南京市高三数学教师寒假培训应用题归类分析及应对策略南师附中吴兆甲.ppt
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南京市2012届数学高三二轮复习建议,2012.2.4,应用题归类分析及应对策略,南京师大附中吴兆甲,一、试题特点,2011全国35套(不包括江苏)试卷的应用题中,只有湖北、湖南理为分段函数,湖南文为数列,山东为函数与导数,上海浙江没有应用题(含概率),其余省市都是考查了概率与统计.2010全国36套(不包括江苏)试卷的应用题中,只有陕西理、福建考查了解三角形,其余省市都是考查了概率与统计.2009全国36套(不包括江苏)试卷应用题中,只有湖北文考查了基本不等式(函数),福建理、辽宁、宁夏考查了解三角形,上海考查函数,其余都是概率与统计.,一、试题特点,2011年2003年江苏高考应用题类型:
2011包装盒问题(几何背景,函数)2010测量问题(几何背景,基本不等式)2009利润问题(销售背景,基本不等式)2008费马点问题(几何背景,函数)2007概率2006体积最值问题(几何背景,函数)2005概率2004线性规划2003概率,二、解题策略,数学应用性问题解题程序表:
步骤1:
将一个实际问题转化为一个数学问题,进行数学化设计.步骤2:
将一个数学问题化归为一个常规问题,进行标准化设计.步骤3:
求解常规数学问题.,二、解题策略,数学应用性问题解题程序表:
步骤1:
将一个实际问题转化为一个数学问题,进行数学化设计.,其一是身临其境,深入理解题意;其二抓住变元,理清变元之间的关系.,正确转化重在“审题”!
如何审题?
答:
从变元入手的两个要点,二、解题策略,首先是选“好”变元;,其次是弄清多变元中主变元与从变元的关系(等量关系).,三、复习教学策略,抓重点,变元思想是主线;破难点:
变式教学是关键.,复习策略例说,教学路线图:
从给定变元选择变元;从给定模式背景变换(变式教学);从单一主元多参变元.,有一块边长为4的正方形钢板,现将其切割、焊接成一个长方体形无盖容器(切、焊损耗忽略不计)有人应用数学知识作了如下设计:
如图(a),在钢板的四个角处各切去一个小正方形,剩余部分围成一个长方体,该长方体的高为小正方形边长,如图(b).
(1)请你求出这种切割、焊接而成的长方体的最大容积V1.,三、复习教学策略例说,三、复习教学策略例说,变换背景(变式教学)变式1:
由于上述设计存在缺陷(材料有所浪费),请你重新设计切焊方法,使材料浪费减少,而且所得长方体容器的容积V2V1,解法1:
由题中三个重要信息,切割、焊接;材料浪费减少;V2V1.只需把方法1中余下的材料裁成细条接在上面的长方体的上沿即可.,(教学中在此要强调审题的重要性:
审题要慢、要“品”),三、复习教学策略例说,变换背景(变式教学)变式1:
由于上述设计存在缺陷(材料有所浪费),请你重新设计切焊方法,使材料浪费减少,而且所得长方体容器的容积V2V1,解法2:
解法3:
三、复习教学策略例说,变换背景(变式教学)变式2、现制作一个底面为正方形的长方体型无盖容器,请你重新设计切焊方法,使得所制作的长方体容器的容积最大.,变式实质是在条件a2+4ah=S16为定值时,求V=a2h最大值.,三、复习教学策略例说,变换背景(变式教学)变式3、若要把制作长方体容器改为制作圆柱型无盖容器,请你重新设计切焊方法,使得所制作的长方体容器的容积最大.,问题变为在约束条件r2+2rh=S16时,求Vr2h的最大值,三、复习教学策略例说,变换背景(变式教学),请学生谈谈对上述变化及解法的感受.,V14.74,V26,V36.6,V49.32,猜猜看,想得到最大容积的无盖容器,就做成什么形状?
V517.02,三、复习教学策略例说,变换背景(变式教学),请学生谈谈对上述变化及解法的感受.,如图的所示的制作方法应是实际操作中的较好的选择,体积接近最大值,又操作简单.从数学的角度来看,长、宽、高分别为1,2,3,大小是整数值又是最接近的.,基本题型一,例1.(南京盐城2012届一模),解好应用题需要综合能力!
