人教版八年级数学下册第十九章一次函数的应用专题.docx
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人教版八年级数学下册第十九章一次函数的应用专题
一次函数的应用
题型一:
一次函数与方程(组)和不等式
思路导航
解一元一次方程axb0a0
可转化为
一次函数yaxb当y0时,求x的值
从图象上看
确定直线yaxb与x轴交点的横坐标
可转化为
解二元一次方程组
ya1xb1
a1≠a2
ya2xb2
求一次函数y1a1xb1与y2a2xb2图象的交点坐标
从图象上看
两条直线y1a1xb1与y2a2xb2的交点
解一元一次不等式
axb0或axb0a≠0
可转化为
一次函数yaxb求当y0或y0时x的取值范围
从图象上看
当y0时,直线上的点在x轴上方y0时,直线上的点在x轴下方
引例】⑴方程2x200的解为
例题精讲
,自变量x时,函数y2x20的值为0.
yx1
⑵直线yx1和yx3的位置关系是,由此可知方程组解的情
yx3
况为.
yx1
⑶方程组的解为,由此可知直线y1x1与y2x2的交点坐标为
yx2
典题精练
①当x
时,
y1≥0,当x
时,y20
②
当x
时,
y1y2,当
x
时,1y1y2
3
x
⑴
x10,
10;
⑵平行,
无解;
⑶2,
1y2
解析】
在同一直角坐标系中画出⑶中y1与y2的图象,通过观察图象,填空:
3,1
,
22
甲比乙低.
例2】⑴如图,直线ykxb与坐标轴交于A(3,0),B(0,5)两点,
则不等式kxb0的解集为.(海淀期末试题)
⑵如图,已知直线yaxb与直线yxc的交点的横坐标为1,根据图象有下列四个结论:
1a0;②c0;
③对于直线yxc上任意两点AxA,yA、BxB,yB,若
xAxB,则yAyB;④x1是不等式axbxc的解集.
其中正确的结论是()
解析】⑴x3⑵C
1
⑶1x2,此题要求学生补上y1x的图象,然后利用图象法来解不等式,这样才2
能体现一种函数思想.当然,也可以用待定系数法求解析式,然后解不等式组,但是较为麻烦.
题型二:
一次函数的实际应用
思路导航
一次函数实际应用题的命题形式多样,可以大致归为以下几类:
⑴方案设计问题(物资调运、方案比较);⑵分段函数问题(分段价格、几何动点);⑶解读图象(单个函数图象、多个函数图象)。
⑷一次函数多种变量及其最值问题。
这些问题都渗透着函数的方法和思想,其中一次函数多种变量及其最值是一个重难点,解决此问题的窍门是——列表,详见例题.
例题精讲
【引例】密码学与数学是有关系的.某校初二一班数学兴趣小组经过研究实验,用所学的一次函数知识制作了一种密钥的编制程序.他们首先设计了一个“字母——明码对照表”:
字母
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
明码
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
字母
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
明码
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
例如,以y3x11为密钥,将“努力”二字进行加密转换后得到下表:
汉字
努
力
拼音
N
U
L
I
明码:
x
14
21
12
9
密钥:
y3x11
密码:
y
53
74
因此,“努”字加密转换后的结果是“5374”.
问题:
⑴请你求出当密钥为y3x11时,“力”字经加密转换后的结果;
⑵为了提高密码的保密程度,需要频繁地更换密钥.若“努力”二字用新的密钥加密转换后得到下表:
汉字
努
力
拼音
N
U
L
I
明码:
x
14
21
12
9
密钥:
ykxb
密码:
y
91
73
请求出这个新的密钥,并直接写出“努”字用新的密钥加密转换后的结果.(东城期末)
解析】⑴
当x
12,y3121147;当
x9,y391138
∴“力
”字转换后为“4738”
⑵
由“力
”字的转换可知,当x12,
y
91;当
x9,y73,代入ykxb中,得
91
12kbk6
解得,
73
9kbb19
∴y
6x19
当x
14时,y103;当x21,
y
145,
∴“努
”转换后为“103145”
典题精练
例3】王鹏和李明沿同一条路同时从学校出发到图书馆查阅资料,学校与图书馆的路程是4
千米.王鹏骑自行车,李明步行.当王鹏从原路回到学校时,李明刚好到达图书馆.图中折线OABC和线段OD分别表示两人离学校的路程s(千米)与所经过的时间t(分钟)之间的函数关系,请根据图象回答下列问题:
⑴王鹏在图书馆查阅资料的时间为分钟,王鹏返回学校的速度为千米/分钟;
⑵请求出李明离开学校的路程s(千米)与所经过的时间t(分钟)之间的函数关系式;⑶当王鹏与李明迎面相遇时,他们离学校的路程是多少千米?
(西城期末)
∴s4t.
