王振发版-分析力学-课件-第2章-动力学普遍方程和拉格朗日方程.pptx
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第二章动力学普遍方程和拉各朗日方程,摆长不定,如何确定其摆动规律?
混沌摆问题,多杆摆问题,其加速度为,令,R=P+T,则,ma=R=P+T,摆锤M在受到P、T的同时,将给施力体(地心和绳子)一对应的反作用力,反作用力的合力为,R=R=ma,此力是摆锤被迫作非惯性运动时产生的“反作用力”,称为惯性力。
图示圆锥摆摆长为l,摆锤M的质量m,在水平面内作匀速圆周运动,速度为v,锥摆的顶角为2,摆锤M受力如图。
若用Fg表示惯性力,则有Fg=ma,设质点M的质量为m,受力有主动力F、约束反力FN,加速度为a,则根据牛顿第二定律,有,ma=F+FN,Fg=ma,令,则,F+FN+Fg=0,形式上的平衡方程,设质点系由n个质点组成,第i个质点质量为mi,受力有主动力Fi,约束反力FNi,加速度为ai,假想地加上其惯性力Fgi=miai,则根据质点的达朗伯原理,Fi、FNi与Fgi应组成形式上的平衡力系,即,Fi+FNi+Fgi=0(i=1,2,n),MO(Fi)+MO(FNi)+MO(Fgi)=0,Fi+FNi+Fgi=0,质点系的达朗伯原理,即,或,1.动力学普遍方程,设质点系由n个质点组成,第i个质点质量为mi,受主动力Fi,约束反力FNi,加速度为ai,虚加上其惯性力Fgi=miai,则根据达朗伯原理,Fi、FNi与Fgi,应组成形式上的平衡力系,即Fi+FNi+Fgi=0,若质点系受理想约束作用,应用虚位移原理,有,或,动力学普遍方程,则动力学普遍方程的坐标分解式为,若,研究整个系统,进行受力分析;,解:
设杆的加速度为a,则,Fg1=m1a,,Fg2=m2a,,给连杆以平行于斜面向下的虚位移s,,则相应地两轮有转角虚位移,且,根据动力学普遍方程,得:
于是,解得,(a)(b),2.拉格朗日方程,n个质点的系统受到k个如下形式的完整约束fi,又若系统中质量为mj的第j个质点受主动力Fj,则系统的运动满足3n个方程如左,称为第一类拉格朗日方程,i称为拉各朗日未定乘子。
*第一类拉格朗日方程用到的较少,拉格朗日,17361813,法籍意大利人,数学家、力学家、天文学家,十九岁成为数学教授,与欧拉共同创立变分法,是十八世纪继欧拉后伟大的数学家。
用q1,q2,qN表示系统的广义坐标,第i个质点质量为mi,矢径为ri。
则ri=ri(q1,q2,qN,t),对上式求变分得,动力学普遍方程可写成,其中,根据虚位移原理中广义力与广义虚位移的表示形式,有,因为系统为完整约束,广义坐标相互独立,所以广义坐标的变分qk是任意的,为使上式恒成立,须有,(k=1,2,N),广义力,广义惯性力,对式,中广义惯性力进行变换:
将下列两个恒等式(有关证明请参阅教材P46),(广义速度),得,所以,代入第一项中的括号内,代入第二项中的括号内,得到,这就是第二类拉格朗日方程,是一个方程组,该方程组的数目等于质点系的自由度数,各方程均为二阶常微分方程,揭示了系统动能的变化与广义力之间的关系。
则广义力Qk可写成质点系势能表达的形式,于是,对保守系统,拉格朗日方程可写成,用函数L表示系统的动能T与势能V之差,即L=TV,L称为拉格朗日函数或动势。
则在保守系统中,用动势表示的拉格朗日方程的形式为,1.拉格朗日方程是解决具有完整约束的质点系动力学问题的普遍方程,是分析力学中的重要方程。
2.拉格朗日方程是标量方程,以动能为方程的基本量,是用广义坐标表示的运动微分方程。
3.拉格朗日方程形式简洁,运用时只需要计算系统的动能;对于保守力系统,只需要计算系统的动能和势能。
1.静力学:
对受完整约束的多自由度的平衡问题,根据虚位移原理,采用广义坐标,得到与自由度相同的一组独立平衡方程。
这种用分析方法建立的平衡条件,避开了未知的约束反力,使非自由质点系的平衡问题的求解变得简单。
2.动力学:
对受完整约束的多自由度的动力学问题,可以根据能量原理,采用广义坐标,推导出与自由度相同的一组独立的运动微分方程。
这种用广义坐标表示的动力学普遍方程,称为拉格朗日第二类方程,简称为拉格朗日方程。
1.确定系统的自由度数(广义坐标数);,2.选广义坐标;,3.计算系统的动能T,且用广义速度来表示动能;,4.计算广义力(对保守系统可计算势能);,5.代入拉格朗日方程即可得质点系运动微分方程。
例1位于水平面内的行星轮机构中,质量为m1的均质细杆OA,可绕O轴转动,另一端装有质量为m2、半径为r的均质小齿轮,小齿轮沿半径为R的固定大齿轮纯滚动。
当细杆受力偶M的作用时,求细杆的角加速度。
解:
