概率第二章习题课.ppt
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第二章习题课,本章主要内容,1.随机变量的引入,定义:
设随机试验的样本空间为S=e.X=X(e)是定义在样本空间S上的实值单值函数.称X=X(e)为随机变量.,与普通实函数的区别:
(1)它的定义域是样本空间S,而S不一定是实数集;
(2)它的取值是随机的,所取每一个可能值都有一定的概率.,随机变量的分类:
离散型/非离散型(连续型),2.离散型随机变量及其概率分布定义:
取有限个或可数个值的随机变量;分布律:
PX=xk=pk,k=1,2,其中pk满足:
常见分布:
1)(0-1)分布:
PX=k=pk(1-p)1-k,k=0,1(0p1),2)二项分布:
Xb(n,p),3)泊松分布:
3.随机变量的分布函数定义:
设X是一个随机变量,x是任意实数,函数F(x)=PXx-称为X的分布函数,对任意实数,分布函数的性质,
(1),(3),(4)F(x)是右连续的,即F(x+0)=F(x),
(1)离散型随机变量X的分布函数,
(2)连续型随机变量,f(x)的性质,三种重要的连续型随机变量,
(一)均匀分布,
(二)指数分布,(三)正态分布,标准正态分布:
XN(0,1),x,4随机变量的函数的分布,一、离散型随机变量函数的分布律二、连续型随机变量函数的概率密度,方法:
由随机变量X的概率密度去求随机变量Y=g(X)的概率密度.
(1)求出Y的分布函数的表达式;
(2)由分布函数求导数,即可得到.,第二章练习题,一、填空题1.设随机变量X的概率密度为且PX1/2=0.75,则k=,b=.2.设随机变量X的分布律为X012p1/31/61/2则X的分布函数F(x)=.,2,1,0,x0,1/3,0x11/2,1x21,2x,3.若随机变量X在(1,6)上服从均匀分布,则方程x2+Xx+1=0有实根的概率是.,4.设随机变量X的概率密度为以Y表示对X的三次独立重复观察中事件X1/2出现的次数,则PY=2=.,9/64,0.8,5.设X服从参数为(2,p)的二项分布,随机变量Y服从参数为(3,p)的二项分布.若PX1=5/9,则PY1=.,19/27,利用常见连续型随机变量的分布求事件的概率,利用常见离散型随机变量的分布求事件的概率,二、选择题,1.设随机变量X具有对称的概率密度,即f(x)=f(-x),其分布函数为F(x),则P|X|a=().(A)21-F(a)(B)2F(a)-1(C)2-F(a)(D)1-2F(a)2.设随机变量X的概率密度为则()N(0,1).,(A)(B)(C)(D),A,B,(D),3.设XN(,42),YN(,52),记P(X-4)=p1,P(Y+5)=p2,则(),(A)对于任意的实数有p1=p2,(B),(C)只对的个别值才有p1=p2,A,4.设随机变量X1,X2的分布函数为F1(x),F2(x),为使F(x)=aF1(x)-bF2(x)是某一随机变量的分布函数,在下面给出的各组数中应取().,A,5.设随机变量XN(2,2),且P2X4=0.3,则PX0=(),(A)0.5(B)0.7(C)0.3(D)0.2,D,【解】,1.设随机变量X的分布函数为,试确定常数a,b的值.,由分布函数的右连续性,可知,即,解得:
a=2/3,b=1/3.,三、解答题,会求待定常数,离散型:
作业1一
(1)二
(1)三(3),2.一批零件中有9件正品和3件次品,从中不放回地抽取零件,求
(1)在取得正品前已取出次品数X的分布律和分布函数;
(2)概率PX2,P0.5X2.,
(1)的所有可能的取值为0,1,2,3,且,X0123,0.750.2040.0410.005,【解】,会求离散型随机变量的分布律,分布函数和事件的概率(实质:
古典概型),2.一批零件中有9件正品和3件次品,从中不放回地抽取零件,求
(1)在取得正品前已取出次品数X的分布律和分布函数;
(2)概率PX2,P0.5X2.,【解】,作业1三
(2),3.设X的分布律为,求Y=cosX的分布律.,【解】,cosX010,cosX01,会求离散型随机变量函数的分布律,4.设连续性随机变量X的概率密度为,求
(1)k=?