45
例4】
如图,某公司专销A产品,第一批A产品上市40天内全部售完.该公司对第一批A产品上市后的市场销售情况进行了跟踪调查,调查结果如图所示,其中甲图中的折线表示的是市场日销售量与上市时间的关系;乙图中的折线表示的是每件A产品的销售利润与上市时间的关系.
⑴试写出第一批A产品的市场日销售量y与上市时间t的关系式;
⑵第一批A产品上市后,哪一天这家公司市场日销售利润最大?
最大利润是多少万元?
说明理
由)
解析】⑴由图甲可知,
当0≤t≤30时,设市场的日销售量为y=kt.∵点(30,60)在图象上,∴60=30k,k=2.∴y=2t.
当30≤t≤40时,设市场的日销售量为yk1tb
∵点(30,60)和(40,0)在图象上,
得k1=-6,b=240.
∴y6t240.综合可知y2t(0t30)
6t240(30t40)
⑵由图乙知
y=3t×2t=6t2.
y=60×2t=120t.
①当0≤t≤20时,每件产品的日销售利润为y=3t,产品的日销售利润为∴t=20时,y最大=6×202=2400(万元).
2当20 3当30 ∴t=30时,y最大=-360×30+14400=3600(万元). 3600万元. 综上可知,第30天这家公司市场的日销售利润最大为 例5】在某次抗震救灾中得知,甲、乙两个重灾区急需一种大型挖掘机,甲地需要25台,乙地需要23台.A、B两省获知情况后慷慨相助,分别捐赠该型号挖掘机26台和22台并将其全部调往灾区.如果从A省调运一台挖掘机到甲地要耗资0.4万元,到乙地要耗资0.3万元;从B省调运一台挖掘机到甲地要耗资0.5万元,到乙地要耗资0.2万元.设从A省调往甲地x台挖掘机,A、B两省将捐赠的挖掘机全部调往灾区共耗资y万元. ⑴请直接写出y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围. ⑵若要使总耗资不超过15万元,有哪几种调运方案? ⑶怎样设计调运方案能使总耗资最少? 最少耗资多少万元? 解析】此类调运分配问题是一个难点,数量关系非常复杂,最简单的方法是列一个表格,把所有相关的量填写清楚,这样所有问题都将一目了然. A省 B省 台数(台) 耗资(万元) 台数(台) 耗资(万元) 甲区 x 0.4x 25x 0.525x 乙区 26x 0.326x 2326x或 2225x 0.2x3 ⑴由上表可知y0.4x0.326x0.525x0.2x3 化简得y0.2x19.7 又∵26x≥0,25x≥0,x3≥0∴自变量x的取值范围为3≤x≤25 ⑵0.2x19.7≤15,得x≥23.5 ∵x为整数且3≤x≤25,∴x24,25 ∴调运方案有两种,如下列: 方案一: ∴当x25时,ymin14.7 ∴⑵问中的方案二可使总耗资最少为14.7万元. 真题赏析 x1表示 例6】阅读: 我们知道,在数轴上,x1表示一个点,而在平面直角坐标系中, 条直线;我们还知道,以二元一次方程2xy10的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数y2x1的图象,它也是一条直线(如图1).观察图1可以得出: 直线x1 与直线 x1 y2x1的交点P的坐标1,3就是方程组2xx1y10的解,所以方程组的解 为x y 在直角坐标系中,x≤1表示一个平面区域,即直线x1以及它左侧的部分(如图2);y≤2x1也表示一个平面区域,即直线y2x1以及它下方的部分(如图 y 3). 回答下列问题: 解析】⑴ y y=2x+1 图1 图2 1x=1 y=2x+1 图3 P(1,3) 在直角坐标系中,用作图象的方法求出方程组 2 的解; 2x2 x≥2 用阴影表示y≤2x2所围成的区域; y≥0 求在直角坐标平面中不等式xy≤3围成的面积. 由右上图象可知,直线x2和直线y2x2交于点P2,6, x2. y6. x ∴方程组 y如右图所示;根据绝对值的意义,不等式即4条直线xy3,x所围成的四边形(如右图) 2 2的解是2x2 思维拓展训练 训练1. k取何值时,直线 2yk 解析】 解方程组x2y 2xy k 2k 10 0 训练2. xy≤3可围成多边形,3,xy3,xy其面积为18. 0,2xy2k0的交点在第三象限内. 1 3 2 3 k ,由1k 3 0得k13 在直角坐标系中,横纵坐标都是整数的点称为整点,设 k为整数,当直线 训练3.对于三个数a、b ykxk的交点为整点时, 求此时 k的值. k3 yx3x 解析】解方程组yx3得 k1 4 将x的值分离常数得x14 ykxk k3 k1 y 3 k1 ∵k为整数,∴k5,3,2,0,1,3 min{a,b,c}表示这三个数中最小的数,例如, 训练4.某天,小明来到体育馆看球赛,进场时,发现门票还在家里,此时离比赛开始还有25分钟,于是立即步行回家取票.