基本题型一,例2(2008江苏高考17)某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD的顶点A,B及CD的中点P处,已知AB20km,BC10km,为了处理三家工厂的污水,现要在矩形ABCD的区域上(含边界),且A,B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂,并铺设排污管道AO,BO,OP,设排污管道的总长为ykm.
(1)按下列要求写出函数关系式:
设BAD=(rad),将y表示成的函数关系式设OP=x(km),将y表示成x的函数关系式
(2)请你选用
(1)中的一个函数关系式,确定污水处理厂的位置,使三条排污管道总长度最短。
基本题型一,例2,基本策略:
怎样选择好“变元”?
基本题型一,例2,基本策略:
怎样选择好“变元”?
你选的变元好吗?
它到底好在哪里?
你能总结出“好”变元(自变量)的选择原则吗?
基本题型二,例4(南京2011届一模17节选)如图,在半径为30cm的半圆形(O为圆心)铝皮上截取一块矩形材料ABCD,其中点A,B在直径上,点C,D在圆周上若将所截得的矩形铝皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗),应怎样截取,才能使做出的圆柱形罐子体积最大?
并求最大体积,基本题型二,例5(2006江苏高考18)请您设计一个帐篷,它下部的形状是高为1m的正六棱柱,上部形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如右图所示),试问当帐篷的顶点O到底面中心O/的距离为多少时,帐篷的体积最大?
基本题型二,例6(2011届南通二模18本小题满分16分)如图,实线部分的月牙形公园是由圆P上的一段优弧和圆Q上的一段劣弧围成,圆P和圆Q的半径都是2km,点P在圆Q上,现要在公园内建一块顶点都在圆P上的多边形活动场地
(1)如图甲,要建的活动场地为RST,求场地的最大面积;,基本题型二,例6(2011届南通二模18本小题满分16分)如图,实线部分的月牙形公园是由圆P上的一段优弧和圆Q上的一段劣弧围成,圆P和圆Q的半径都是2km,点P在圆Q上,现要在公园内建一块顶点都在圆P上的多边形活动场地
(2)如图乙,要建的活动场地为等腰梯形ABCD,求场地的最大面积,基本题型二,变化着的几何背景!
基本题型二,变化着的几何背景!
问题1:
是什么在影响着阴影部分(几何体形状)的变化?
主动点(幕后的黑手)是谁?
基本题型二,变化着的几何背景!
问题2:
如何把这种“影响”用一个变量来体现?
问题1:
是什么在影响着阴影部分(几何体形状)的变化?
主动点(幕后的黑手)是谁?
基本题型二,变化着的几何背景!
问题3:
怎样才能使得阴影部分面积最小?
阴影部分的面积可求吗?
问题1:
是什么在影响着阴影部分(几何体形状)的变化?
主动点(幕后的黑手)是谁?
问题2:
如何把这种“影响”用一个变量来体现?
基本题型二,变化着的几何背景!
问题4:
可以用选好的变量来算出规则图形的面积吗?
问题1:
是什么在影响着阴影部分(几何体形状)的变化?
主动点(幕后的黑手)是谁?
问题2:
如何把这种“影响”用一个变量来体现?
问题3:
怎样才能使得阴影部分面积最小?
阴影部分的面积可求吗?
基本题型二,变化着的几何背景!
问题5:
你选择的变量是“好”变量吗?
问题1:
是什么在影响着阴影部分(几何体形状)的变化?
主动点(幕后的黑手)是谁?
问题2:
如何把这种“影响”用一个变量来体现?
问题3:
怎样才能使得阴影部分面积最小?
阴影部分的面积可求吗?
问题4:
可以用选好的变量来算出规则图形的面积吗?
基本题型二,变化着的几何背景!
问题5:
你选择的变量是“好”变量吗?
问题1:
是什么在影响着阴影部分(几何体形状)的变化?
主动点(幕后的黑手)是谁?
问题2:
如何把这种“影响”用一个变量来体现?
问题3:
怎样才能使得阴影部分面积最小?