研究整个系统,选广义坐标,,则,系统的动能为,T=TOA+T轮,又关于广义坐标的广义力为,代入Lagrange方程:
于是得,例2质量为m的质点悬在不计质量的软线上,线的另一端绕在半径为R的固定圆柱上。
设在平衡位置时,线的下垂部分长度为l。
求此摆的运动微分方程。
m,m,系统的动能为,选=0处为系统势能的零势点,则,V=mg(l+Rsin)(lR)cos,系统的动势为,解:
此摆为单自由度保守系统,选广义坐标,,已求得,将式上式代入保守系统的拉氏方程,得摆的运动微分方程,例3已知质量为m1的三棱柱放在光滑水平面上,质量为m2的均质圆柱体O由静止沿三棱柱的斜面向下纯滚动。
求三棱柱的加速度。
(设圆柱o的半径为r),选x1、x2为广义坐标,,圆柱中心的速度为,圆柱的角速度为,解:
系统具有两个自由度,,所以,系统的动能为,联立解得:
代入L程:
系统关于广义坐标x1、x2的广义力分别为:
例4图示均质杆AB质量为m1,长为3l,B端铰接一质量为m2,半径为r的均质圆盘。
杆AB在O处为铰支,两弹簧的刚性系数均为k;杆在水平位置平衡。
求系统的微幅振动的固有频率。
解:
系统具有两个自由度,且为保守系统。
选1、2为广义坐标,,则杆的角速度为,圆盘的角速度为,所以,系统的动能为,系统的势能为,k,l,l,l,l,2,r,B,重力与振动方向相同,,系统受力如图,,系统的动势为,取平衡位置处为零势点,,弹性力变形从平衡位置处计算,可以不计重力势能!
代入保守系统的拉氏方程,可见,圆盘的角加速度为零!
圆盘作平动!
系统的固有频率为,得,所以,k,l,l,l,l,2,r,B,例5杆OA与AB以铰链相连,且OA=a,AB=b,O悬挂于圆柱铰链上,A、B处质点质量分别为m1和m2,各处摩擦及两杆质量均不计,求系统微幅摆动的微分方程。
m1,b,a,m2,O,A,B,则,解系统具有两个自由度,选1、2为广义坐标,,系统动能为,系统作微幅摆动,,cos(21)1,系统受力如图。
求系统关于广义坐标2的广义力:
给1,则,给2,则,求系统关于广义坐标1的广义力:
代入Lagrange方程:
化简得,3.动能的广义速度表达式,质点系的动能,由于r是广义坐标及时间的函数,所以akj,bk,c也是广义坐标及时间的函数。
令,于是,动能T可表示为,再设,4.拉格朗日方程的初积分(首次积分),由于势能函数V仅是广义坐标和时间的函数,因此它是广义速度的零次函数。
设L2=T2,L1=T1,L0=T0-V,拉格朗日函数可表示为L=TV=T2+T1+T0V,显然,L2,L1和L0分别是广义速度的二次齐次函数、一次齐次函数和零次齐次函数,得L=L2+L1+L0,将主动力为有势力时的拉格朗日方程式乘以,并将这N个式子相加,得,其中,带入上式得:
当拉格朗日函数不显含时间t(则),即时有:
带入上式得:
从而有:
E为积分常数,再根据欧拉齐次式定理(P56)有:
带入上式得:
(2L2+L1)-(L2+L1+L0)=E,进一步得到:
这一结果称为以拉格朗日变量表示的广义能量积分,又称雅可比积分。
*由于约束是非定常的,系统的机械能并不守恒。
*,为广义能量,系统称为广义保守系统。
如果约束是定常的,则,可知bk=0,c=0,因此得T1=0,T0=0,,于是得T=T2,广义能量积分变为,这一结果称为以拉格朗日变量表示的能量积分,上式即为保守系统的机械能守恒定律表示式。
这就是能量积分的物理意义。
拉格朗日函数一般是广义坐标、广义速度和时间的函数。
若L中不显含与某一广义速度对应的广义坐标,则该坐标称为循环坐标,或称可遗坐标。
即:
则:
所以:
其中Cj为积分常数。
上式称为循环积分,或称可遗积分。
当然,系统有几个循环坐标就有几个循环积分。
由于L=T-V,而且势能V中不显含广义速度,因此,其中称为广义动量.,5.碰撞问题的拉各朗日方程,由拉格朗日方程式来推导碰撞问题的拉各朗日方程,以dt乘上式,并对碰撞时间t积分,即,其中左边第一项表示在碰撞时间内广义动量发生的变化.,左边第二项是动能相对广义坐标的改变量,是有限量.设它在碰撞时间内的最大值为M,根据中值定理,由于碰撞时间极短,所以与第一项相比可以略去.,为广义力Qj在碰撞时间内的广义冲量,以表示,即,则,即碰撞过程中,广义动量的增量等于相应的广义冲量.,6.拉格朗日方程的应用举例,*应用拉格朗日方程解题的步骤:
1.确定系统的自由度数(广义坐标数);,2.选取广义坐标;,3.计算系统的动能T,且用广义速度来表示动能;,4.计算广义力(对保守系统可计算势能);,5.代入拉格朗日方程即可得质点系运动微分方程。
6.求解运动微分方程,得到用广义坐标表示的系统的运动规律。
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