同时,他父亲从家里出发骑自行车以他3倍的速度给他送票,两人在途中相遇,相遇后小明立即坐父亲的自行车赶回体育馆.下图中线段AB、OB分 别表示父、子俩送票、取票过程中离体育.馆.的.路.程...S(米)与所用时间t(分钟)之间的函数关系,结合图象解答下列问题(假设骑自行车和步行的速度始终保持不变) ⑴求点B的坐标和AB所在直线的函数关系式;⑵小明能否在比赛开始前到达体育馆? ⑴解法一: 从图象可以看出: 父子俩从出发到相遇时都花费了15分钟,设小明步行的速度为x米/分,则小明父亲骑车的速度为3x米/分,依题意得: 15x45x3600,解得: x60,所以两人相遇处离体育馆的距离为6015900米,所以点B的坐标为15,900. 设直线AB的函数关系式为Sktbk0, 603 从图象可以看出: 父子俩从出发到相遇花费了15分钟.设父子俩相遇时,小明走过的路程为x米. 依题意得: 3x3600x,解得x900, 1515 所以点B的坐标为15,900,以下同解法一. ⑵解法一: 小明取票后,赶往体育馆的时间为: 9005分钟 小明取票花费的时间为: 15520分钟.∵2025,∴小明能在比赛开始前到达体育馆. 解法二: 在S180t3600中,令S0,得0180t3600,解得: t20.即小明的父亲从出发到体育馆花费的时间为20分钟,因而小明取票的时间也为 分钟. ∵2025,∴小明能在比赛开始前到达体育馆. 题型一一次函数与方程(组)和不等式巩固练习 【练习1】已知: 直线y1x2. 2 1 ⑴求直线y1x2与x轴的交点B的坐标,并画图; 2 ⑵若过y轴上一点A(0,3)作与x轴平行的直线l,求它与直线y1x2的交点M2 的坐标; ⑶若过x轴上一点C(3,0)作与x轴垂直的直线m,求它与直线y1x2的交点N2 的坐标. 【解析】本题主要考察两种平行于坐标轴的直线x=a,y=b ⑴B4,0画图略 ⑵直线l: y=3∴M(-10,3) ⑶直线m: x=3∴N(3,7) 2 练习2】⑴用图象法解二元一次方程组时,在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图 解集为(). A.x1B.x1C.x2 ⑶如图,直线ykxb经过A2,1和 1 xkxb0的解集为. 2解析】⑴D⑵B ⑶画出直线y1x的图象恰好过点A2, 2 练习3】用画图象的方法解不等式5x42x10. 海淀期末) 解析】令y15x4,y22x10,在同一坐标系中画出两个函数的图象(图略),观察交点横坐标为x2,当x2时,y1y2即5x42x10. 题型二一次函数的实际应用巩固练习 练习4】我国是世界上严重缺水的国家之一.为了增强居民节水意识,某市自来水公司对居民 用水采用以户为单位分段计费办法收费.即一月用水10吨以内(包括10吨)的用户, 每吨收水费a元;一月用水超过10吨的用户,10吨水仍按每吨a元收费,超过10吨的部分,按每吨b元(ba)收费.设一户居民月用水x吨,应收水费y元,y与x之间的函数关系如图所示. ⑴求a的值;某户居民上月用水8吨,应收水费多少元? ⑵求b的值,并写出当x10时,y与x之间的函数关系式;⑶已知居民甲上月比居民乙多用水4吨,两家共收水费46元,求他们上月分别用水多少吨? 解析】⑴当x≤10时,有yax.将x10,y15代入,得a1.5.用8吨水应收水费81.512(元). ⑵当x10时,有yb(x10)15. 将x20,y35代入,得3510b15.b2. 故当x10时,y2x5. ⑶因1.5101.5102446,所以甲、乙两家上月用水均超过10吨.设甲、乙两家上月用水分别为x吨,y吨, 故居民甲上月用水16吨,居民乙上月用水12吨 练习5】某服装厂现有A种布料70m,B种布料52m.现计划用这两种布料生产M,N两种型号的时装80套,已知做一套M型号的时装需要A种布料0.6m,B种布料0.9m,可获利45元;做一套N型号的时装需要A种布料1.1m,B种布料0.4m,可获利50元.若设生产N型号的时装套数为x,用这批布料生产这两种型号的时装所获的总利润为y元. ⑴求y与x的函数关系式,并求出自变量x的取值范围; ⑵该服装厂在生产这批时装中,当生产N型号的时装多少套时,所获利润最大? 最大利润是多少? 解析】列表如下: 一套M型时装 一套N型时装 A种布料 0.6m 1.1m B种布料 0.9m 0.4m 利润 45元 50元 M型 N型 套数 80x x A种 0.680x 1.1x B种 0.980x 0.4x 利润 4580x 50x ⑴由题意得: 0.680x1.1x≤70,0.980x0.4x≤52,解得40≤x≤44,∴解析式为: y5x360040≤x≤44 ⑵当生产N型号的时装44套时,所获利润最大,最大利润是3820元.
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