弹性力学徐芝纶版第3章.ppt
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弹性力学徐芝纶版第3章.ppt
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,弹性力学,第三章平面问题的直角坐标解答,取满足相容方程的,一、逆解法和半逆解法,
(一)逆解法的基本步骤:
求出应力分量,根据边界条件求出面力,考察能解决什么问题,3-1逆解法与半逆解法多项式解答,
(二)半逆解法的基本步骤:
根据问题的特点设出部分应力分量,求出应力函数,是否满足相容方程,求出其他应力分量,结束,是否满足边界条件,否,是,是,否,二、平面问题的多项式解答,不难验证:
等项及它们的线性组合均满足相容方程。
下面用逆解法确定一下各种多项式能解决的问题。
1.一次式,当不计体力时,对应的应力状态为:
相应边界条件为:
可见线性函数对应于无面力无应力的状态。
故:
应力函数中加减一次式,不影响应力。
2.二次式,先来看,不计体力时,,如取矩形板(或无限长柱体),则对应于两侧受拉(a0)或两侧受压(a0)的情况。
对应于,应力分量是:
可见能解决矩形板受均布剪力的问题。
同样,能解决矩形板受均布拉(压)力的情况。
能解决矩形板拉剪组合的问题。
3,对应的应力分量式:
如图如果矩形梁侧面尺寸较小,面力可简化为两个力偶,则对应的是纯弯曲的问题。
例,设图中所示的矩形长梁,lh,试考察应力函数能解决什么样的受力问题?
y,x,o,l,h/2,h/2,(lh),解:
按逆解法。
1.将代入相容方程,可见是满足的。
有可能成为该问题的解。
2.由求出应力分量,3.由边界形状和应力分量反推边界上的面力。
在主要边界(大边界)上,,因此,在的边界面上,无任何面力作用,即,在x=0,l的次要边界(小边界)上,,其主矢量和主矩,F,F,MFl,由此,可得出结论:
上述应力函数可以解决悬臂梁在x=0处受集中力F作用的问题。
矩形梁的纯弯曲,如图,纯弯曲矩形梁,不计体力,试求其应力及位移。
解:
本题可取为平面应力问题或平面应变问题,取决于梁的宽度。
先视为平面应力问题,取单位宽度。
应力函数为:
对应的应力分量式:
这一函数已满足了相容方程,只要对应的应力满足了应力边界条件,即为正确解答(单连通体)。
在上下边界应满足:
显然满足。
而小边界的正应力边界条件显然无法精确满足,只能用圣维南原理使其满足积分边界条件。
即:
第一三式总能满足,第二式要求:
即应力解答为:
注意到梁截面的惯性矩是,上述解答和材料力学中是一致的。
试用应力函数,求图示问题的应力。
利用小边界条件可求得:
或:
3-2位移分量的求出,下面求位移分量,,代入物理方程(平面应力)得:
再代入几何方程,得:
前两式积分得:
代入第三式得:
移项得:
可得:
积分得:
(1),
(2),可得:
上式对任意的x,y都必须成立,故两边都必须为同一常量,由约束(位移边界)条件确定待定常数,
(1)设梁两端简支,如图,边界条件为:
处,处,上述边界条件代入位移表达式得:
解得各常数代入位移表达式得:
(2)若梁一端固支。
如图,边界条件无法精确满足,按照材料力学固定端处:
上述边界条件代入位移表达式得:
解得:
即位移解答为:
求图示问题的位移(平面应力)。
1,代入第三式得:
移项得:
积分得:
(1),
(2),可得:
边界条件为:
处,
(1),
(2)无法精确满足。
可得:
处,习题解答,2-8
(1)解:
下边的等效应力边界条件:
(2)解:
(a)在主要边界应精确满足下列边界条件:
(b)在小边界x=0应用圣维南原理,列出三个积分的近似边界条件,(c)在小边界x=l,等效应力边界条件:
2-9解:
