-=1 D.-=1 答案 A 解析 由题意得c=,=,则a=2,b=1,所以双曲线的方程为-y2=1.故选A. 2.(2018·福建漳州模拟)已知双曲线C: -=1(a>0,b>0)的左、右焦点为F1,F2,P为双曲线C右支上异于顶点的一点,△PF1F2的内切圆与x轴切于点(1,0),且P与点F1关于直线y=-对称,则双曲线的方程为________________. 答案 x2-=1 解析 设点A(1,0),因为△PF1F2的内切圆与x轴切于点(1,0),则|PF1|-|PF2|=|AF1|-|AF2|,所以2a=(c+1)-(c-1),则a=1.因为点P与点F1关于直线y=-对称,所以∠F1PF2=,且==b,结合|PF1|-|PF2|=2,|PF1|2+|PF2|2=4c2=4+4b2,可得b=2.所以双曲线的方程为x2-=1. 题型3 双曲线的几何性质 角度1 与双曲线有关的范围问题(多维探究) (2015·全国卷Ⅰ)已知M(x0,y0)是双曲线C: -y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若·<0,则y0的取值范围是( ) A. B. C. D. 根据已知·<0,列出y0的不等式求解. 答案 A 解析 不妨令F1为双曲线的左焦点,则F2为右焦点,由题意可知a2=2,b2=1,∴c2=3,∴F1(-,0),F2(,0),则·=(--x0)·(-x0)+(-y0)·(-y0)=x+y-3. 又知-y=1,∴x=2+2y,∴·=3y-1<0.∴- [条件探究] 将本例中条件“·<0”改为“·=0”,求△MF1F2的面积. 解 由·=0得MF1⊥MF2,知△MF1F2为直角三角形.设M为双曲线右支上一点,则|MF1|-|MF2|=2,|MF1|2+|MF2|2=(|MF1|-|MF2|)2+2|MF1|·|MF2|=12,得|MF1|·|MF2|=2,所以S△MF1F2=·|MF1|·|MF2|=1. 角度2 与双曲线渐近线有关的问题 (2017·山东高考)在平面直角坐标系xOy中,双曲线-=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点.若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为________. 涉及曲线交点时,考虑用设而不求的方法. 答案 y=±x 解析 设A(x1,y1),B(x2,y2). 由得a2y2-2pb2y+a2b2=0, ∴y1+y2=. 又∵|AF|+|BF|=4|OF|, ∴y1++y2+=4×,即y1+y2=p, ∴=p,即=,∴=, ∴双曲线的渐近线方程为y=±x. 角度3 与双曲线离心率有关的问题 (2016·全国卷Ⅱ)已知F1,F2是双曲线E: -=1的左、右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sin∠MF2F1=,则E的离心率为( ) A. B. C. D.2 将等式sin∠MF2F1=转化为关于a,b,c的等式. 答案 A 解析 由MF1⊥x轴,可得M, ∴|MF1|=.由sin∠MF2F1=,可得cos∠MF2F1==,又tan∠MF2F1==,∴=,∴b2=ac,∵c2=a2+b2⇒b2=c2-a2,∴c2-a2-ac=0⇒e2-e-1=0,∴e=.故选A. 方法技巧 与双曲线离心率、渐近线有关问题的解题策略 1.双曲线的离心率e=是一个比值,故只需根据条件得到关于a,b,c的一个关系式,利用b2=c2-a2消去b,然后变形成关于e的关系式,并且需注意e>1. 2.求双曲线离心率或其范围的方法 (1)求a,b,c的值,由==1+直接求e. (2)列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式),借助于b2=c2-a2消去b,然后转化成关于e的方程(或不等式)求解. 3.求双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线的方法是令-=0,即得两渐近线方程±=0. 冲关针对训练 1.(2015·全国卷Ⅱ)已知A,B为双曲线E的左、右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则E的离心率为( ) A. B.2 C. D. 答案 D 解析 设双曲线E的标准方程为-=1(a>0,b>0),则A(-a,0),B(a,0),不妨设点M在第一象限内,则易得M(2a,a),又M点在双曲线E上,于是-=1,可得b2=a2,∴e==.故选D. 2.(2018·成都统考)已知a>b>0,椭圆C1的方程为+=1,双曲线C2的方程为-=1,C1与C2的离心率之积为,则C2的渐近线方程为( ) A.x±y=0 B.x±y=0 C.x±2y=0 D.2x±y=0 答案 A 解析 设椭圆C1和双曲线C2的离心率分别为e1和e2,则e1=,e2=.因为e1·e2=,所以=,即4=,所以=. 故双曲线的渐近线方程为y=±x=±x, 即x±y=0.故选A. 题型4 直线与双曲线的综合问题 以P(1,8)为中点作双曲线为y2-4x2=4的一条弦AB,求直线AB的方程. 本题采用“点差法”. 解 设A(x1,y1),B(x2,y2),则 ∴(y1+y2)(y1-y2)=4(x1+x2)(x1-x2), ∵弦AB的中点是P(1,8),∴x1+x2=2,y1+y2=16. ∴16(y1-y2)=8(x1-x2), ∴直线AB的斜率为=, ∴直线AB的方程为y-8=(x-1), 即直线AB的方程为x-2y+15=0. 