概率论_抽样分布.pptx
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概率论_抽样分布.pptx
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第二节统计量与抽样分布,一、基本概念,二、常见分布,三、小结,总体,选择个体,样本,观测样本,样本观察值,(数据),数据处理,样本有关结论,推断总体性质,统计量,统计的一般步骤,这种不含任何未知参数的样本的函数称为统计量.它是完全由样本决定的量.,样本是进行统计推断的依据。
但在实际应用时,一般不是直接使用样本本身,而是对样本进行整理和加工,即针对具体问题构造适当的函数统计量,利用这些函数来进行统计推断,揭示总体的统计特性.,一、统计量,1.统计量的定义,定义6.2设X1,X2,Xn是来自总体X的样本,x1,x2,xn为其样本值,则称不含任何总体分布中未知参数的连续函数为统计量,相应实数称为其观察值。
是,不是,实例1,2.几个常用统计量,
(1)样本平均值,
(2)(修正)样本方差,其观察值,(3)(修正)样本标准差,其观察值,其观察值,(4)样本k阶(原点)矩,其观察值,(5)样本k阶中心矩,其观察值,证明,定理6.1:
设总体X的均值为,方差为2,(X1,X2,Xn)是X的一个样本,则有,证明,辛钦定理,再根据第五章辛钦定理知,定理6.2:
由第五章关于依概率收敛的序列的性质知,以上结论是下一章所要介绍的矩估计法的理论根据.,有关二维总体的统计量自己看。
1.标准正态分布及其上侧分位数,若P(Xz)=,则称z为标准正态分布的上侧分位数.,z,其中,定义设XN(0,1),对任意01,二、常见抽样分布,完全由样本确定的函数就是统计量。
统计量是随机变量,它的分布称为抽样分布。
下面,介绍来自正态总体的几个重要统计量的分布.,注:
附表2-1,附表2-2,定义,性质,重要积分,补充知识:
-函数,2.(卡方分布),的密度曲线,n=1,n=4,n=10,随着n的增大,密度曲线逐渐趋于平缓,对称.,例1、设随机变量X1,X,X,X独立且都服从N(0,1/2),则(X1+X2)2+(X3+X4)2服从_分布;若要使aX12+b(X2+X3+X4)22
(2),则a=_,b=_.,例2设是取自总体N(0,4)的简单随机样本当a=,b=时,解,由题意得,a=1/20b=1/100,性质1,(此性质可以推广到多个随机变量的情形.),性质2,证明,附表,附表3只详列到n=45为止.,附表,附表,例3,例如,利用上面公式,而查详表可得,费舍尔(R.A.Fisher)证明:
t分布又称学生氏(Student)分布.,3.,t分布的密度曲线:
特点关于y轴对称偶函数;随着自由度的逐渐增大,密度曲线逐渐接近于标准正态密度曲线.,例4:
设X1,X2,X3,X4是来自正态总体N(0,22)的简单随机样本,则服从_分布;,双侧/2分位点:
显然,由分布的对称性知:
附表3-1,附表3-2,例5,4.,同理,即:
F分布的的密度函数的示意图,例6:
设X1,X2,X3,X4是来自正态总体N(0,22)的简单随机样本,则()()服从_分布。
解t-分布,2-分布,F-分布。
因为Xt(n),所以由t-分布定义知:
存在两个相互独立的随机变量,由Y,Z的相互独立可得:
Y2与Z也相互独立。
再由F-分布定义得:
使有,选择题7,P1506.已知,证明。
由2-分布定义知:
附表5-1,附表5-2,例7,查附表6P.301:
5.正态总体的样本均值与样本方差的分布,对于单正态总体N(,2)的均值与方差有:
定理6.3设是来自正态总体N(,2)的样本,则,、,、,、,、独立.,注意:
即2,卡方分布定义,证明,且两者独立,由t分布的定义知,解,查表得,则有,由于,定理6.4,证明,
(1)由定理6.3,
(2),三、小结,两个最重要的统计量:
样本均值,样本方差,三个来自正态分布的抽样分布及其分位点:
解因为XiP(),所以E(Xi)=D(Xi)=(i=1,2,n),P1497.设X1,X2,X3,X4,X5为来自泊松分布P()的一个样本,为其样本均值和(修正)样本方差,求,例3-1,解卡方分布及其数字特征。
于是,由卡方分布数字特征知:
由定理1知:
【练习】设在总体中抽取一容量为16的样本,其中均为未知。
(1)求概率;,
(2)求方差。
(2)因为,所以,例4-续,
(1),P1505设总体XN(0,0.32),n=10,求,解:
X/0.3N(0,1),,【练习】在正态总体N(12,4)中随机抽取容量为5的样本X1,X2,X3,X4,X5,试求,
(1)样本均值与总体均值之差的绝对值大于1的概率;,
(2),(3),解正态总体样本均值的分布,
(1)因为所以,于是,
(2).,(3).,辛钦定理,附表2-1,标准正态分布表,1.645,附表2-2,标准正态分布表,1.96,附表4-1,分布表,17.535,3.247,附表4-2,分布表,34.382,附表4-3,分布表,附表3-1,分布表,1.8125,附表3-2,2.1315,分布表,附表5-1,分布表,4.53,2.31,附表5-2,分布表,说明,(修正)样本方差还可表示为,【推导】,
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- 概率论 抽样 分布