055组合与组合数公式.ppt
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055组合与组合数公式.ppt
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复习回顾:
【排列】从n个不同元素中选出m(mn)个元素,并按一定的顺序排成一列.【关键点】1、互异性(被选、所选元素互不相同)2、有序性(所选元素有先后位置等顺序之分)【排列数】所有排列总数,组合与组合数公式,问题一:
现有甲、乙、丙3个足球队,进行主客场双循环比赛,共需比赛多少场?
问题二:
现有甲、乙、丙3个足球队,进行单循环比赛,共需比赛多少场?
甲、乙;甲、丙;乙、丙,3,情境创设,有顺序,无顺序,一般地,从n个不同元素中取出m(mn)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合,排列与组合的概念有什么共同点与不同点?
概念讲解,组合定义:
组合定义:
一般地,从n个不同元素中取出m(mn)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合,排列定义:
一般地,从n个不同元素中取出m(mn)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.,共同点:
都要“从n个不同元素中任取m个元素”,不同点:
排列与元素的顺序有关,而组合则与元素的顺序无关.,概念讲解,思考一:
ab与ba是相同的排列还是相同的组合?
为什么?
思考二:
两个相同的排列有什么特点?
两个相同的组合呢?
概念理解,构造排列分成两步完成,先取后排;而构造组合就是其中一个步骤.,思考三:
组合与排列有联系吗?
判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(1)设集合A=a,b,c,d,e,则集合A的含有3个元素的子集有多少个?
(2)某铁路线上有5个车站,则这条铁路线上共需准备多少种车票?
有多少种不同的火车票价?
组合问题,排列问题,(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组,共有多少种分法?
组合问题,(4)10人聚会,见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手多少次?
组合问题,(5)从4个风景点中选出2个游览,有多少种不同的方法?
组合问题,(6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览顺序,有多少种不同的方法?
排列问题,组合问题,组合是选择的结果,排列是选择后再排序的结果.,1.从a,b,c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合分别是:
ab,ac,bc,2.已知4个元素a,b,c,d,写出每次取出两个元素的所有组合.,ab,ac,ad,bc,bd,cd,(3个),(6个),概念理解,从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号表示.,如:
从a,b,c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合个数是:
如:
已知4个元素a、b、c、d,写出每次取出两个元素的所有组合个数是:
概念讲解,组合数:
注意:
是一个数,应该把它与“组合”区别开来,1.写出从a,b,c,d四个元素中任取三个元素的所有组合。
abc,abd,acd,bcd.,练一练,组合,排列,abcbaccabacbbcacba,abdbaddabadbbdadba,acdcaddacadccdadca,bcdcbddbcbdccdbdcb,不写出所有组合,怎样才能知道组合的种数?
你发现了什么?
组合数公式,排列与组合是有区别的,但它们又有联系,根据分步计数原理,得到:
因此:
一般地,求从个不同元素中取出个元素的排列数,可以分为以下2步:
第1步,先求出从这个不同元素中取出个元素的组合数,第2步,求每一个组合中个元素的全排列数,这里,且,这个公式叫做组合数公式,概念讲解,组合数公式:
从n个不同元中取出m个元素的排列数,概念讲解,
(2)列出所有冠亚军的可能情况.,
(2)甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁乙甲、丙甲、丁甲、丙乙、丁乙、丁丙,
(1)甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁,解:
例题分析,例3求证:
例1:
一位教练的足球队共有17名初级学员,他们中以前没有一人参加过比赛。
按照足球比赛规则,比赛时一个足球队的上场队员是11人。
问:
(1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案?
(2)如果在选出11名上场队员时,还要确定其中的守门员,那么教练员有多少种方式做这件事情?
例4:
在100件产品中有98件合格品,2件次品。
产品检验时,从100件产品中任意抽出3件。
(1)一共有多少种不同的抽法?
(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种?
(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?
(4)抽出的3件中恰好有1件是次品的概率是多少?
(5)抽出的3件中至少有1件是次品的概率是多少?
说明:
“至少”“至多”的问题,通常用分类法或间接法求解。
(见课本P280),变式练习,按下列条件,从12人中选出5人,有多少种不同选法?
(1)甲、乙、丙三人必须当选;
(2)甲、乙、丙三人不能当选;(3)甲必须当选,乙、丙不能当选;(4)甲、乙、丙三人只有一人当选;(5)甲、乙、丙三人至多2人当选;(6)甲、乙、丙三人至少1人当选;,例5、某医院有内科医生12名,外科医生8名,现要派5人参加支边医疗队,至少要有1名内科医生和1名外科医生参加,有多少种选法?
