高数同济第六版A2重点知识整理.ppt
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1,
(一)向量代数,1、向量的有关概念与表示法,
(1)坐标表示,
(2)向量的模,(3)方向角与方向余弦,(4)向量的投影,2,2、向量的运算,3、向量间的关系,3,
(二)空间解析几何,1、空间直角坐标系,
(1)点的坐标;,
(2)两点间距离公式,2、曲面,球面,旋转曲面,锥面,柱面,缺项的方程,4,二次曲面,椭球面,椭圆抛物面,(马鞍面),双曲抛物面,单叶双曲面,双叶双曲面,椭圆锥面,5,3、曲线,设空间曲线C的一般方程为,消去z得投影柱面,则C在xoy面上的投影曲线,6,空间平面,一般式,点法式,截距式,三点式,4、空间直线与平面的方程,重点是点法式,7,为直线的方向向量.,空间直线,一般式,对称式或点向式,参数式,为直线上一点;,8,面与面的关系,平面,平面,垂直:
平行:
夹角公式:
5.线面之间的相互关系,9,直线,线与线的关系,直线,垂直:
平行:
夹角公式:
10,平面:
垂直:
平行:
夹角公式:
面与线间的关系,直线:
11,二、导数与微分,1、偏导数,2、高阶偏导数,(求法:
定义,一元函数求导公式),(求法:
逐次求导。
混合偏导数连续则相等),3、复合函数求导法则,12,一、极限与连续,1、多元函数:
定义域,图像一张曲面,3、多元函数的连续性,1)用多元函数的连续性,连续点求极限即求函数值,多元初等函数求极限即求函数值.2)多元函数的极限运算,有与一元函数类似的运算法则。
夹逼准则,重要极限都可以应用.,13,4、隐函数求导法,5、全微分,1)用复合函数求导法则两边求导数,例如,2)公式法例如,确定二元隐函数,两边对求导,确定二元隐函数,14,三、应用,1、方向导数,2、梯度,3、空间曲线,切向量,15,若,有极值,且,时有极大值.,时有极小值.,5、极值:
求驻点.,4、空间曲面,法向量,时,没有极值.,16,6、条件极值拉格朗日乘数法,构造函数:
7、几个基本概念的关系,方向导数存在,(解方程组可得条件极值的可疑点),17,1,二重积分、三重积分的几何意义,2性质,线性性质、区域可加性、保号性、估值不等式、中值定理,3.重积分计算的基本技巧,分块积分法,利用对称性,
(1)交换积分顺序,
(2)利用对称性,(3)消去被积函数绝对值符号,表示曲顶柱体的体积.,18,1).化直角坐标积分形式为极坐标积分形式,X型区域,先对积分Y型区域,先对积分,3).怎样改换积分次序:
先画四线确定积分区域,直角坐标系下:
极坐标系下:
1).怎样确定积分次序,2).怎样确定上下限:
先积分穿线法、后积分取最值,4.二重积分的计算方法:
积分次序:
上下限的确定:
先积分穿线法、后积分取最值,一画三确定:
画图、确定形式、确定次序、确定限。
先,后。
2).何时使用极坐标积分,积分区域为圆形、扇形或环形等,19,5.三重积分的计算方法:
一画三确定:
画图、确定形式、确定次序、确定限。
1)直角坐标系,方法1.三次积分法(投影法:
先一后二),方法2.截面法(先二后一),2)柱坐标计算,积分次序是:
积分区域在坐标面的投影为圆形、扇形、环形(的一部分),何时用柱面坐标计算,采用柱面坐标来计算简单,限的确定,20,3)球坐标计算,积分次序是:
当积分区域由球面,球面与锥面,球面与球面等围成的区域,,何时用球面坐标计算三重积分:
限的确定:
21,6应用,几何应用:
平面图形的面积:
空间曲面的面积:
或,怎样确定?
空间立体的体积:
22,1.,对坐标的曲线积分特有的性质:
2.对坐标的曲面积分特有的性质:
曲面面积,3.曲面积分几何意义,23,4.计算方法,参数化化成定积分,下限小于上限,参数化化成定积分,下限起点,上限终点,格林公式(平面上),斯托克斯公式(空间),与方向无关,投影法变成二重积分,投影变成二重积分,添加正负号,高斯公式,检验连续性、封闭性、方向性,连续性、封闭性方向性,(投影时看方程是否含z,注意dS与dxdy(dydz,dzdx)关系),24,5.两类曲线积分之间的关系:
25,6.二元函数的全微分求积,7.五个等价命题,方法3凑微分法.,方法2利用,求积分.,方法1利用积分与路径无关的条件.,怎样求该函数,26,a、积分的值与路径无关,,是单连通区域,、在内有一阶连续偏导数,c、在内,b、对于内任一封闭曲线,,d、存在内的可微函数,8.两类曲面积分之间的关系:
27,关于积分的几点说明:
1.线面积分计算前可先用,的方程将被积函数,化简,而重积分不行!
因为D,满足的是不等式,2.对坐标的线(面)积分计算时可先考虑格林公式(高斯公式),3.遇到L,D()关于坐标轴(面)对称的积分(对坐标的积分,除外!
),会考虑被积函数的奇偶性将其化简,而对坐标的积分不仅要考虑被积函数的奇偶性,还要考虑,积分元素的正负(慎用!
),28,一、数项级数的审敛法,1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性,2.正项级数审敛法,必要条件,不满足,发散,满足,比值审敛法,根值审敛法,收敛,发散,不定,比较审敛法或极限形式,用它法判别,部分和极限,29,3.任意项级数审敛法,为收敛级数,Leibniz审敛法:
若,且,则交错级数,收敛,且余项,
(2)常用来判断级数敛散性的已知级数,等比级数、调和级数、P级数,注:
(1)正项级数审敛法可用于判断级数绝对收敛.,30,二、求幂级数收敛域的方法,标准形式幂级数:
先求收敛半径R:
再讨论,非标准形式幂级数,通过换元转化为标准形式,直接用比值法或根值法,处的敛散性.,幂指数有间隔用正项级数的比值审敛法或根值审敛法求半径,幂指数连续,注求幂级数的收敛域步骤:
求收敛半径、确定收敛开区间、讨论端点处的敛散性,31,三、幂级数和函数的求法,等比级数直接求,非等比级数先设和函数,逐项积分或逐项求导,讨论端点处的敛散性,若收敛和函数连续则包括端点,四、函数展成幂级数:
(间接法),可以直接引用的幂级数展开式,用已知的七个展开式及其收敛域,若有逐项求导或逐项积分要讨论端点处的敛散性,若端点处收敛、函数连续则包括端点。
32,五.周期为2的函数傅立叶级数,在间断点和连续点各收敛于什么:
x为间断点,x为连续点,33,周期为2l的函数f(x),的傅里叶级数,在间断点和连续点各收敛于什么:
x为间断点,x为连续点,
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