基本不等式经典.ppt
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- 上传时间:2023-11-10
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基本不等式经典.ppt
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3.4基本不等式:
一、问题引入,新课探究,新课探究,一般地,对于任意实数,我们有,当且仅当时等号成立,思考:
如何证明?
证明:
当且仅当时,此时,当且仅当a=b时,取“=”号,能否用不等式的性质进行证明?
小组合作:
在右图中,AB是圆的直径,点C是AB上的一点,设AC=a,BC=b。
过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD。
基本不等式的几何意义是:
“半径不小于半弦。
”,E,P98探究,2.代数意义:
几何平均数小于等于算术平均数,2.代数证明:
3.几何意义:
半弦长小于等于半径,(当且仅当a=b时,等号成立),二、新课讲解,3.几何证明:
从数列角度看:
两个正数的等比中项小于等于它们的等差中项,1.思考:
如果当用去替换中的,能得到什么结论?
基本不等式,探究3,基本不等式:
当且仅当a=b时,等号成立.,当且仅当a=b时,等号成立.,重要不等式:
注意:
(1)不同点:
两个不等式的适用范围不同。
(2)相同点:
当且仅当a=b时,等号成立。
1.重要不等式,2.基本不等式(均值定理),注意:
基本不等式成立的要素:
(1):
看是否均为正数,
(2):
看不等号的方向,(3):
看等号是否能取到,简言之:
一正二定三相等,基本不等式,结论1:
两个正数积为定值,则和有最小值,结论2:
两个正数和为定值,则积有最大值,已知x1,求x的最小值以及取得最小值时x的值。
解:
x1x10x(x1)1213,当且仅当x1时取“”号.于是x2或者x0(舍去),答:
最小值是3,取得最小值时x的值为2,例1:
通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式.,牛刀小试,结论1:
两个正数积为定值,则和有最小值,例3已知x0,y0,且x+y=1求的最小值,
(1)基本不等式取等号的条件
(2)“1”的代换在不等式中的应用,错,例2
(1)用篱笆围一个面积为100的矩形菜园,问这个矩形的长宽各为多少时,所用篱笆最短?
最短的篱笆是多少?
(2)用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形的长宽各为多少时,菜园面积最大?
最大面积是多少?
解法一:
(2)设矩形菜园的宽为xm,则长为(36-2x)m,其中0x18,解法二:
其面积为:
当且仅当2x=36-2x,即x=9时菜园面积最大,,即菜园长18m,宽为9m时菜园面积最大为162m2.,解:
【例3】某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为4800m3,深为3m,如果池底每1m2的造价为150元,池壁每1m2的造价为120元,问怎样设计水池能使总造价最低,最低总造价是多少元?
设水池底面一边的长度为xm,则水池的宽为,水池的总造价为y元,根据题意,得,因此,当水池的底面是边长为40m的正方形时,水池的总造价最低,最低总造价是297600元,赵老师花10万元购买了一辆家用汽车,如果每年使用的保险费,养路费,汽油费约为0.9万元,年维修费第一年是0.2万元,以后逐年递增0.2万.则这种汽车使用多少年时,它的年平均费用最少?
分析:
“年平均费用”的含义?
解:
设使用x年后,年平均费用为y万元,则,即当x=10时,y有最小值3万元,答:
使用10年后,年平均费用最少。
变式训练,知识要点:
基本不等式的条件:
结构特征:
思想方法技巧:
(1)数形结合思想
(2)换元法,课堂总结,一正、二定、三相等,和、积,.理解均值不等式的关系:
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