测量的标准差.pptx
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第二章误差的基本性质与处理第二章误差的基本性质与处理第一节随机误差第一节随机误差RandomError第一节随机误差第一节随机误差一、随机误差的产生原因二、正态分布NormalDistribution2四、测量的标准差StandardDeviation4三、算术平均值ArithmeticAverage3定义、意义、残余误差分布特征、概率密度函数、置信概率测量装置、测量环境、测量人员10iixxd=-iivxx=-两组测量数据的散点图两组测量数据的散点图20.0000四、测量的标准差四、测量的标准差(StandardDeviation)12345平均值第一组(张三测得)19.999020.000619.999520.001519.9994第二组:
(李四测得)20.000519.999620.000319.999420.0002测量某孔径得到有下列两组测得值,单位mm20.000020.0000关于“等精度测关于“等精度测量”量”两组测量的准两组测量的准确度度一样吗确度度一样吗?
19.998519.999019.999520.000020.000520.001020.001520.0020012345mm张三测得李四测得大大小小大大小小低低高高张三张三李四李四分散度准确度定性定量定量定量?
标准差两组测量数据的散点图两组测量数据的散点图20.000019.998519.999019.999520.000020.000520.001020.001520.0020012345mm张三测得李四测得标准差不是等精度测量列中任何一个具体测得值的随机误差标准差标准差StandardDeviation测量的标准偏差简称为标准差,也称均方根误差。
等精度测量列中的所有测得值都具有相同的标准差。
标准差是一个关于总体分布性质的概念。
描述随机误差(测量结果)分散程度的统计量,可作为定量评定测量精度的参数。
等精度条件下,随机误差(测量结果)的所有可能值本节的重点内容本节的重点内容1反映等精度测量列的分散程度测量列单次测量的标准差测量列单次测量的标准差2反映等精度测量列的分散程度测量列算术平均值的标准差测量列算术平均值的标准差二者有何二者有何关系关系nxxx.,21mxxxx,.,321x标准差的统计定义v标准差是统计参数方差开方后的值。
标准差是统计参数方差开方后的值。
方差定义:
随机变量方差定义:
随机变量X的每一个可能值对其数学期望的每一个可能值对其数学期望E(X)的偏差的平方的数学期望。
)的偏差的平方的数学期望。
1测量列单次测量的标准差测量列单次测量的标准差2)()(EXXEXD统计定义式:
v由统计意义得在等精度测量列中,单次测量的标准差由统计意义得在等精度测量列中,单次测量的标准差按下式计算按下式计算vi为测得值与真值之差;为测得值与真值之差;n为测量次数(趋于无穷次)为测量次数(趋于无穷次)。
注意:
标准差只取正开方根值,标准差与测得值具有相同的量纲。
注意:
标准差只取正开方根值,标准差与测得值具有相同的量纲。
无法应用1测量列单次测量的标准差测量列单次测量的标准差nnniin1222221用残差计算标准差的估计值推导如下推导如下:
真差残差所以:
令,称为算术平均值误差所以:
nixxii,2,1,0nixxvii,2,1,00)(xxxxxxviiii0xxxxiiv有:
(1)对
(1)式两边相加有:
(2)对
(1)式先平方(3)后取和,有用残差计算标准差的估计值用残差计算标准差的估计值)()()(2211xnnxxvvvxniiniinv1101niivnniix1xixiivv22222121212122xniiniixxniiniinvvnv(3)
(2)式平方有当n适当大,上式中接近于0。
(4)代入(3)式有:
(5)因为,所以(5)式为:
贝塞尔公式贝塞尔公式用残差计算标准差的估计值2121212122xniiniixxniiniinvvnv)jnjiiniiniixnn112221222
(1)(1niki1niixn12221niininiiinnv12211221nnii122122niivn112nvnii1测量列单次测量的标准差测量列单次测量的标准差v贝塞尔公式意义:
根据有限次测量值计算单次测量的标准差的估计值。
(2-18)贝塞尔公式:
贝塞尔公式:
式中:
式中:
vi为残差为残差,nn为测量次数为测量次数对总体标准差的估计v说明:
有的参考书将由贝塞尔公式计算的标准差估计值称为样本标准差或实验标准差,用s或s表示。