阴影部分的面积可求吗?
问题4:
可以用选好的变量来算出规则图形的面积吗?
基本题型三,例7(2009江苏高考19)按照某学者的理论,假设一个人生产某产品的单件成本为a元,如果他卖出该产品的单价为m元,则他的满意度为;如果他买进该产品的单价为n元,则他的满意度为.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为h1和h2,则他对这两种交易的综合满意度为.现假设甲生产A,B两种产品的单件成本分别为12元和5元,乙生产A,B两种产品的单件成本分别为3元和20元.设产品A,B的单价分别为mA元和mB元,甲买进A与卖出B的综合满意度为h甲,乙卖出A与买进B的综合满意度为h乙.求h甲和h乙关于mA,mB的表达式;当mAmB时,求证:
h甲h乙;
(2)设mAmB当mA,mB分别为多少时,甲、乙两人的综合满意度均最大?
最大的综合满意度为多少?
(3)略,基本题型三,例7关键词单件成本卖出单价买进单价买进满意度卖出满意度综合满意度甲买进A与卖出B的综合满意度为h甲,乙卖出A与买进B的综合满意度为h乙.A、B两种产品的单价mA、mB,,题中有哪些变量?
基本题型三,例7关键词:
变量单件成本卖出单价买进单价买进满意度卖出满意度综合满意度甲买进A与卖出B的综合满意度为h甲,乙卖出A与买进B的综合满意度为h乙.A、B两种产品的单价mA、mB,,题中有哪些变量?
变量之间有怎样的变化关系?
你能列一个表格来表示各变量之间的关系吗?
基本题型三,你能列一个表格来表示各变量之间的关系吗?
基本题型四,例8(南京模考与数列有关的问题)某企业2003年的纯利润为500万元,因设备老化等原因,企业的生产能力逐年下降,若不进行技术改造,预计从今年起每年比上一年纯利润减少20万元。
今年初该企业一次性投资600万元进行技术改造,预计在未扣除技术改造资金的情况下,第n年(今年为第一年)的利润为500(1+)万元(n为正整数)。
()设从今年起的前n年,该企业不进行技术的改造的累计纯利润为An万元,进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元(须扣除技术改造资金),求An、Bn的表达式;()以上述预测,从今年起该企业至少经过多少年,进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润?
2n,1,基本题型四,说明:
数列的应用题利润问题,单利等差复利等比,基本题型四,例9(南京模考与三角有关的问题)如图,港口B在港口O正东方向120海里处,小岛C在港口O北偏东60方向、港口B北偏西30方向上一艘科学考察船从港口O出发,沿北偏东30的OA方向以20海里/小时的速度驶离港口O,一艘快艇从港口B出发,以60海里/小时的速度驶向小岛C,在C岛装运补给物资后给考察船送去现两船同时出发,补给物资的装船时间要1小时,问快艇驶离港口B后最少要经过多少小时才能和考察船相遇?
东,北,O,C,B,A,D,基本题型四,例10(2009宁夏海南卷文)如图,为了解某海域海底构造,在海平面内一条直线上的A,B,C三点进行测量,已知AB50m,BC120m,于A处测得水深AD=80m,于B处测得水深BE=200m,于C处测得水深CF110m,求DEF的余弦值.,基本题型四,基本题型四,说明:
解三角形是一大类应用问题,上面的例题中DEF中没有已知元素,需要学生自己找到三角形可解的条件,通过分割把非三角形变为可解的三角形,虽然问题不复杂,但要求学生要有良好的解三角形的素养,要有判断一个三角形是否可解的能力,求什么?
怎样才能可解?
条件到哪儿去找?
基本题型四,例11(南京模考概率问题5)某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员,某些队员不止参加了一支球队,具体情况如图所示,现从中随机抽取一名队员,求:
(1)该队员只属于一支球队的概率;
(2)该队员最多属于两支球队的概率,基本策略:
1.认真审题2.紧抓变量(选出好“变元”)3.显化变量关系(可列表),“只有想得妙,才能解得好”,抓重点,变元思想是主线;破难点:
变式教学是关键.,二轮专题与课时建议,谢谢!
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