1.2.1排列.ppt

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排列,完成一件事，有n类办法,在第1类办法中有m1种不同的方法,在第2类办法中有m2种不同的方法，在第n类办法中有mn种不同的方法。

那么完成这件事共有N=m1+m2+mn种不同的方法。

1、分类计数原理（分类相加）,2、分步计数原理（分步相乘）,完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法。

那么完成这件事共有N=m1m2mn种不同的方法。

探究：

问题1：

从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？

问题2：

从4个不同的元素a,b,c,d中取出3个元素，按顺序排成一列，共有多少种不同的排法？

上面两个问题有什么共同特征？

可以用怎样的数学模型来刻画？

探究：

问题1：

从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？

分析：

把题目转化为从甲、乙、丙3名同学中选2名，按照参加上午的活动在前，参加下午的活动在后的顺序排列，求一共有多少种不同的排法？

第一步：

确定参加上午活动的同学即从3名中任选1名，有3种选法.,第二步：

确定参加下午活动的同学，有2种方法,根据分步计数原理：

32=6即共6种方法。

把上面问题中被取的对象叫做元素,于是问题就可以叙述为：

从3个不同的元素a,b,c中任取2个，然后按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？

ab,ac,ba,bc,ca,cb,问题2.从4个不同的元素a,b,c,d中取出3个元素，按顺序排成一列，共有多少种不同的排法？

第1步：

先确定第一个元素，在4个元素中任取1个，有4种取法；,第2步：

再确定第二个元素，在剩下的3个元素中任取1个，有3种取法；,第3步：

最后确定第三个元素，在余下的2个元素中任取1个，有2种取法；,由分步计数原理可知，共有,种不同的排法。

分3步,4,3,2,abcabdacbacdadbadc,bacbadbcabcdbdabdc,cabcadcbacbdcdacdb,dabdacdbadbcdcadcb,树状图：

列举：

基本概念,1、排列：

一般地，从n个不同中取出m（mn）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

说明：

1、元素不能重复。

n个中不能重复，m个中也不能重复。

2、“按一定顺序”就是与位置有关，这是判断一个问题是否是排列问题的关键。

3、两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同。

4、mn时的排列叫选排列，mn时的排列叫全排列。

5、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，可以采用“树形图”。

2、排列数：

从n个不同的元素中取出m（mn）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的排列数。

用符号表示。

“排列”和“排列数”有什么区别和联系？

问题中是求从个不同元素中取出个元素的排列数，记为,已经算得,问题2中是求从4个不同元素中取出3个元素的排列数，记为，已经算出,探究：

从n个不同元素中取出2个元素的排列数是多少？

呢？

呢？

（1）排列数公式

（1）：

当mn时，,正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用表示。

n个不同元素的全排列公式：

（2）排列数公式

（2）：

说明：

1、排列数公式的第一个常用来计算，第二个常用来证明。

为了使当mn时上面的公式也成立，规定：

2、对于这个条件要留意，往往是解方程时的隐含条件。

例1.计算：

=4,=43=12,=432=24,=4321=24,=10987,=5040,1、下列问题属于排列问题的是（）由1,2,3三个数字组成无重复数字的三位数在1,2,3三个数字中任选两个数字求和。

在40名同学中选5人参加代表大会。

从40名同学中选5人分别担任正、付班长、学习委员、体育委员、文娱委员。

B.C.D.,D,2、上题中的结果有_种,n=18，,练习：

（4）若，则用排列数符号表示为,（3）若则n=_m=_,由n-m+1=8，得m=11,例1、用数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的数1）有多少个五位数,解：

1）方法一：

首位不能为0，有5种取法；,种,共有,种取法,方法二：

不含0的五位数有,含0的五位数有,共有,个,个,首位为0的共有,个,因此，共有,个,方法三：

含0和不含0的共有,其余5位从剩下的5个数字中取，有,直接法,间接法,例2、用数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的数1）有多少个五位数2）有多少个五位数的奇数,3）有多少个比50000大的五位数,例3、三个女生和五个男生排成一排，以下各有多少种不同的排法？

女生必须全排在一起,女生必须全分开,两端都不能排女生,两端都不能排男生,组合,问题一：

从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？

问题二：

从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？

甲、乙；甲、丙；乙、丙,3,情境创设,有顺序,无顺序,一般地，从n个不同元素中取出m（mn）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合,排列与组合的概念有什么共同点与不同点？

概念讲解,组合定义:

组合定义:

一般地，从n个不同元素中取出m（mn）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合,排列定义:

一般地，从n个不同元素中取出m（mn）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.,共同点:

都要“从n个不同元素中任取m个元素”,不同点:

排列与元素的顺序有关，而组合则与元素的顺序无关.,概念讲解,判断下列问题是组合问题还是排列问题?

（1）设集合A=a,b,c,d,e，则集合A的含有3个元素的子集有多少个?

（2）某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票?

有多少种不同的火车票价？

组合问题,排列问题,（3）10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组,共有多少种分法?

组合问题,（4）10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手多少次?

组合问题,（5）从4个风景点中选出2个游览,有多少种不同的方法?

组合问题,（6）从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览顺序,有多少种不同的方法?