本书中将总体标准差及其估计值都用表示。
112nvniiiivxx=-12345平均值分散度第一组(张三测得)19.999020.000619.999520.001519.9994大大第二组:
(李四测得)20.000519.999620.000319.999420.0002小小测量某孔径得到有下列两组测得值,单位mm20.000020.0000第一组:
第一组:
1测量列单次测量的标准差测量列单次测量的标准差第二组:
第二组:
求两组测得值单次测量的标准差:
求两组测得值单次测量的标准差:
mmnvnii0010.0150006.00015.00005.00006.0001.0122222121mmnvnii0005.0150002.00006.00003.00004.00005.0122222122其他精度参数用残差表示其他精度参数用残差表示平均误差:
或然误差:
1545412nvnii1323212nvnii算术平均值的标准差与单次测量的标准差关系推导如下:
算术平均值的标准差与单次测量的标准差关系推导如下:
对取方差,令有:
即:
利用方差的性质得:
2.测量列算术平均值的标准差测量列算术平均值的标准差在n次等精度测量列中,算术平均值的标准差为单次测量的,精度得到明显提高niixnx11)()()
(1)(212nxDxDxDnxD)()()()(21xDxDxDxDnnxDxnDnxDn)()
(1)
(2)(xDx221nxnxx2.2.测量列算术平均值的标准差测量列算术平均值的标准差可见:
在n次等精度测量列中,算术平均值的标准差为单次测量标准差的,精度得到明显提高。
式中为单次测量的标准差,n为测量次数在实际测量中,测量在实际测量中,测量次数越多越好吗?
次数越多越好吗?
xnxn/112345平均值第一组(张三测得)19.999020.000619.999520.001519.9994第二组:
(李四测得)20.000519.999620.000319.999420.0002测量某孔径得到有下列两组测得值,单位mm20.000020.0000第二组:
第二组:
两组测得值单次测量的标准差:
两组测得值单次测量的标准差:
求两组算术平均值的标准差:
求两组算术平均值的标准差:
第一组第一组:
2.2.测量列算术平均值的标准差测量列算术平均值的标准差mm0010.01mm0005.02mmnmmxx0004.050010.00000.20111mmnmmxx0002.050005.00000.20222x当当n10次以后,测量精度次以后,测量精度随测量次数增加提高不显著随测量次数增加提高不显著减少减少缓慢缓慢减减少少如何选择合适的测量次数如何选择合适的测量次数n?
n增加测增加测量次数量次数增加测量次数,可以提高测量精度增加测量次数,可以提高测量精度愈难保证测量条件的恒定,带来新的误差,同时愈难保证测量条件的恒定,带来新的误差,同时,必然会增加测量的工作量及其成本。
,必然会增加测量的工作量及其成本。
n10次次xx05101520xnx算术平均值的其他精度参数算术平均值的其他精度参数平均误差T或然误差R用残差表示为:
用残差表示为:
nnTx547979.0nnRx326745.0)1(5412nnvTnii)1(3212nnvRnii总结总结算术平均值的标准差算术平均值的标准差测量的标准差测量的标准差定量评定测量准确度的参数定量评定测量准确度的参数单次测量的标准差单次测量的标准差适当增加测量次数取其算适当增加测量次数取其算术平均值表示测量结果术平均值表示测量结果nx112nvnii随机误差的正态分布随机误差的正态分布v标准差定量描述了随机误差(测量数据)的分散程度。
标准差定量描述了随机误差(测量数据)的分散程度。
其中,随机误差其中,随机误差=x-,为测量总体的数学期望,为测量总体的数学期望,为标准差。
为标准差。
1f()32012322221)(ef定义:
若在多次重复测量中,每一个测得值都是在相同的测量条件(相同的测量程序,相同的观测者,使用相同的测量仪器,相同地点、在短时间内进行重复测量)下获得的,这样的测量叫做等精度测量。
等精度测量(补充)等精度测量(补充)Equal-accuracyMeasurement随机误差的正态分布随机误差的正态分布v标准差定量描述了随机误差(测量数据)的分散程度。
标准差定量描述了随机误差(测量数据)的分散程度。
123数学期望数学期望E()=0方差方差D()=2标准差标准差=数字特征量:
数字特征量:
1f()32022221)(ef)(D
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- 测量 标准差