(2)P1X5,(3)F(x),答
(1)k=1/2,
(2)1/4,已知连续型随机变量的概率密度,求待定常数,分布函数和一些事件的概率,5.设X的分布函数为,求c=?
;f(x);PX1/2,PX1/2|X2/3,PX=3.,已知连续型随机变量的分布函数,求待定常数,概率密度和一些事件的概率,6.设连续型随机变量X的分布函数为,求:
(1)系数A与B;
(2)X的概率密度f(x);(3)X的取值落在区间1,2内的概率.,
(1)由,得A=1,又因为X是连续型随机变量,所以F(x)处处连续,故,有F(0-0)=F(0),即A+B=0,所以B=-A=-1,于是,故A=1,B=-1.,7.设X的概率密度函数为,求随机变量,的概率密度函数,.,Y的分布函数为,所以Y的概率密度函数为,【解】,会求连续型随机变量函数的分布,课堂练习题,1.从编号为1,2,9的九个球中任取三个,试求所取三球的编号数依大小排列位于中间的编号数的分布律.,答:
X2345678,2.设某汽车站在某一时间区间内候车人数服从参数为5的泊松分布.求
(1)候车人数不多于2个的概率;
(2)候车人数多于10人的概率.,答:
3.已知随机变量X的概率密度函数,求X的分布函数F(x).,【解】,4.设X的分布函数为,求X的分布律.,【解】,X-113,p0.40.40.2,(D),5.设随机变量X的分布函数为FX(x),则随机变量Y=2X+1的分布函数为(),(A),(B),(C),A,【答:
(1)第二条;
(2)第一条】,6.某人去火车站乘车,有两条路可以走.第一条路程较短,但交通拥挤,所需时间(分钟)服从正态分布N(40,100);第二条路程较长,但意外阻塞较少,所需时间(分钟)服从正态分布N(50,16).求:
(1)若动身时离开车时间有60分钟,应走哪一条路线?
(2)若动身时离开车时间有40分钟,应走哪一条路线?
设走第一、二条路所需时间为X、Y,则XN(40,100),YN(50,16).,【解】,
(1)PX60=,PY60=,7.设某批鸡蛋每只的重量X(以克记)服从正态分布XN(50,25).求
(1)从中任取一只,其重量不足45克的概率;
(2)从中任取一只,其重量介于4060克的概率;(3)从中任取一只,其重量超过60克的概率;(4)求最小的n,使从中任取n只鸡蛋,至少有一只超过60克的概率大于0.99.,【答】
(1)0.158,
(2)0.9544,(3)0.0228,(4)=200,8.有两种鸡蛋混放在一起,甲种单只重量X(克)服从XN(50,25),乙种单只重量Y(克)服从YN(45,16).设甲种蛋占总数的70%.求
(1)从中任取一只,其重量超过55克的概率;
(2)若已知抽出的鸡蛋超过55克,问它是甲种鸡蛋的概率.,【答】
(1)0.11295,
(2)0.9835,解:
9.公共汽车车门的高度是按男子与车门碰头的机会在0.01以下来设计的,设男子身高X(cm)服从正态分布XN(170,36).问车门的高度应如何确定?
解析:
若设车门的高度为hcm,由题意可知,由于XN(170,6),因此,查表可知,即有,于是h=170+62.33=183.98(cm),10.设随机变量XU(0,1),证明随机变量服从参数为2的指数分布.,11.某车间有同类机床300台,各台机床工作相互独立,发生故障的概率都是0.01.设一台机床的故障由一名维修工修理,问至少需要多少个维修工才能保证当设备发生故障时能及时得到维修的概率不小于0.995?
提示需用泊松分布表,答:
至少需要8名维修工.,【答:
(1)0.000069;
(2)0.9863】,12.有2500同一年龄段的人参加了人寿保险,每人在1月1日须交保费120元,而在死亡时家属可从保险公司领取20000元赔偿金.设在一年中每人的死亡率为0.002.求
(1)保险公司亏本的概率;
(2)保险公司获利不少于10万元的概率.,第二章习题课,3.设一学生用同一台机床连续独立地加工3个同种零件,第i个为不合格的概率为,以X表示3个零件中的合格品数,求X的分布律.,答:
X01231/246/2411/246/24,
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- 概率 第二 习题