已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),右顶点为(,0). (1)求双曲线C的方程; (2)若直线l: y=kx+与双曲线C恒有两个不同的交点A和B,且·>2(其中O为原点),求k的取值范围. (2)直线与双曲线联立,用设而不求的方法,列出不等式,然后求解. 解 (1)设双曲线方程为-=1(a>0,b>0). 由已知得a=,c=2,于是a2+b2=22,b2=1,故双曲线C的方程为-y2=1. (2)将y=kx+代入-y2=1,得 (1-3k2)x2-6kx-9=0. 由直线l与双曲线交于不同的两点,得 即k2≠且k2<1. 设A(xA,yA),B(xB,yB), 则xA+xB=,xAxB=. 由·>2,得xAxB+yAyB>2. xAxB+yAyB=xAxB+(kxA+)(kxB+) =(k2+1)xAxB+k(xA+xB)+2 =(k2+1)+k·+2 =. 于是>2,即>0, 解得 ∴ 故k的取值范围为∪. 方法技巧 直线y=kx+m与双曲线-=1(a>0,b>0)的位置关系的分析: 1.代数法消去y,得(b2-a2k2)x2-2kma2x-a2(m2+b2)=0. (1)二次项系数为0时,直线L与双曲线的渐近线平行或重合. 重合: 无交点;平行: 有一个交点. (2)二次项系数不为0时,上式为一元二次方程, Δ>0⇔直线与双曲线相交(两个交点); Δ=0⇔直线与双曲线相切; Δ<0⇔直线与双曲线相离. 2.几何法: 运用数形结合思想考查直线与渐近线的位置关系,转化为其斜率的大小关系. 冲关针对训练 若双曲线E: -y2=1(a>0)的离心率等于,直线y=kx-1与双曲线E的右支交于A,B两点. (1)求k的取值范围; (2)若|AB|=6,点C是双曲线上一点,且=m(+),求k,m的值. 解 (1)由得 故双曲线E的方程为x2-y2=1. 设A(x1,y1),B(x2,y2),由 得(1-k2)x2+2kx-2=0.(*) ∵直线与双曲线右支交于A,B两点, 故 即所以1<k<. 故k的取值范围是{k|1<k<}. (2)由(*)得x1+x2=,x1x2=, ∴|AB|=· =2=6, 整理得28k4-55k2+25=0, ∴k2=或k2=,又1<k<,∴k=, 所以x1+x2=4,y1+y2=k(x1+x2)-2=8. 设C(x3,y3),由=m(+), 得(x3,y3)=m(x1+x2,y1+y2) =(4m,8m). ∵点C是双曲线上一点, ∴80m2-64m2=1,得m=±. 故k=,m=±. 1.(2016·全国卷Ⅰ)已知方程-=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是( ) A.(-1,3) B.(-1,) C.(0,3) D.(0,) 答案 A 解析 由题意可知: c2=(m2+n)+(3m2-n)=4m2,其中c为半焦距, ∴2c=2×2|m|=4,∴|m|=1, ∵方程-=1表示双曲线, ∴(m2+n)·(3m2-n)>0, ∴-m2 2.(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C: -=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆+=1有公共焦点,则C的方程为( ) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 答案 B 解析 解法一: 由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为-=k(k>0),即-=1,∵双曲线与椭圆+=1有公共焦点,∴4k+5k=12-3,解得k=1,故双曲线C的方程为-=1.故选B. 解法二: ∵椭圆+=1的焦点为(±3,0),双曲线与椭圆+=1有公共焦点,∴a2+b2=(±3)2=9①,∵双曲线的一条渐近线为y=x,∴=②,联立①②可解得a2=4,b2=5.∴双曲线C的方程为-=1. 故选B. 3.(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C: -=1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若∠MAN=60°,则C的离心率为________. 答案 解析 如图,由题意知点A(a,0),双曲线的一条渐近线l的方程为y=x,即bx-ay=0, ∴点A到l的距离d=. 又∠MAN=60°,MA=NA=b,∴△MAN为等边三角形, ∴d=MA=b,即=b,∴a2=3b2, ∴e===. 4.(2018·兰州诊断)若双曲线-=1(a>0,b>0)一条渐近线的倾斜角为,离心率为e,则的最小值为________. 答案 解析 由题意,可得k==tan=. ∴b=a,则a2=,∴e==2. ∴==+≥2=. 当且仅当b2=6,a2=2时取“=”. [重点保分两级优选练] A级 一、选择题 1.(2018·唐山统考)“k<9”是“方程+=1表示双曲线”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 ∵方程+=1表示双曲线,∴(25-k)(k-9)<0,∴k<9或k>25,∴“k<9”是“方程+=1表示双曲线”的充分不必要条件,故选A. 2.(2017·湖北黄冈二模)已知双曲线x2-=1的左、右焦点分别为F1,F2,双曲线的离心率为e,若双曲线上存在一点P使=e,则·的值为( ) A.3 B.2 C.