排列问题,组合问题,组合是选择的结果，排列是选择后再排序的结果.,1.从a,b,c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合分别是:

ab,ac,bc,2.已知4个元素a,b,c,d,写出每次取出两个元素的所有组合.,ab,ac,ad,bc,bd,cd,（3个）,（6个）,概念理解,组合,排列,abcbaccabacbbcacba,abdbaddabadbbdadba,acdcaddacadccdadca,bcdcbddbcbdccdbdcb,不写出所有组合，怎样才能知道组合的种数？

你发现了什么?

组合数公式,排列与组合是有区别的，但它们又有联系,根据分步计数原理，得到：

因此：

一般地，求从个不同元素中取出个元素的排列数，可以分为以下2步：

第1步，先求出从这个不同元素中取出个元素的组合数,第2步，求每一个组合中个元素的全排列数,这里，且，这个公式叫做组合数公式,概念讲解,组合数公式:

从n个不同元中取出m个元素的排列数,概念讲解,例1.在产品检验中，常从产品中抽出一部分进行检查.现有100件产品，其中3件次品，97件正品.要抽出5件进行检查，根据下列各种要求，各有多少种不同的抽法？

解答：

（1）,

（2）,（3）,（5）,（6）,练习1、在100件产品中有98件合格品，2件次品。

产品检验时,从100件产品中任意抽出3件。

（1）一共有多少种不同的抽法?

（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种?

（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?

练习2,按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？

（1）甲、乙、丙三人必须当选；

（2）甲、乙、丙三人不能当选；（3）甲必须当选，乙、丙不能当选；（4）甲、乙、丙三人只有一人当选；（5）甲、乙、丙三人至多2人当选；（6）甲、乙、丙三人至少1人当选；,例1学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张。

8个学生，4个老师，要求老师在学生中间，且老师互不相邻，共有多少种不同的坐法？

解先排学生共有种排法,然后把老师插入学生之间的空档，共有7个空档可插,选其中的4个空档,共有种选法.根据乘法原理,共有的不同坐法为种.,结论1插入法:

对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题,可以用插入法.即先排好没有限制条件的元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的空档之中即可.,分析此题涉及到的是不相邻问题,并且是对老师有特殊的要求,因此老师是特殊元素,在解决时就要特殊对待.所涉及问题是排列问题.,例25个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起,有多少种不同的排法?

解因为女生要排在一起,所以可以将3个女生看成是一个人,与5个男生作全排列,有种排法,其中女生内部也有种排法,根据乘法原理,共有种不同的排法.,结论2捆绑法:

要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也可以作排列.,分析此题涉及到的是排队问题,对于女生有特殊的限制,因此,女生是特殊元素,并且要求她们要相邻,因此可以将她们看成是一个元素来解决问题.,例3高二年级8个班,组织一个12个人的年级学生分会,每班要求至少1人,名额分配方案有多少种?

解此题可以转化为:

将12个相同的白球分成8份,有多少种不同的分法问题,因此须把这12个白球排成一排,在11个空档中放上7个相同的黑球,每个空档最多放一个,即可将白球分成8份,显然有种不同的放法,所以名额分配方案有种.,结论3转化法:

对于某些较复杂的、或较抽象的排列组合问题，可以利用转化思想,将其化归为简单的、具体的问题来求解.,分析此题若直接去考虑的话,就会比较复杂.但如果我们将其转换为等价的其他问题,就会显得比较清楚,方法简单,结果容易理解.,例4袋中有5分硬币23个,1角硬币10个,如果从袋中取出2元钱,有多少种取法?

解把所有的硬币全部取出来,将得到0.0523+0.1010=2.15元,所以比2元多0.15元,所以剩下0.15元即剩下3个5分或1个5分与1个1角,所以共有种取法.,结论4剩余法:

在组合问题中,有多少取法,就有多少种剩法,他们是一一对应的,因此,当求取法困难时,可转化为求剩法.,分析此题是一个组合问题,若是直接考虑取钱的问题的话,情况比较多,也显得比较凌乱,难以理出头绪来.但是如果根据组合数性质考虑剩余问题的话,就会很容易解决问题.,例5期中安排考试科目9门,语文要在数学之前考,有多少种不同的安排顺序?

解不加任何限制条件,整个排法有种,“语文安排在数学之前考”,与“数学安排在语文之前考”的排法是相等的,所以语文安排在数学之前考的排法共有种.,结论5对等法:

在有些题目中,它的限制条件的肯定与否定是对等的,各占全体的二分之一.在求解中只要求出全体,就可以得到所求.,分析对于任何一个排列问题,就其中的两个元素来讲的话,他们的排列顺序只有两种情况,并且在整个排列中,他们出现的机会是均等的,因此要求其中的某一种情况,能够得到全体,那么问题就可以解决了.并且也避免了问题的复杂性.,例6我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?

解43人中任抽5人的方法有种,正副班长,团支部书记都不在内的抽法有种,所以正副班长,团支部书记至少有1人在内的抽法有种.,结论6排异法:

有些问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中排除.,分析此题若是直接去考虑的话,就要将问题分成好几种情况,这样解题的话,容易造成各种情况遗漏或者重复的情况.而如果从此问题相反的方面去考虑的话,不但容易理解,而且在计算中也是非常的简便.这样就可以简化计算过程.,