《计算物理(本科)》[第4章].ppt
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合肥工业大学电子科学与应用物理学院,第四章实验数据的拟合,数据拟合:
经常需要根据物理实验的观测数据,来寻求物理量之间函数关系式。
数据拟合的意义:
由于存在偶然误差,测量数据在一定程度上有不确定性。
通过数据拟合,可以找出反映两物理量间客观函数关系式。
插值与数据拟合的区别:
插值得到的曲线是通过所有测量数据点。
而数据拟合曲线不一定全部通过测量数据点。
合肥工业大学电子科学与应用物理学院,4.1实验数据的一元线性拟合,一、最小二乘法原理在拟合曲线y=f(x)上,测量点xi的误差i=yi-f(xi)按照某种标准达到最小,通常采用欧氏范数|2作误差的标准,这种方法称为最小二乘法。
二、一元线性拟合设实验测量的一组数据是,合肥工业大学电子科学与应用物理学院,由拟合直线得i=yi-A0-A1xi,偏差的平方和为,对于一个xi值,存在两个相应的值,一个是实验测量值yi,另一个是拟合曲线值f(xi)。
一般不相等,它们的差值称为偏差,记为i=yi-f(xi),假设(x,y)间存在线性关系f(x)=A0+A1x。
下面利用最小二乘法拟合此直线方程:
合肥工业大学电子科学与应用物理学院,解得,其中,利用最小二乘法原理,求上式最小,来计算A0和A1,合肥工业大学电子科学与应用物理学院,三、一元线性拟合的相关系数,相关系数的大小反映了测量数据线性程度的好坏,|介于(0,1)之间。
|越接近1,说明实验数据越集中在拟合直线附近;|越接近0,说明实验数据越分散,并不趋向直线。
有的小计算器中都有一元线性回归,合肥工业大学电子科学与应用物理学院,4.2多元线性拟合,实际测量中影响物理量的因素往往不止一个。
设变量y随x1,x2,xkk个变量而变化。
实验测得一组数据是,拟合曲线设为Y=A0+A1x1+A2x2+Akxk与一元线性拟合思想相同,用最小二乘法原理求系数A0,A1,A2,Ak。
合肥工业大学电子科学与应用物理学院,偏差的平方和为,可得到一个正规方程组解出A0,A1,Ak。
(求解正规方程的问题将在线性代数方程组的解法中讨论。
),合肥工业大学电子科学与应用物理学院,4.3多项式曲线拟合,在物理学及各科学技术领域非线性函数关系才是普遍的,而线性关系则是简化的。
非线性改直:
非线性函数可以先经过变量替换,转化为线性函数关系,然后进行线性拟合,最后还原成原始的物理量。
但有一些非线性关系并不能改直,常常要用到多项式拟合或多元函数拟合。
设有n个实验数据,合肥工业大学电子科学与应用物理学院,用k次多项式拟合Y=A0+A1x+A2x2+Akxk,与一元线性拟合思想相同,用最小二乘法原理求系数A0,A1,A2,Ak。
偏差的平方和为,可得到一个正规方程组解出A0,A1,A2,Ak。
(与上一节基本相同,只是上标和下标操作的区别。
),合肥工业大学电子科学与应用物理学院,注意:
多项式拟合的正规方程具有唯一解,但多项式的阶次较高时,系数的微小差异有时可能会引起解的巨大变化。
为了避免这种情况发生,多项式的阶次不要过高,一般在5次方以内为宜。
MATLAB实现:
n次多项式曲线拟合在MATLAB中不需要自编程序,自身提供了一个函数polyfit(x,y,k)其中(x,y)为测量点向量;k为拟合多项式的最高次数。
函数返回长度为k+1的向量,即多项式系数Ak,A1,A0。
合肥工业大学电子科学与应用物理学院,在MATLAB中编写程序,例jswlx_4_3_1.m%jswlx_4_3_1.mx=0.51.01.52.02.53.0;y=1.752.453.814.808.008.60;a=polyfit(x,y,2)x1=0.5:
0.05:
3.0;y1=a(3)+a
(2)*x1+a
(1)*x1.2;plot(x,y,*)holdonplot(x1,y1,-r)运行结果:
a=0.49001.25010.8560,【例】设y=span1,x,x2,用多项式曲线拟合如表所示的数据x0.51.01.52.02.53.0y1.752.453.814.808.008.60,合肥工业大学电子科学与应用物理学院,【例】模拟sin函数的多项式曲线拟合。
要求:
1、在-,+间每隔/10,模拟sin函数一个实验数据点2、拟合多项式的最高次数为5次3、在同一绘图板上绘出sin函数模拟点、拟合多项式函数和sin函数三条曲线,在MATLAB中编写程序,例jswlx_4_3_1.mx=-pi:
pi/10:
pi;%x在-pi,pi内以步长pi/10取点y=sin(x);%对应x的y=sin(x)的值a=polyfit(x,y,5)x1=-pi:
0.05:
pi;y1=a(6)+a(5)*x1+a(4)*x1.2+a(3)*x1.3+a
(2)*x1.4+a
(1)*x1.5;y2=sin(x1);plot(x,y,*)%绘制模拟实验点曲线holdonplot(x1,y1,-r)%绘制拟合曲线%plot(x1,y2,-g)%绘制原曲线,合肥工业大学电子科学与应用物理学院,实验三实验数据的拟合一、实验目的1了解最小二乘法;2掌握一元线性拟合法;3掌握非线性拟合方法。
二、实验内容1进一步熟悉Matlab程序设计环境;2利用最小二乘法拟合线性方程的方法。
3.一元线性拟合法,合肥工业大学电子科学与应用物理学院,三、练习题,1、简述利用最小二乘法拟合线性方程的方法。
2、如何实现多元线性拟合?
3、设一组测量数据x0.51.01.52.02.53.0y1.752.453.814.808.008.60假设x与y的关系是二次多项式关系,在MATLAB中编写程序对曲线进行拟合,求出多项式系数和多项式形式,并画出拟合曲线形状。
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- 计算物理本科 第4章 计算 物理 本科