-3 D.2 答案 B 解析 由题意及正弦定理得==e=2,∴|PF1|=2|PF2|,由双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=2,∴|PF1|=4,|PF2|=2,又|F1F2|=4,由余弦定理可知cos∠PF2F1===,∵·=||·||cos∠PF2F1=2×4×=2.故选B. 3.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(,0),直线y=x-1与其相交于M,N两点,MN中点的横坐标为-,则此双曲线的方程是( ) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 答案 D 解析 设双曲线方程-=1,M(x1,y1),N(x2,y2),∴ ①-②,得=·. ∴1=·,∴5a2=2b2. 又a2+b2=7,∴a2=2,b2=5,故选D. 4.过双曲线x2-=1的右焦点F作直线l交双曲线于A,B两点,若|AB|=4,则这样的直线l有( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 答案 C 解析 解法一: 设A(x1,y1),B(x2,y2),当直线l的斜率不存在时,其方程为x=,由得y=±2, ∴|AB|=|y1-y2|=4满足题意.当直线l的斜率存在时,其方程为y=k(x-),由 得(2-k2)x2+2k2x-3k2-2=0. 当2-k2≠0时,x1+x2=,x1x2=, |AB|= = ===4, 解得k=±,故这样的直线有3条.故选C. 解法二: 当直线l无斜率时同解法一,且此时与双曲线一支交于两点的情况只有一种,其他直线得到的|AB|>4.由于双曲线的实轴长为2小于4,因此与双曲线两支分别相交得到的两点都在x轴上方或x轴下方两种情况.综上所述,共有三条直线满足条件,故选C. 5.(2016·浙江高考)已知椭圆C1: +y2=1(m>1)与双曲线C2: -y2=1(n>0)的焦点重合,e1,e2分别为C1,C2的离心率,则( ) A.m>n且e1e2>1 B.m>n且e1e2<1 C.m 答案 A 解析 在椭圆中,a1=m,c1=,e1=.在双曲线中,a2=n,c2=,e2=.因为c1=c2,所以n2=m2-2.由n>0,m>1可得m>n,且m2-2>0.从而e·e==,则ee-1=-1=>0,即e1e2>1.故选A. 6.(2017·福建龙岩二模)已知离心率为的双曲线C: -=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,M是双曲线C的一条渐近线上的点,且OM⊥MF2,O为坐标原点,若S△OMF2=16,则双曲线的实轴长是( ) A.32 B.16 C.84 D.4 答案 B 解析 由题意知F2(c,0),不妨令点M在渐近线y=x上,由题意可知|F2M|==b,所以|OM|==a.由S△OMF2=16,可得ab=16,即ab=32,又a2+b2=c2,=,所以a=8,b=4,c=4,所以双曲线C的实轴长为16.故选B. 7.(2018·湖南十校联考)设双曲线-=1的两条渐近线与直线x=分别交于A,B两点,F为该双曲线的右焦点.若60°<∠AFB<90°,则该双曲线的离心率的取值范围是( ) A.(1,) B.(,2) C.(1,2) D.(,+∞) 答案 B 解析 双曲线-=1的两条渐近线方程为y=±x,x=时,y=±,不妨设A,B, ∵60°<∠AFB<90°,∴<kFB<1,∴<<1,∴<<1,∴<<1,∴1<e2-1<3,∴<e<2.故选B. 8.(2017·福建漳州八校联考)已知椭圆C1: +=1(a1>b1>0)与双曲线C2: -=1(a2>0,b2>0)有相同的焦点F1,F2,点P是两曲线的一个公共点,e1,e2分别是两曲线的离心率,若PF1⊥PF2,则4e+e的最小值为( ) A. B.4 C. D.9 答案 C 解析 由题意设焦距为2c,令P在双曲线的右支上,由双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=2a2,① 由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a1,② 又∵PF1⊥PF2,∴|PF1|2+|PF2|2=4c2,③ ①2+②2,得|PF1|2+|PF2|2=2a+2a,④ 将④代入③,得a+a=2c2, ∴4e+e=+=+=++≥+2=,当且仅当=,即a=2a时,取等号.故选C. 9.(2017·青州市模拟)已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点,且左、右焦点分别为F1,F2,这两条曲线在第一象限的交点为P,△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形.若|PF1|=10,记椭圆与双曲线的离心率分别为e1,e2,则e1·e2的取值范围是( ) A. B. C. D.(0,+∞) 答案 A 解析 设椭圆和双曲线的半焦距为c,|PF1|=m,|PF2|=n(m>n), 由于△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形.若|PF1|=10,
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- 19 高考 数学 一轮 复习 平面 解析几何 8.6 双曲线 学案文