首先根据静力等效的原则:
二者面力静力等效。
向小边界中心O1简化:
向原点O简化:
向小边界中心O1简化:
向原点O简化:
2-13(a)平衡方程:
(b)边界条件:
满足上下自由边界条件,也满足左右边界条件。
3相容方程:
不满足相容方程。
所以不是原方程的解。
2-16解:
验证边界条件:
如图任取一点,设外法线的方向余弦分别为l和m,则:
是多连通体,验证位移单值条件:
满足应力边界条件。
满足位移单值条件。
2-17解:
(1)由材料力学公式:
(2)平衡微分方程,不计体力时,代入平衡微分方程均满足,满足相容方程。
(3)相容方程,满足主要边界条件。
(4)边界条件。
x=0小边界,利用圣维南原理,(4)边界条件。
x=l小边界,先换为应力边界,再利用圣维南原理,以上应力可以认为是正确解答。
本题解答已满足平衡方程,则最后一个边界的积分应力边界条件必然满足,可以不再校核。
3-3简支梁的受均布载荷,力学模型,进一步将位移边界条件化为应力边界条件:
解:
挤压应力,显然不为0。
由于在上下边界,不随x变化,设,则,积分得:
将上式代入相容方程,得:
上式可以看作是x的二次方程,要求在x的定义域内恒成立,即有无穷多解,则:
前两个方程要求:
注意:
此处略去了,的常数项。
WHY?
代入以上第三式:
注意:
此处略去了,的常数项及一次项。
首先考虑对称性:
应是x偶函数,,是x的奇函数。
应是x偶函数,,是x的奇函数。
可得:
E=F=G=0,
(1),下面利用边界条件:
先看主要边界条件,
(2),将应力分量代入
(2)中,并注意
(1)得:
联立解得:
对于左右侧面,边界条件无法精确满足,只能引入圣维南原理,,
(1),
(2),(3),由
(1)
(2)解得:
代入(3)经验证成立。
即应力分量的解答为:
本题按按半逆解法求解时,也可以参照材力假设应力:
由材力,试取应力,不计体力求解轴向受拉杆的其它应力。
边界条件:
上下边界均满足。
左边界:
由对称性(关于x、y均对称):
A=B=C=D=0,3-4楔形体受重力和液体压力,应力(量纲L-1MT-2(N/m2))显然与gg、rg(量纲L-2MT-2(N/m3)和坐标(量纲L(m))有关,所以必为坐标的纯一次式。
采用量纲分析法:
作用:
辅助进行应力分析,方法:
首先找到可能与分析的量相关的所有量,通过分析他们的量纲,找到与所分析量之间的关系。
体力:
(1),
(2),(3),所以应力函数必为坐标的纯三次式,由此设:
在左面,,将
(1)(3)式代入得:
即:
斜面的方程为:
方向余弦,应力边界条件是:
n,由此解得:
代入得应力解答:
注意:
1.沿着坝轴,坝身往往具有不同的截面,而且坝身也不是无限长的。
因此,严格说来,这里不是一个平面问题。
2.这里假定楔形体下端无限长,因此对于坝身底部来说,上面的解答是不精确的。
3.坝顶总有一定的宽度,因此在靠近坝顶处,以上解答也不适用。
思考与练习(P49),3-43-53-73-8,习题解答,2-17解:
(1)由材料力学公式:
(2)平衡微分方程,不计体力时,代入平衡微分方程均满足,满足相容方程。
(3)相容方程,满足主要边界条件。
(4)边界条件。
x=0小边界,利用圣维南原理,(4)边界条件。
x=l小边界,先换为应力边界,再利用圣维南原理,以上应力可以认为是正确解答。
本题解答已满足平衡方程,则最后一个边界的积分应力边界条件必然满足,可以不再校核。
3-1,对应的应力分量式:
y,x,h/3,能解决偏心拉伸(a0)或压缩问题(a0)。
3-2
(1),小边界,3-2
(2),小边界,3-2(3),小边界,
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