垂直于弦的直径课件.ppt
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垂直于弦的直径课件.ppt
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垂直于弦的直径,探究,用纸剪一个圆,沿着圆的任意一条直径对折,重复做几次,你发现了什么?
由此你能得到什么结论?
驶向胜利的彼岸,圆是轴对称图形,驶向胜利的彼岸,它的对称轴是什么?
你能找到多少条对称轴?
圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.,动动脑筋,叠合法,1.在O中,若CDAB于M,AB为直径,则下列结论不正确的是(),练一练
(1),2.已知O的直径AB=10,弦CDAB,垂足为M,OM=3,则CD=.,3.在O中,CDAB于M,AB为直径,若CD=10,AM=1,则O的半径是.,C,8,13,注意:
解决有关弦的问题时,半径是常用的一种辅助线的添法往往结合勾股定理计算。
垂径定理,垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧。
题设,结论,
(1)过圆心
(2)垂直于弦,(3)平分弦(4)平分弦所对的优弧(5)平分弦所对的劣弧,推论
(1),
(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧,
(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧,(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对和的另一条弧,根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。
如果具备,
(1)过圆心
(2)垂直于弦(3)平分弦(4)平分弦所对的优弧(5)平分弦所对的劣弧,上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论,注意,判断,
(1)垂直于弦的直线平分弦,并且平分弦所对的弧.(),
(2)弦所对的两弧中点的连线,垂直于弦,并且经过圆心.(),(3)圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分.(),(4)平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧(),(5)圆内两条非直径的弦不能互相平分(),例1如图,已知在O中,弦AB的长为8厘米,圆心O到AB的距离为3厘米,求O的半径。
解:
连结OA。
过O作OEAB,垂足为E,则OE3厘米,AEBE。
AB8厘米AE4厘米在RtAOE中,根据勾股定理有OA5厘米O的半径为5厘米。
讲解,例:
已知:
在O中,AC,AB为互相垂直的两条相等的弦,ODAB,OEAC求证:
四边形ADOE为正方形。
例1,例2已知:
如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C,D两点。
求证:
ACBD。
证明:
过O作OEAB,垂足为E,则AEBE,CEDE。
AECEBEDE。
所以,ACBD,E,讲解,讲解,6.已知:
如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C,D两点。
你认为AC和BD有什么关系?
为什么?
证明:
过O作OEAB,垂足为E,则AEBE,CEDE。
AECEBEDE即ACBD,5.在半径为30的O中,弦AB=36,则O到AB的距离是=,OAB的余弦值=。
练一练
(2),0.6,24mm,注意:
解决有关弦的问题,过圆心作弦的垂线,或作垂直于弦的直径,也是一种常用辅助线的添法,学生练习,已知:
AB是O直径,CD是弦,AECD,BFCD求证:
ECDF,变式.已知:
如图,线段AB与O交于C、D两点,且OA=OB求证:
AC=BD,证明圆中与弦有关的线段相等时,常借助垂径定理,利用其平分弦的性质来解决问题.,例2.如图是一条排水管的截面。
已知排水管的半径10cm,水面宽AB=12cm。
求水的最大深度.,E,D,求圆中有关线段的长度时,常借助垂径定理转化为直角三角形,从而利用勾股定理来解决问题.,B,A,O,驶向胜利的彼岸,挑战自我画一画,4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.,课堂小结,1.本节课我们主要学习了圆的轴对称性和垂径定理,垂径定理:
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧,2.垂径定理的证明,是通过“实验观察猜想证明”实现的,体现了实践的观点、运动变化的观点和先猜想后证明的观点,定理的引入还应用了从特殊到一般的思想方法,3.有关弦的问题,常常需要过圆心作弦的垂线段,这是一条非常重要的辅助线圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形,便将问题转化为解直角三角形的问题,课堂小结,1、圆是轴对称图形,其对称轴是每一条直径所在的直线或经过圆心的每一条直线。
3、在O中,若O的半径r、圆心到弦的距离d、弦长a中,任意知道两个量,可根据垂径定理求出第三个量:
你知道赵州桥吗?
它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶。
它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4米,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2米,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗?
现在大家就来解决赵州桥主桥拱半径的问题如图,用AB表示主桥拱,设AB所在圆的圆心为O,半径为R。
经过圆心O作弦AB的垂线OC,D为垂足,OC与AB相交与点C,根据前面的结论,D是AB的中点,C是AB的中点,CD就是拱高。
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