多元函数微分法应用-极值与最值.ppt
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多元函数微分法应用-极值与最值.ppt
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一、多元函数的极值,定义:
若函数,则称函数在该点取得极大值,例如:
在点(0,0)有极小值;,在点(0,0)有极大值;,在点(0,0)无极值.,极大值和极小值,统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,的某邻域内有,(极小值).,提示:
由题设,例1.已知函数,(D)根据条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点.,则(),的某个邻域内连续,且,A,(2003考研),说明:
使偏导数都为0的点称为驻点.,例如,定理1(必要条件),函数,偏导数,证:
据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.,取得极值,取得极值,取得极值,但驻点不一定是极值点.,有驻点(0,0),但在该点不取极值.,且在该点取得极值,则有,存在,故,定理1(必要条件),函数,偏导数,且在该点取得极值,则有,存在,时,具有极值,定理2(充分条件),的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,令,则:
1)当,A0时取极大值;,A0时取极小值.,2)当,3)当,时,没有极值.,时,不能确定,需另行讨论.,若函数,且,1.函数的极值问题,第一步利用必要条件在定义域内找驻点.,即解方程组,第二步利用充分条件判别驻点是否为极值点.,2.函数的条件极值问题,
(1)简单问题用代入法,如对二元函数,
(2)一般问题用拉格朗日乘数法,二、多元函数的极值的一般步骤,设拉格朗日函数,如求二元函数,下的极值,解方程组,第二步判别,比较驻点及边界点上函数值的大小,根据问题的实际意义确定最值,第一步找目标函数,确定定义域(及约束条件),3.函数的最值问题,在条件,求驻点.,三、条件极值,极值问题,无条件极值:
条件极值:
条件极值的求法:
方法1代入法.,求一元函数,的无条件极值问题,对自变量只有定义域限制,对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制,例如,转化,方法2拉格朗日乘数法.,分析:
如方法1所述,则问题等价于一元函数,可确定隐函数,的极,故极值点必满足,记,例如,值问题,故有,引入辅助函数,辅助函数F称为拉格朗日(Lagrange)函数.,利用拉格,极值点必满足,则极值点满足:
朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.,推广,拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.,设,解方程组,可得到条件极值的可疑点.,例如,求函数,下的极值.,在条件,例2.,求函数,解:
第一步求驻点.,得驻点:
(1,0),(1,2),(3,0),(3,2).,第二步判别.,在点(1,0)处,为极小值;,解方程组,的极值.,求二阶偏导数,在点(3,0)处,不是极值;,在点(3,2)处,为极大值.,在点(1,2)处,不是极值;,例4.,解:
设水箱长,宽分别为x,ym,则高为,则水箱所用材料的面积为,令,得驻点,某厂要用铁板做一个体积为2,根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水,箱,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?
因此可,断定此唯一驻点就是最小值点.,即当长、宽均为,高为,时,水箱所用材料最省.,例3.,要设计一个容量为,则问题为求x,y,令,解方程组,解:
设x,y,z分别表示长、宽、高,下水箱表面积,最小.,z使在条件,水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省?
的长方体开口水箱,试问,得唯一驻点,由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的2倍时,所用材料最省.,因此,当高为,例4.,求旋转抛物面,与平面,之间的最短距离.,解:
设,为抛物面,上任一点,,则P,的距离为,问题归结为,约束条件:
目标函数:
作拉氏函数,到平面,令,解此方程组得唯一驻点,由实际意义最小值存在,故,已知平面上两定点A(1,3),B(4,2),试在椭圆,圆周上求一点C,使,ABC面积S最大.,解答提示:
设C点坐标为(x,y),则,例5.,设拉格朗日函数,解方程组,得驻点,对应面积,而,比较可知,点C与E重合时,三角形,面积最大.,点击图中任意点动画开始或暂停,例6.设,均可微,且,在约束条件(x,y)0下的一个极值点,已知(x0,y0)是f(x,y),下列选项正确的是(),提示:
设,(),代入()得,D,(2006考研),
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