例6:
(1)平面内有9个点,其中4个点在一条直线上,此外没有3个点在一条直线上,过这9个点可确定多少条直线?
可以作多少个三角形?
(2)空间12个点,其中5个点共面,此外无任何4个点共面,这12个点可确定多少个不同的平面?
例7、有翻译人员11名,其中5名仅通英语、4名仅通法语,还有2名英、法语皆通。
现欲从中选出8名,其中4名译英语,另外4名译法语,一共可列多少张不同的名单?
例8、8双互不相同的鞋子混装在一只口袋中,从中任意取出4只,试求满足如下条件各有多少种情况:
(1)4只鞋子恰有两双;
(2)4只鞋子没有成双的;(3)4只鞋子只有一双。
课堂练习:
2、从6位同学中选出4位参加一个座谈会,要求张、王两人中至多有一个人参加,则有不同的选法种数为。
3、要从8名男医生和7名女医生中选5人组成一个医疗队,如果其中至少有2名男医生和至少有2名女医生,则不同的选法种数为(),4、从7人中选出3人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员,则甲、乙两人不都入选的不同选法种数共有(),1、把6个学生分到一个工厂的三个车间实习,每个车间2人,若甲必须分到一车间,乙和丙不能分到二车间,则不同的分法有种。
9,9,C,D,一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球从口袋内取出3个球,共有多少种取法?
从口袋内取出3个球,使其中含有1个黑球,有多少种取法?
从口袋内取出3个球,使其中不含黑球,有多少种取法?
解:
(1),性质2,我们可以这样解释:
从口袋内的8个球中所取出的3个球,可以分为两类:
一类含有1个黑球,一类不含有黑球因此根据分类计数原理,上述等式成立,我们发现:
为什么呢,性质2,注:
1公式特征:
下标相同而上标差1的两个组合数之和,等于下标比原下标多1而上标与原组合数上标较大的相同的一个组合数2此性质的作用:
恒等变形,简化运算在今后学习“二项式定理”时,我们会看到它的主要应用,例计算:
例2求证:
一、等分组与不等分组问题,例3、6本不同的书,按下列条件,各有多少种不同的分法;
(1)分给甲、乙、丙三人,每人两本;
(2)分成三份,每份两本;(3)分成三份,一份1本,一份2本,一份3本;(4)分给甲、乙、丙3人,一人1本,一人2本,一人3本;(5)分给甲、乙、丙3人,每人至少一本;(6)分给5个人,每人至少一本;(7)6本相同的书,分给甲乙丙三人,每人至少一本。
练习:
(1)今有10件不同奖品,从中选6件分成三份,二份各1件,另一份4件,有多少种分法?
(2)今有10件不同奖品,从中选6件分给甲乙丙三人,每人二件有多少种分法?
解:
(1),
(2),例4、某城新建的一条道路上有12只路灯,为了节省用电而不影响正常的照明,可以熄灭其中三盏灯,但两端的灯不能熄灭,也不能熄灭相邻的两盏灯,可以熄灭的方法共有()(A)种(B)种(C)种(D)种,二、不相邻问题插空法,三、混合问题,先“组”后“排”,例5对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试,至区分出所有次品为止,若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能?
解:
由题意知前5次测试恰有4次测到次品,且第5次测试是次品。
故有:
种可能。
练习:
1、某学习小组有5个男生3个女生,从中选3名男生和1名女生参加三项竞赛活动,每项活动至少有1人参加,则有不同参赛方法_种.,解:
采用先组后排方法:
2、3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检,每校分配1名医生和2名护士,不同的分配方法共有多少种?
解法一:
先组队后分校(先分堆后分配),解法二:
依次确定到第一、第二、第三所学校去的医生和护士.,四、分类组合,隔板处理,例6、从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每校至少有1人,这样有几种选法?
分析:
问题相当于把个30相同球放入6个不同盒子(盒子不能空的)有几种放法?
这类问可用“隔板法”处理.解:
采用“隔板法”得:
练习:
1、将8个学生干部的培训指标分配给5个不同的班级,每班至少分到1个名额,共有多少种不同的分配方法?
2、从一楼到二楼的楼梯有17级,上楼时可以一步走一级,也可以一步走两级,若要求11步走完,则有多少种不同的走法?
排列,小结,作业:
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